Владица Андрејић - Диференцијална геометрија 2021/22

Активности 2021               15   15     %   30 70
                             Акт  К1 К2 Час   ПО УИ   Датум     оцена
Ћеримагић Дино       18/17    15  12     90   27 50  28.09.2022   8
Ђорђевић Данијел     16/17    15   9     92   24 57  18.02.2022   9
Вујчић Милош          3/17    15   4  8  81   23 50  28.09.2022   8
Бузго Давид          19/17    15   7     70   22 35  28.09.2022   6
Евтимов Маја         51/18    14   2  2 100   16 60  18.04.2022   8
Бабић Тијана          7/18     6      2  31    8   
Животић Немања     2012/21     7         23    7   
Петровић Ђорђе      118/17     0          4    0   
Тарајић Магдалена    86/16               ->   17 35  13.11.2021   6
Haider Rami         442/17               ->   13 38  14.12.2021   6
Тодоровић Станислав  43/16               ->   22 
Динић Урош           49/16               ->   20 
Убавић Никола       310/16               ->   19 
Синобад Соња         62/15               ->   17 34  30.08.2022   6
Мићић Кристина       40/17               ->   12 45  28.09.2022   6

Глатке многострукости
• 1.1 Историјски увод, 04.10.2021.
• 1.2 Тополошка многострукост, 04.10.2021.
• 1.3 Тополошке особине многострукости, 06.10.2021.
• 1.4 Глатке многострукости, 06.10.2021.
• 1.5 Количничке многострукости, 11.10.2021.
• 1.6 Глатка пресликавања, 11.10.2021.
• 1.7 Дифеоморфизми, 13.10.2021.
• 1.8 Разбијање јединице, 13.10.2021, 18.10.2021.
• 1.9 Тангентни вектори, 18.10.2021.
• 1.10 Тангентна пресликавања, 20.10.2021.
• 1.11 Субмерзије и имерзије, 20.10.2021, 25.10.2021.
• 1.12 Подмногострукости, 25.10.2021.
• 1.13 Векторска поља, 25.10.2021, 27.10.2021.
• 1.14 Глобално тангентно пресликавање, 01.11.2021.
• 1.15 Векторска раслојења (без Леме 1.39 и хомоморфизама раслојења), 01.11.2021.
• 1.16 Покретни репери (без подраслојења), 01.11.2021.
• 1.17 Векторска поља на сфери, 03.11.2021.
• 1.18 Ковекторска поља 03.11.2021, 08.11.2021.
• 1.19 Тензорска поља 08.11.2021, 10.11.2021.
• 1.20 Извод тензорских поља 10.11.2021.

Псеудо-Риманова геометрија
• 2.1 Скаларни производ 15.11.2021.
• 2.2 Изотропни вектори 15.11.2021.
• 2.3 Псеудо-Риманове многострукости 17.11.2021.
• 2.4 Повлачење метричких тензора 17.11.2021, 22.11.2021.
• 2.5 Музички изоморфизми 22.11.2021.
• 2.6 Модел простори 24.11.2021, 29.11.2021.
• 2.7 Дужина и растојање 29.11.2021, 01.12.2021
• 2.8 Коваријантни изводи 01.12.2021, 06.12.2021.
• 2.9 Леви-Чивита повезаност 06.12.2021.
• 2.10 Паралелно померање 08.12.2021.
• 2.11 Геодезијске криве 13.12.2021.
• 2.12 Експоненцијално пресликавање 13.12.2021, 15.12.2021.
• 2.13 Тензор кривине 20.12.2021.
• 2.14 Алгебарски тензор кривине 20.12.2021, 22.12.2021.
• 2.15 Секциона кривина 22.12.2021.
• 2.16 Константна секциона кривина 22.12.2021, 27.12.2021.
• 2.17 Ричијев тензор 27.12.2021.
• 2.18 Локалне изометрије 29.12.2021.

Домаћи задаци 2021/22            домаћи задаци
                                 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Бабић Тијана          7/18       + - + + = + = + + + + - . . . . . . . .
Евтимов Маја         51/18       + + + - + + = = + + + + + + + + + + + .
Ћеримагић Дино       18/17       + + + + + + = = + + + + + + + + + + + .
Ђорђевић Данијел     16/17       + + + + + + + + + + + + + + + + + + + =
Вујчић Милош          3/17       + + + + + + + + + + + + + + + + + + . .
Бузго Давид          19/17       + + + + + + + + + + + + + + + + + + = .
Петровић Ђорђе      118/17       + . + . . . . . . . . . . . . . . . . .
Животић Немања     2012/21         + + + + + + + + = + = 
                                 
==========================
+ решење
= половично
- није решење
. није послат
* нисам проценио

Домаћи задаци:
• Задатак 1 (06.10.2021): Показати да је атлас на сфери са пројекцијама на отворене хемисфере ($2n+2$ карата) гладак. Показати да он даје исту глатку структуру као и стереографске пројекције ($2$ карте).
• Задатак 2 (11.10.2021): Доказати да је скуп свих афиних правих из $\mathbb{R}^2$ глатка многострукост (постоји топологија и гладак атлас).
• Задатак 3 (11.10.2021): Доказати да је пресликавање $f\colon \mathbf{S}^1 \to \mathbf{S}^1=\{z\in\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2 : |{z}|=1\}$ дато са $f(z)=z^2$ глатко.
• Задатак 4 (18.10.2021): Доказати да за свако $p\in \mathbf{B}^n=B_1(0)\subset\mathbb{R}^n$ постоји дифеоморфизам $f\colon \mathbf{B}^n \to \mathbf{B}^n$ такав да је $f(0)=p$.
• Задатак 5 (18.10.2021): Нека је $A$ затворен подскуп многострукости $M$, а $f\colon A\to (0,\infty)$ глатко (свака тачка из $A$ има отворену околину која је домен глатке функције која се на пресеку са $A$ слаже са $f$). Доказати да постоји глатко $F\colon M\to (0,\infty)$ такво да је $F\mathord{\upharpoonright}_A=f$.
• Задатак 6 (25.10.2021): Нека је $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ дато са $f(x,y)=(x^2y+y^2,x-2y^3,ye^x)$. Израчунати $T_{(0,1)}f\left(4(\frac{\partial}{\partial x})_{(0,1)}-(\frac{\partial}{\partial y})_{(0,1)}\right)$. За које $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ важи $\alpha(\frac{\partial}{\partial x})_{f(0,0)}+\beta(\frac{\partial}{\partial y})_{f(0,0)}+\gamma(\frac{\partial}{\partial z})_{f(0,0)}\in\mathrm{Im}(T_{(0,0)}f)$?
• Задатак 7 (25.10.2021): Испитати да ли постоји субмерзија $f\colon \mathbf{S}^1\to\mathbb{R}$, односно да ли постоји субмерзија $f\colon \mathbf{S}^1\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$.
• Задатак 8 (27.10.2021): Одредити општи облик векторског поља $V\in\mathfrak{X}(\mathbb{R}^2)$ ако важи $\displaystyle[\frac{\partial}{\partial x},V]=V=[V,\frac{\partial}{\partial y}]$.
• Задатак 9 (03.11.2021): Нека је ${Q}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>0,y>0\}$ отворена подмногострукост од $\mathbb{R}^2$ и $f\colon {Q}\rightarrow {Q}$ дато са $(u,v)=f(x,y)=(xy,y/x)$. Показати да је $f$ дифеоморфизам и израчунати $f_*(x{\partial_x}+y{\partial_y})$ и $f_*(y{\partial_x})$.
• Задатак 10 (03.11.2021): На многострукости $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0\}$ дата је функција $f\in\mathfrak{F}(M)$ са $f(x,y)=x/(x^2+y^2)$. Израчунати диференцијал $df$ како у стандардним, тако и у поларним координатама. Одредити скуп свих тачака $p\in M$ у којима је $df_p=0$.
• Задатак 11 (08.11.2021): За $f\colon \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, $(x,y)=f(s,t)=(st,e^t)$ и $\omega=x\,dy-y\,dx$ израчунати $f^*\omega$. За $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, $(x,y,z)=f(\theta,\varphi)=((\cos \varphi+2)\cos\theta,(\cos\varphi+2)\sin\theta,\sin\varphi)$ и $\omega=z^2\,dx$ израчунати $f^*\omega$.
• Задатак 12 (08.11.2021): Доказати да на сфери $\mathbf{S}^2\subset\mathbb{R}^3$ постоји ковекторско поље које је нула у тачно једној тачки.
• Задатак 13 (10.11.2021): Нека је $M$ многострукост и $A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$. Показати да је $\mathrm{Sym} A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$ јединствено симетрично такво да $(\mathrm{Sym} A)(X,X,...,X)=A(X,X,...,X)$ важи за свако $X\in\mathfrak{X}(M)$.
• Задатак 14 (10.11.2021): Показати да је симетричан производ асоцијативан за симетричне коваријантне тензоре.
• Задатак 15 (22.11.2021): Нека су $\mathcal{V}$ и $\mathcal{W}$ простори са унутрашњим производом исте коначне димензије. Ако је $f\colon \mathcal{V}\to\mathcal{W}$ пресликавање које чува координатни почетак и растојања ($f(0)=0$ и $||f(x)-f(y)||=||x-y||$), онда је $f$ линеарна изометрија.
• Задатак 16 (22.11.2021): Доказати да је конус $\{(z\cos\theta,z\sin\theta,z):z>0,\theta\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^3$ локално изометричан са равни $\mathbb{R}^2$.
• Задатак 17 (29.11.2021): Направити (Белтрами-Клајнов) модел хиперболичког простора користећи централну пројекцију $c\colon\mathbf{H}^n_r \to \mathbf{K}^n_r$ која тачку $P\in \mathbf{H}^n_r\subset \mathbb{R}^{n+1}_1$ шаље у продор праве $OP$ кроз хиперраван $x_0=r$. Показати да је $c$ дифеоморфизам и израчунати индуковану метрику у природним координатама од $\mathbf{K}^n_r$.
• Задатак 18 (29.11.2021): Доказати да je псеудосфера димензије $n$, индекса $\nu$ и полупречника $r$ дифеоморфна са $\mathbb{R}^{\nu}\times\mathbf{S}^{n-\nu}$. Доказати да је псеудохиперболички простор димензије $n$, индекса $\nu$ и полупречника $r$ дифеоморфан са $\mathbb{R}^{n-\nu}\times\mathbf{S}^{\nu}$.
• Задатак 19 (13.12.2021): Одредити геодезијске у Белтрами-Клајновом диск моделу $(M,g)$, где је $M=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 : x_1^2+x_2^2<1\}$, $g=\frac{dx_1^2+dx_2^2}{1-x_1^2-x_2^2}+\frac{(x_1dx_1+x_2dx_2)^2}{(1-x_1^2-x_2^2)^2}$.
• Задатак 20 (22.12.2021): Поставити теорему (са што мање услова) која гарантује егзистенцију (једнозначност смо доказали на часу) алгебарског тензора кривине за унапред задате операторе који би постали његови Јакобијеви оператори.

Литература
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2013. ISBN 978-1-4419-9981-8
• John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2018. ISBN 978-3-319-91754-2
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2011. ISBN 978-1-4419-7939-1
• Barrett O'Neill, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Academic Press, 1983. ISBN 978-0-1252-6740-3
• Jeffrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, 2009. ISBN 978-0-8218-4815-9
• Мирослава Антић, Диференцијална геометрија многострукости, Математички факултет, Београд, 2015. ISBN 978-86-7589-102-4