§7

Ako su kako $bn$ tako i $cp$ paralelne sa $am$ a tačka $c$ ne nalazi se na $\overrightarrow{bn}$, biće i $bn \mid\mid\mid cp$.

Jer $bn$ i $cp$ se ne seku jedna sa drugom (§ 3); dalje su $am$, $bn$, $cp$ ili u istoj ravni ili nisu; i u prvom slučaju $am$ ili se nalazi u $bncp$ ili se ne nalazi.

Ako se $am$, $bn$, $cp$ nalaze u istoj ravni i $am$ leži u $bncp$, tada će svaka poluprava $\overrightarrow{bq}$ (u $nbc$) seći $\overline{am}$ u izvesnoj tačci $d$ (pošto je $bn \mid\mid\mid am$). Kako je pak $dm \mid\mid\mid cp$ (§ 6), jasno je da će $\overrightarrow{dq}$ seći $\overrightarrow{cp}$ i da će biti $bn \mid\mid\mid cp$.

Ako se $bn$ i $cp$ nalaze sa iste strane od $am$, jedna od njih, na primer $cp$, nalaziće se između druge dve (između $\overline{bn}$ i $\overline{am}$). Ali kako svaka $\overrightarrow{bg}$ (u $nba$) seče $\overrightarrow{am}$, seći će svaka i $\overrightarrow{cp}$. Prema tome, biće $bn \mid\mid\mid cp$.

Ako ravni $mab$ i $mac$ zaklapaju ugao, onda $cbn$ i $abn$ imaju samo $\overrightarrow{bn}$ zajedničko, dok $\overrightarrow{am}$ (u $abn$) nema ničeg zajedničkog sa $\overrightarrow{bn}$, a tako isto ničeg zajednickog ni $nbc$ i $\overrightarrow{am}$. Tada će svaka poluravan $\overrightarrow{bcd}$, postavljena kroz $\overrightarrow{db}$ (datu u $nba$), seći $\overrightarrow{am}$, pošto (usled $bn \mid\mid\mid am$) $\overrightarrow{bd}$ seče $\overrightarrow{am}$. Stoga ako budemo kretali poluravan $\overrightarrow{bcd}$ oko $bc$ dotle dok ona prestane da seče $\overrightarrow{am}$, $\overrightarrow{bcd}$ pašće naposletku ujedno sa $\overrightarrow{bcn}$. Iz istog razloga ona će se poklopiti i sa $\overrightarrow{bcp}$. Preme tome, $bn$ nalaziće se i u $bcp$. Osim toga, ako je $br \mid\mid\mid cp$, $br$ će se (pošto je $am \mid\mid\mid cp$) nalaziti iz istog razloga u $bam$, a tako isto (pošto je $br \mid\mid\mid cp$) i u $bcp$. Prema tome, $\overrightarrow{br}$, budući da je zajedničko ravnima $mab$ i $pcb$, biće ustvari identično sa $\overrightarrow{bn}$ i stoga biće $bn \mid\mid\mid cp$.

Ako je dakle $cp \mid\mid\mid am$ i $b$ van $\overline{cam}$, presek $\overrightarrow{bn}$ ravni $bam$ i $bcp$ biće paralelan kako sa $am$ tako i sa $cp$.