Активности 2023 #/5 #/6 #/24 30 70
Акт К1 К2 KS Час ПО УИ Датум оцена
Хаџи Јорданов Лука 380/21 10 3.9 4.5 8.4 + 29
Цоловић Урош 33/21 10 3.4 4.7 8.1 + 28
Оваскаинен Вук Симон 97/20 10 4.1 3.7 7.8 + 27 68 18.03.2024 10
Суботић Антоније 16/20 10 2.9 2.5 5.4 + 22
Милосављевић Петар 40/20 10 2.9 2.3 5.2 + 22
Корсић Лазар 22/19 6 4.4 2.9 7.3 + 22
Етински Едвард Габријел 22/20 10 1.2 2.9 4.1 + 19
Петковић Лука 14/20 5 2.8 2.4 5.2 + 17 54 20.03.2024 8
Илић Јелена 12/19 9 2.3 2.3 + 17
Нешковић Филип 86/18 8 0.5 2.1 2.6 + 14
Enguehard Mathilde 314/23 6 0.2 0.2 + 6
Вари Јован 132/19 0.0 0.0 0.0 8 0
Јојић Марко 16/21 0.0 1 0
Томић Богдан 16/19 -> 26
Петровић Ђорђе 118/17 -> 19
Домаћи задаци 2023 домаћи задаци
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 ===
Хаџи Јорданов Лука 380/21 + + + + + + + + + + + + 120
Суботић Антоније 16/20 + + + + + + + + + + + + 114
Оваскаинен Вук Симон 97/20 + + + + + + + + + + + + 109
Цоловић Урош 33/21 + + + + + + + + = + + + 100
Милосављевић Петар 40/20 + + = - + + + + + + + = 100
Етински Едвард Габријел 22/20 + + + + + + + = + + . = 100
Илић Јелена 12/19 + + + + + + + . . + + . 88
Нешковић Филип 86/18 + + - + + + + . + + x = 77
Корсић Лазар 22/19 x = + + + + + . . . . . 56
Enguehard Mathilde 314/23 = + = x . + + x - - + . 50
Петковић Лука 14/20 + + - - . + + . = . . . 41
Вари Јован 132/19 x . . . . . . . . . . .
Јојић Марко 16/21 . x . . . . . . . . . .
==========================
+ решење
= половично
- има нешто
x није решење
. није послат
* нисам проценио
Домаћи задаци:
- Задатак 1 (05.10.2023): Показати да је атлас на сфери са пројекцијама на отворене хемисфере ($2n+2$ карата) гладак. Показати да он даје исту глатку структуру као и стереографске пројекције ($2$ карте).
- Задатак 2 (09.10.2023): Доказати да скуп свих афиних правих из $\mathbb{R}^2$ чини (на што природнији начин) глатку многострукост (користити теорему са часа).
- Задатак 3 (12.10.2023): Доказати да је пресликавање $f\colon \mathbf{S}^1 \to \mathbf{S}^1=\{z\in\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2 : |z|=1\}$ дато са $f(z)=z^2$ глатко.
- Задатак 4 (12.10.2023): Доказати да за свако $p\in \mathbf{B}^n=B_1(0)\subset\mathbb{R}^n$ постоји дифеоморфизам $f\colon \mathbf{B}^n \to \mathbf{B}^n$ такав да је $f(0)=p$. Доказати да постоје хомеоморфизми (барем два) $f\colon \mathbf{B}^n \to \mathbf{B}^n$ који нису дифеоморфизми, али јесу глатки на $\mathbf{B}^n\setminus\{0\}$ и важи $f(0)=0$.
- Задатак 5 (16.10.2023): Нека је $f\colon M\to \mathbb{R}$ позитивна непрекидна функција на многострукости $M$. Доказати да постоји $h\in \mathfrak{F}(M)$ такво да за свако $p\in M$ важи $0 < h(p) < f(p)$.
- Задатак 6 (23.10.2023): Нека је $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ дато са $f(x,y)=(x^2y+y^2,x-2y^3,ye^x)$. Израчунати $T_{(0,1)}f\left(4(\frac{\partial}{\partial x})_{(0,1)}-(\frac{\partial}{\partial y})_{(0,1)}\right)$. За које $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ важи $\alpha(\frac{\partial}{\partial x})_{f(0,0)}+\beta(\frac{\partial}{\partial y})_{f(0,0)}+\gamma(\frac{\partial}{\partial z})_{f(0,0)}\in\mathrm{Im}(T_{(0,0)}f)$?
- Задатак 7 (26.10.2023): За које $r\in\mathbb{R}$ је скуп $M= \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2=1,\, x^2+z^2=r^2\}\subset \mathbb{R}^3$ једнодимензиона многострукост?
- Задатак 8 (13.11.2023): Конструисати ковекторско поље на сфери $\mathbf{S}^2\subset\mathbb{R}^3$ које је нула у тачно једној тачки (без коришћења скаларног производа).
- Задатак 9 (13.11.2023): Израчунати како конструисано (и на часу, и у књизи) векторско поље на сфери које је нула само у северном полу, гласи у терминима парцијалних извода по $x,y,z$ у $\mathbb{R}^3$. Покушајте да нађете неку геометријску интерпретацију са идејом да скицирамо и нацртамо то векторско поље. Ако не успете то да урадите за моје векторско поље, покушајте да пронађете неко друго такво векторско поље које ће имати лепшу геометријску интепретацију и слику.
- Задатак 10 (16.11.2023): Нека је $M$ многострукост и $A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$. Показати да је $\mathrm{Sym} A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$ јединствено симетрично такво да $(\mathrm{Sym} A)(X,X,...,X)=A(X,X,...,X)$ важи за свако $X\in\mathfrak{X}(M)$.
- Задатак 11 (16.11.2023): Показати да је симетричан производ асоцијативан за симетричне коваријантне тензоре.
- Задатак 12 (30.11.2021): Направити (Белтрами-Клајнов) модел хиперболичког простора користећи централну пројекцију $c\colon\mathbf{H}^n \to \mathbf{K}^n$ која тачку $P\in \mathbf{H}^n\subset \mathbb{R}^{n+1}_1$ шаље у продор праве $OP$ кроз хиперраван $x_0=1$. Показати да је $c$ дифеоморфизам и израчунати индуковану метрику у природним координатама од $\mathbf{K}^n$.