Владица Андрејић - Диференцијална геометрија 2020/21

Активности 2020/21            15   15     %   30 70
                             Акт  К1 К2 Час   ПО УИ   Датум     оцена
Ковачевић Филип      15/17    15  14     46   29 62  21.05.2021  10
Велов Никола          5/17    15  12     91   27 70  24.06.2021  10
Даниловић Далибор    87/17    13  13     41   26 70  26.09.2021  10
Зечевић Даница       32/17    13   7 10  44   23 35  28.09.2021   6
Тодоровић Станислав  43/16    13      9  ++   22 
Ђорђевић Данијел     16/17    15   3  6  88   21 
Динић Урош           49/16    13      7  25   20 
Haider Rami         442/17    10   3    100   13 
Мићић Кристина       40/17    12         19   12 
Бузго Давид          19/17     6      6  37   12 
Вујчић Милош          3/17    11          7   11 
Кремић Вук           63/15               ->   22 50  24.12.2020   8
Вулета Сара          52/15               ->   21 35  28.09.2021   6
Убавић Никола       310/16               ->   19 
Тодорић Софија       36/15     5         ->   17 45  04.09.2021   7
Тарајић Магдалена    86/16               ->   17 
Синобад Соња         62/15               ->   17
Јелисавчић Јелена    44/10     5         81   10 

Глатке многострукости
• 1.1 Историјски увод, 13.10.2020.
• 1.2 Тополошка многострукост, 13.10.2020.
• 1.3 Тополошке особине многострукости, 13.10.2020.
• 1.4 Глатке многострукости, 16.10.2020.
• 1.5 Количничке многострукости, 20.10.2020.
• 1.6 Глатка пресликавања, 20.10.2020.
• 1.7 Дифеоморфизми, 20.10.2020.
• 1.8 Разбијање јединице, 23.10.2020, 27.10.2020.
• 1.9 Тангентни вектори, 27.10.2020.
• 1.10 Тангентна пресликавања, 27.10.2020.
• 1.11 Субмерзије и имерзије, 30.10.2020.
• 1.12 Подмногострукости, 03.11.2020.
• 1.13 Векторска поља, 03.11.2020, 06.11.2020.
• 1.14 Глобално тангентно пресликавање, 10.11.2020.
• 1.15 Векторска раслојења 17.11.2020.
• 1.16 Покретни репери, 10.11.2020, 17.11.2020.
• 1.17 Векторска поља на сфери, 10.11.2020.
• 1.18 Ковекторска поља 13.11.2020.
• 1.19 Тензорска поља 17.11.2020, 20.11.2020.
• 1.20 Извод тензорских поља 20.11.2020.

Псеудо-Риманова геометрија
• 2.1 Скаларни производ 24.11.2020.
• 2.2 Изотропни вектори 24.11.2020.
• 2.3 Псеудо-Риманове многострукости 27.11.2020.
• 2.4 Повлачење метричких тензора 01.12.2020.
• 2.5 Музички изоморфизми 01.12.2020.
• 2.6 Модел простори 04.12.2020, 08.12.2020.
• 2.7 Дужина и растојање 08.12.2020.
• 2.8 Коваријантни изводи 08.12.2020, 11.12.2020.
• 2.9 Леви-Чивита повезаност 11.12.2020, 15.12.2020.
• 2.10 Паралелно померање 15.12.2020.
• 2.11 Геодезијске криве 15.12.2020.
• 2.12 Експоненцијално пресликавање 18.12.2020.
• 2.13 Тензор кривине 22.12.2020.
• 2.14 Алгебарски тензор кривине 22.12.2020.
• 2.15 Секциона кривина 22.12.2020, 25.12.2020.
• 2.16 Константна секциона кривина 25.12.2020.
• 2.17 Ричијев тензор 29.12.2020.
• 2.18 Локалне изометрије 29.12.2020.

Домаћи задаци 2020/21            домаћи задаци
                                 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Haider Rami         442/17       + + + - + + + = + + = - - + + . . + + +
Бузго Давид          19/17       + + + . + + + . + + . . . + + . . . . .
Велов Никола          5/17       + + + + + + + = + + + + + + + + + + + +
Вујчић Милош          3/17       + + + + + + + + + + . + + + + . + + . .
Даниловић Далибор    87/17       + + + = + + + + + + = + = + + + + + . +
Динић Урош           49/16       + + + + + + + = + + + + + - + + + + + =
Ђорђевић Данијел     16/17       + + + + + + + + + + = + = + + + + + + .
Зечевић Даница       32/17       + + + + + + + + + + = + + + + + . + + +
Ковачевић Филип      15/17       + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Мићић Кристина       40/17       + + + + + + + + + + + + = + + + . + + .
Тодорић Софија       36/15       + + + = + + + . . . . . . + . . . . . .
Тодоровић Станислав  43/16       + + + + + + + + + + + + + + + = + + + =
Јелисавчић Јелена    44/10       + + + . + . + . = + . . . + . . . . . .
==========================
+ преко пола
= до пола
- није решење
. није послат
* нисам проценио

Домаћи задаци:
• Задатак 1 (16.10.2020): Показати да два атласа на сфери, онај са пројекцијама на отворене хемисфере ($2n+2$ карата) и онај са стереографским пројекцијама ($2$ карте) дају исту глатку структуру. Одрадити комплетне рачуне, почевши од извођења формула за стереографску пројекцију.
• Задатак 2 (20.10.2020): Доказати да је скуп свих афиних правих из $\mathbb{R}^2$ глатка многострукост (постоји гладак атлас).
• Задатак 3 (20.10.2020): Доказати да је пресликавање $f\colon \mathbf{S}^1 \to \mathbf{S}^1=\{z\in\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2 : |{z}|=1\}$ дато са $f(z)=z^2$ глатко.
• Задатак 4 (27.10.2020): Нека су $A$ и $B$ дисјунктни затворени подскупови многострукости $M$. Доказати да постоји глатко $f\in\mathcal{F}(M)$ такво да важи $f^{-1}(\{1\})=A$ и $f^{-1}(\{0\})=B$.
• Задатак 5 (27.10.2020): У полуравни $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y>0\}\subset \mathbb{R}^2$ је тачка $p\in M$ дата координатама $(x,y)=(0,2)$. Изразити тангентни вектор $T_pM\ni X=4\big(\frac{\partial }{\partial x}\big)_p+ \big(\frac{\partial }{\partial y}\big)_p$ преко $\big(\frac{\partial }{\partial r}\big)_p$ и $\big(\frac{\partial }{\partial \theta}\big)_p$ у поларним координатама.
• Задатак 6 (30.10.2020): Доказати да не постоји субмерзија компактне многострукости у еуклидски простор.
• Задатак 7 (06.11.2020): Одредити општи облик векторског поља $V\in\mathfrak{X}(\mathbb{R}^2)$ ако важи $\displaystyle[\frac{\partial}{\partial x},V]=V=[V,\frac{\partial}{\partial y}]$.
• Задатак 8 (13.11.2020): Доказати да на сфери $\mathbf{S}^2\subset\mathbb{R}^3$ постоји ковекторско поље које је нула у тачно једној тачки.
• Задатак 9 (13.11.2020): На многострукости $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0\}$ дата је функција $f\in\mathfrak{F}(M)$ са $f(x,y)=x/(x^2+y^2)$. Израчунати координатну репрезентацију диференцијала $df$ како у стандардним, тако и у поларним координатама. Одредити скуп свих тачака $p\in M$ у којима је $df_p=0$.
• Задатак 10 (13.11.2020): За $f\colon \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, $(x,y)=f(s,t)=(st,e^t)$ и $\omega=x\,dy-y\,dx$ израчунати $f^*\omega$.
• Задатак 11 (20.11.2020): Нека је $M$ многострукост и $A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$. Показати да је $\mathrm{Sym} A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$ јединствено симетрично такво да $(\mathrm{Sym} A)(X,X,...,X)=A(X,X,...,X)$ важи за свако $X\in\mathfrak{X}(M)$.
• Задатак 12 (20.11.2020): Показати да је симетричан производ асоцијативан за симетричне коваријантне тензоре.
• Задатак 13 (20.11.2020): Нека је $M$ многострукост и $A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$. Показати да за свако $X,Y\in\mathfrak{X}(M)$ важи $L_XL_YA-L_YL_XA=L_{[X,Y]}A$.
• Задатак 14 (24.11.2020): Нека су $\mathcal{V}$ и $\mathcal{W}$ простори са унутрашњим производом исте коначне димензије. Ако је $f\colon \mathcal{V}\to\mathcal{W}$ пресликавање које чува координатни почетак и растојања ($f(0)=0$ и $||f(x)-f(y)||=||x-y||$), онда је $f$ линеарна изометрија.
• Задатак 15 (01.12.2020): Доказати да је конус $\{(z\cos\theta,z\sin\theta,z):z>0,\theta\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^3$ локално изометричан са равни $\mathbb{R}^2$.
• Задатак 16 (04.12.2020): Направити (Белтрами-Клајнов) модел хиперболичког простора користећи централну пројекцију $c\colon\mathbf{H}^n_r \to \mathbf{K}^n_r$ која тачку $P\in \mathbf{H}^n_r\subset \mathbb{R}^{n+1}_1$ шаље у продор праве $OP$ кроз хиперраван $x_0=r$. Показати да је $c$ дифеоморфизам и израчунати индуковану метрику у природним координатама од $\mathbf{K}^n_r$.
• Задатак 17 (11.12.2020): Доказати да je псеудосфера димензије $n$, индекса $\nu$ и полупречника $r$ дифеоморфна са $\mathbb{R}^{\nu}\times\mathbf{S}^{n-\nu}$. Доказати да је псеудохиперболички простор димензије $n$, индекса $\nu$ и полупречника $r$ дифеоморфан са $\mathbb{R}^{n-\nu}\times\mathbf{S}^{\nu}$.
• Задатак 18 (11.12.2020): За $A\in\mathfrak{T}^r_s(M)$ дефинишемо $\nabla_{X,Y}^2 A\in\mathfrak{T}^r_s(M)$ са $\nabla_{X,Y}^2 A (\omega_1,\dots,\omega_r,Z_1,\dots,Z_s)=\nabla^2 A (\omega_1,\dots,\omega_r,Z_1,\dots,Z_s, Y,X)$. Доказати да важи $\nabla_{X,Y}^2 A=\nabla_X \nabla_Y A - \nabla_{\nabla_XY}A$.
• Задатак 19 (15.12.2020): Одредити геодезијске у Белтрами-Клајновом диск моделу $(M,g)$, где је $M=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 : x_1^2+x_2^2<1\}$, $g=\frac{dx_1^2+dx_2^2}{1-x_1^2-x_2^2}+\frac{(x_1dx_1+x_2dx_2)^2}{(1-x_1^2-x_2^2)^2}$.
• Задатак 20 (25.12.2020): Кулкарни-Номицу производ $A {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} B\in\mathfrak{T}^0_4(\mathcal{V})$ уводимо са $(A {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} B) (X,Y,Z,W)=A(X,W)B(Y,Z)+A(Y,Z)B(X,W)-A(X,Z)B(Y,W)-A(Y,W)B(X,Z)$ на квадратном простору $(\mathcal{V},g)$ димензије $n$ за симетричне $A,B\in\mathfrak{T}^0_2(\mathcal{V})$. Показати: 1) $A {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} B$ је алгебарски тезор кривине; 2) $A {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} B=B {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} A$; 3) $\mathrm{tr}_g(A {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g)=(n-2)A+(\mathrm{tr}_g A)g$; 4) $\mathrm{tr}_g(g {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g)=2(n-1)g$, где је $\mathrm{tr}_g$ увек по првом и последњем индексу.

Литература
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2013. ISBN 978-1-4419-9981-8
• John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2018. ISBN 978-3-319-91754-2
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd Edition, Springer, 2011. ISBN 978-1-4419-7939-1
• Barrett O'Neill, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Academic Press, 1983. ISBN 978-0-1252-6740-3
• Jeffrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, 2009. ISBN 978-0-8218-4815-9
• Мирослава Антић, Диференцијална геометрија многострукости, Математички факултет, Београд, 2015. ISBN 978-86-7589-102-4