Активности 2022 #/23 30 70
Акт К1 К2 K3 KS Час ПО УИ Датум оцена
Мартиновић Павле 4/19 2.9 5.0 3.0 10.9 20! 30 70 24.04.2023 10
Динић Урош 49/16 3.1 4.9 2.6 10.6 23! 30 66 04.09.2023 10
Томић Богдан 16/19 2.8 4.2 1.6 8.6 20! 26
Кривокућа Катарина 40/19 2.7 3.0 2.7 8.4 17! 26 66 07.07.2023 10
Дамњановић Ана 1/19 2.4 4.5 1.1 8.0 22! 25 66 24.04.2023 10
Касом Павле 119/19 2.1 3.5 2.3 7.9 21! 25 56 08.05.2023 9
Бабић Тијана 7/18 2.2 2.8 1.3 6.3 22! 21 50 19.09.2023 8
Петровић Ђорђе 118/17 2.4 3.9 2.9 9.2 12 19
Стојановић Павле 187/19 0.8 2.3 0.0 3.1 21! 14 37 16.09.2023 6
Нешковић Филип 86/18 0.2 0.6 0.8 5 2
Тодоровић Станислав 43/16 -> 22 29 15.11.2022 6
Убавић Никола 310/16 -> 19 45 04.09.2023 7
Домаћи задаци 2022 домаћи задаци
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
Мартиновић Павле 4/19 + + + + + + + + + + + + +
Динић Урош 49/16 + + + + + + + + + + + + +
Кривокућа Катарина 40/19 + + + + + + + + + + + + +
Томић Богдан 16/19 + = + + + + + + + + + + +
Дамњановић Ана 1/19 + + + + + + + + + + + - +
Касом Павле 119/19 + + + + + + + + + + + + .
Бабић Тијана 7/18 + x + + + + + + + + + - +
Стојановић Павле 187/19 + . . + + + + + + + + . +
Нешковић Филип 86/18 . x x . . . . . + + + . .
Петровић Ђорђе 118/17 + . . + + . . + . . . . .
==========================
+ решење
= половично
- има нешто
x није решење
. није послат
* нисам проценио
Домаћи задаци:
- Задатак 1 (14.10.2022): Показати да је атлас на сфери са пројекцијама на отворене хемисфере ($2n+2$ карата) гладак. Показати да он даје исту глатку структуру као и стереографске пројекције ($2$ карте).
- Задатак 2 (18.10.2022): Формулисати теорему за конструисање глатке многострукости за дати скуп и потенцијални гладак атлас (одређује топологију и обезбеђује особине глатке многострукости).
- Задатак 3 (18.10.2022): Доказати да је скуп свих афиних правих из $\mathbb{R}^2$ глатка многострукост (искористити претходни задатак).
- Задатак 4 (21.10.2022): Доказати да за свако $p\in \mathbf{B}^n=B_1(0)\subset\mathbb{R}^n$ постоји дифеоморфизам $f\colon \mathbf{B}^n \to \mathbf{B}^n$ такав да је $f(0)=p$.
- Задатак 5 (21.10.2022): Доказати да постоје (барем два) хомеоморфизми $f\colon \mathbf{B}^n \to \mathbf{B}^n$ који нису дифеоморфизми, али јесу глатки на $\mathbf{B}^n\setminus\{0\}$ и важи $f(0)=0$.
- Задатак 6 (01.11.2022): Нека је $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ дато са $f(x,y)=(x^2y+y^2,x-2y^3,ye^x)$. Израчунати $T_{(0,1)}f\left(4(\frac{\partial}{\partial x})_{(0,1)}-(\frac{\partial}{\partial y})_{(0,1)}\right)$. За које $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ важи $\alpha(\frac{\partial}{\partial x})_{f(0,0)}+\beta(\frac{\partial}{\partial y})_{f(0,0)}+\gamma(\frac{\partial}{\partial z})_{f(0,0)}\in\mathrm{Im}(T_{(0,0)}f)$?
- Задатак 7 (01.11.2022): Испитати да ли постоји субмерзија $f\colon \mathbf{S}^1\to\mathbb{R}$, односно да ли постоји субмерзија $f\colon \mathbf{S}^1\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$.
- Задатак 8 (08.11.2022): Одредити реалне константе $a$ и $c$ за које векторска поља $X,Y\in\mathfrak{X}(\mathbb{R_+}\times\mathbb{R_+})$ дата са $X=x\frac{\partial}{\partial x}+2y\frac{\partial}{\partial y}$ и $Y=a\frac{\partial}{\partial x}+x^c\frac{\partial}{\partial y}$ дозвољавају промену координата, тако да $X$ и $Y$ постају координатна векторска поља, а затим наћи такву промену координата.
- Задатак 9 (18.11.2022): Нека је ${Q}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>0,y>0\}$ отворена подмногострукост од $\mathbb{R}^2$ и $f\colon {Q}\rightarrow {Q}$ дато са $(u,v)=f(x,y)=(xy,y/x)$. Показати да је $f$ дифеоморфизам и израчунати $f_*(x{\partial_x}+y{\partial_y})$ и $f_*(y{\partial_x})$.
- Задатак 10 (18.11.2022): На многострукости $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0\}$ дата је функција $f\in\mathfrak{F}(M)$ са $f(x,y)=x/(x^2+y^2)$. Израчунати диференцијал $df$ како у стандардним, тако и у поларним координатама. Одредити скуп свих тачака $p\in M$ у којима је $df_p=0$.
- Задатак 11 (18.11.2022): За $f\colon \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, $(x,y)=f(s,t)=(st,e^t)$ и $\omega=x\,dy-y\,dx$ израчунати $f^*\omega$. За $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, $(x,y,z)=f(\theta,\varphi)=((\cos \varphi+2)\cos\theta,(\cos\varphi+2)\sin\theta,\sin\varphi)$ и $\omega=z^2\,dx$ израчунати $f^*\omega$.
- Задатак 12 (25.11.2022): Нека је $M$ многострукост и $A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$. Показати да је $\mathrm{Sym} A\in\mathfrak{T}^0_s(M)$ јединствено симетрично такво да $(\mathrm{Sym} A)(X,X,...,X)=A(X,X,...,X)$ важи за свако $X\in\mathfrak{X}(M)$.
- Задатак 13 (25.11.2022): Показати да је симетричан производ асоцијативан за симетричне коваријантне тензоре.