REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI

M. MATELJEVIĆ

Abstract. ℜ ℜ 𝔐 𝔐

Uvod

Radna verzija, 26 septembar 2007, 29 maj 2008. Kurs iz Teorije Realnih i Kompleksnih funkcija (TR-KF, popularno TRiK) sastoji se okvirno iz prve tri glave MM [Ma 9]i [Ma 9]: Kompleksne funkcije 1 & 2, Beograd, 2006, Kompleksna Analiza, BL 2004 (v. takodje Mitrinović [Mi] ) i dodatka u prilogu. Dodatak se odnosi na realnu analizu. Za više detalja o realnoj analizi videti npr. u Aljančić [Alj] i Rudin [Ru] (v. takodje Kolmogorov, Fomin [Ko-Fo]; Arsenović, Dostanić i Jocić [Ar-Do-Jo]). S obzirom da je kurs prvenstveno namenjen studentima R-smera ”teži” dokazi i delovi koji izlaze iz osnovnog dela kursa su samo skicirani i obično označeni sa *. Nadamo se da će dalje dopune i korekcije uzeti u obzir primedbe kolega i studenata.

1. Integracija 1

U ovoj sekciji dajemo kratak pregled osnovnih svojstava mere i Lebeg-ovog integrala (detalje v. u Aljančić [Alj] i Rudin [Ru]).

1.1. mera. Svakom intervalu I = (a, b) na realnoj pravoj odgovara merni broj m(I) - dužina b − a. Da li i drugim skupovima A ⊂ ℝ odgovara odredjen realan broj-mera skupa m(A) tako da je

1. m(A) dužina intervala kada je A interval

2. m(A) ima karakteristične osobine dužine intervala: a. m je nenegativna i b. (aditivnost) mera unije disjunktnih skupova jednaka je zbiru mera skupova

Ne postoji funkcija navedenih osobina na P ℝ. Interesantno je odrediti ”maksimalnu” familiju podskupova skupa ℝ (odrediti merljive skupove) na kojoj postoji funkcija navedenih osobina i specijalno ispitati svojstvo aditivnost.

Pomoću merljivih skupova definišu se merljive funkcije i uvodi Lebeg-ov integral, koji uopštava Riemann-ov i ima interesantne (važne) primene.

Neka je X osnovni skup.

Definicija 1.1. Neprazna familija skupova ℜ ⊂ PX je prsten ako iz

A, B ∈ ℜ ⇒ A ∪ B, A \ B ∈ ℜ

Definicija 1.2. Prsten ℜ ( ? Neprazna familija skupova ℜ ⊂ PX) je σ-prsten ako iz

A_{k} ∈ ℜ(k = 1, 2, ...) ⇒ ∪A_{k} ∈ ℜ;

Date: 29 maj, 2008.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 30.

σ-prsten ℜ se naziva σ-algebra ako X ∈ ℜ.

Definicija 1.3. Neka je ℜ prsten. Preslikavanje ϕ : ℜ → (−∞, +∞] naziva se funkcija skupa. Funkcija skupa ϕ je aditivna ako

A ∩ B = ∅ ⇒ ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) + ϕ(B),

odnosno σ-aditivna ako

A_{i} ∩ A_{j} = ∅(i ≠ j) ⇒ ϕ(∪_{k=1}^{∞}A_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} ϕ(A_{k}).

Da bi izbegli specijalnu situaciju, pretpostavimo da ϕ ne uzima svuda na ℜ vrednost +∞. Kada je reč o σ-aditivnosti, tada red ∑_{k=1}^{∞} ϕ(A_{k}) konvergira ili odredjeno divergira ka +∞. Kako ϕ(∪_{k=1}^{∞}A_{k}) ne zavisi od poretka u kome skupovi A_{k} ulaze u uniju, to ni numerički red ∑_{k=1}^{∞} ϕ(A_{k}) ne zavisi od poretka svojih članova. Otuda ako je red S = ∑_{k=1}^{∞} ϕ(A_{k}) konvergentan, onda je i apsolutno konvergentan. Specijalno, ako je ℜ σ-prsten i ako sa S^{+} ožnačimo sumu koja sadrži pozitivne , a sa S^{−} negativne brojeve ϕ(A_{k}), tada je −∞ < S^{−} ≤ 0 i 0 ≤ S^{+} ≤ +∞. Dakle S^{−} je konačan broj. ?

Propozicija 1.1. Neka je ϕ aditivna funkcija na prstenu ℜ. Tada (1) ϕ(∅) = 0

(2) ϕ(∪_{ν=1}^{n}A_{ν}) = ∑_{ν=1}^{n} ϕ(A_{ν}), gde su A_{ν} disjunktni skupovi.
(3) Za A, B ∈ ℜ,
ϕ(A ∪ B) + ϕ(A ∩ B) = ϕ(A) + ϕ(B)
(4) ako je A ⊂ B i ϕ(A) < +∞, tada
ϕ(B \ A) = ϕ(B) − ϕ(A)
(5) ako je ϕ ≥ 0, tada za A, B ∈ ℜ
ϕ(A ∪ B) ≤ ϕ(A) + ϕ(B)

a iz

A ⊂ B ⇒ ϕ(A) ≤ ϕ(B)

(6) ako je ϕ ≥ 0, niz (A_{n}) disjunktnih skupova iz ℜ i A = ∪_{ν=1}^{∞}A_{ν} ∈ ℜ, tada je

(1.1)  ϕ(A) ≥ ∑_{ν=1}^{∞} ϕ(A_{ν}).

Dokaz (1)-(5), koji se bazira na jasnoj primeni svojstvu aditivnosti, ostavljamo za vežbu. 3^{∘} Kako su A \ B i A ∩ B, odnosno A \ B i B parovi disjunktnih skupova, iz ?? sledi

ϕ[(A \ B) ∪ (A ∩ B)] = ϕ(A \ B) + ϕ(A ∩ B),
ϕ[(A \ B) ∪ B] = ϕ(A \ B) + ϕ(B),

tj.

ϕ(A \ B) + ϕ(A ∩ B) = ϕ(A),
ϕ(A ∪ B) = ϕ(A \ B) + ϕ(B).

Sabiranjem ove dve nejednakosti sledi tvrdjenje ako je ϕ(A \ B) < +∞. Ako je ϕ(A \ B) = +∞, tada je prema prethodnim jednačinama ϕ(A) = +∞, ϕ(A ∪ B) = +∞, pa su obe strane u 3^{∘} jednake +∞.

Na osnovu druge nejednačine u (5) i aditivnosti, iz A ⊃ ∪_{ν=1}^{n}A_{ν} za svako n sledi

ϕ(A) ≥ ϕ(∪_{ν=1}^{n}A_{ν}) = ∑_{ν=1}^{n} ϕ(A_{ν})

za svako n i otuda 1.1.

Propozicija 1.2. Neka je ϕ σ-aditivna funkcija na prstenu ℜ. Tada (1) ako je niz (A_{n}) iz ℜ, A = ∪_{ν=1}^{∞}A_{ν} ∈ ℜ i A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ A_{3} ⊂ ..., tada

ϕ(A_{n}) → ϕ(A)

(2) ako je niz (A_{n}) iz ℜ, A = ∩_{ν=1}^{∞}A_{ν} ∈ ℜ, A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ A_{3} ⊃ ... i ako je ϕ(A_{k}) < ∞ (za neko fiksirano k), tada

ϕ(A_{n}) → ϕ(A).

Uputstvo za (1). Definišimo B_{1} = A_{1} i B_{n} = A_{n} \ A_{n−1} (n = 2, 3, ...,). Skupovi B_{n} su medjusobno disjunktni i A_{n} = ⋃_{ν=1}^{n} B_{ν}, A = ⋃_{ν=1}^{∞} B_{ν}. Primeniti σ-aditivnost. Uputstvo za (2). Pretpostavimo da je k = 1. Definišimo C_{n} = A_{1} \ A_{n}. Tada je C_{1} ⊂ C_{2} ⊂ C_{3} ⊂ ..., A_{1} \ A = ∪_{ν=1}^{∞}C_{ν}. Na osnovu prvog dela,

ϕ(A_{1} \ A_{n}) = ϕ(C_{n}) → ϕ(A_{1} \ A).

Pretpostavka ϕ(A_{k}) < ∞ je bitna kao što pokazuje sledeći primer. Neka je za A ⊂ N, |A| broj elemenata u A ako je A konačan skup i +∞ ako je A beskonačan skup; ova funkcija je σ-aditivna na P N. Neka je X_{n} = {n, n + 1, n + 2, … }; tada |X_{n}| = +∞, i X = ∩_{n=1}^{∞}X_{n} = ∅. Dakle |X_{n}| ne teži |X|.

Definicija 1.4. Nenegativna (sa vrednostima u [0, ∞]) σ-aditivna funkcija definisana na σ-algebri (ili prstenu) ℜ naziva se pozitivna mera na ℜ. Skupovi iz ℜ nazivaju se merljivi skupovi.

1.1.1. Elementarni skupovi. Otvoren interval u ℝ^{m} je skup

I = {x = (x_{k}) : x_{k} ∈ (α_{k}, β_{k}), k = 1, 2, ..., m},

gde su α_{k} i β_{k} (α_{k} ≤ β_{k}) konačni realni brojevi. Za m = 1 to je interval na pravoj, za m = 2 pravougaonik u ravni, za m = 3 kvadar u prostoru, itd. Intervalu I dodeljujemo merni broj

m(I) = ∏_{k=1}^{m}(β_{k} − α_{k}),

tj. dužinu za m = 1, površinu za m = 2, zapreminu za m = 3.

U nekim situacijima, pogodno je da za otvorene, poluotvorene i zatvorene intervale koristiti zajednički naziv interval.

Definicija 1.5. A ⊂ ℝ^{m} je elementaran skup u ℝ^{m} ako je unija konačno intervala.

Familiju elementarnih skupova označavamo sa E.

Propozicija 1.3. Ako je je A ∈ E, tada postoji jedno razlaganje skupa A na konačno disjunktnih intervala I_{ν} (tj. postoji konačno disjunktnih intervala I_{ν} tako da je A = ∪_{ν=1}^{n}I_{ν}).

Vežba 1.1. Razmotriti prvo dokaza za 1-dimenzione elementarne skupove.

Uputstvo u slučaju ravni. Neka je A unija intervala J_{μ} i S skup temena ovih intervala; a S_{1} i S_{2} projekcije skupa S respektivno na x i y -ose. Konstruišimo pomoću S_{1} i S_{2} odgovarajuću mrežu pravougaonika i neka npr. pravougaonici I_{ν} pripadaju skupu A. XX

Vežba 1.2. Generalisati ovaj dokaz za m-dimenzione elementarne skupove za m ≥ 2.

Definicija 1.6. Neka je A ∈ E i neka je ∪_{ν=1}^{n}I_{ν} jedno razlaganje skupa A na disjunktne intervale I_{ν}. Definišimo

m(A) = ∑_{ν=1}^{n} m(I_{ν}).

Proveriti da mera m ne zavisi od razlaganja. Neka su I_{ν} i J_{μ} dva različita razlaganja skupa A na konačno disjunktnih intervala. Kako je presek dva intervala opet interval, nalazimo m(I_{ν}) = ∑_{μ} m(I_{ν}∩J_{μ}) za svako ν, i m(J_{μ}) = ∑_{ν} m(I_{ν}∩J_{μ}) za svako μ. Otuda

∑_{ν} m(I_{ν}) = ∑_{ν,μ} m(I_{ν} ∩ J_{μ}) = ∑_{μ} m(J_{μ}).

Propozicija 1.4. Ako A ∈ E, za svako ε > 0 postoje otvoren elementaran skup G i zatvoren elementaran skup F, tako da je F ⊂ A ⊂ G i

m(A) < m(F) + ε, m(G) < m(A) + ε.

Uputstvo: Ako je A interval za G uzeti dovoljno blizak otvoren interval, a za F uzeti dovoljno blizak zatvoren interval. U opštem slučaju koristiti razlaganje dato Propozicijom 1.3.

Sledeći primer ilustruje stav: funkcija m je mera na prstenu E.

Primer 1.1. Neka je I_{k} = [\frac{1}{2^{k}} , \frac{1}{2^{k−1}} ). Proveriti da je I = (0, 1) = ∪_{k=1}^{∞}I_{k} i da je

∑_{k=1}^{∞} 2^{−k} = 1.

Navesti sličan primer za skupove u ravni; J_{k} = I_{k} × [0, 1], J = I × [0, 1].

Teorema 1.1. Funkcija m je mera na prstenu E.

Prvo pokažimo da je m aditivna. Pretpostavimo A, B ∈ E.

Na osnovu Propozicije 1.3, postoje razlaganja skupova A i B na konačno disjunktnih intervala I_{ν} i J_{μ} respektivno (tj. postoji konačno disjunktnih intervala I_{ν} i J_{μ} tako da je A = ∪_{ν=1}^{n}I_{ν} i B = ∪_{ν=1}^{m}J_{μ}). Ako je A ∩ B = ∅, tada je unija svih I_{ν} i J_{μ} jedno razlaganje skupa A ∪ B na disjunktne intervale. Otuda, na osnovu Definicije 1.6

m(A ∪ B) = ∑_{ν=1}^{n} m(I_{ν}) + ∑_{μ=1}^{m} m(J_{μ}) = m(A) + m(B).

Skica dokaza da je m σ-aditivna. Pretpostavimo da su skupovi A_{ν} ∈ E disjunktni i da A = ∪_{ν=1}^{∞}A_{ν} ∈ E. Na osnovu aditivnosi m (preciznije nejednakosti 1.1), sledi

m(A) ≥ ∑_{ν=1}^{∞} m(A_{ν}) =: S.

Interesantno je da je ideja dokaza obrnute nejednačine da se A aproksimira pomoću konačnog pokrivača. Dokaz obrnute nejednačine bazira se na Propoziciji 1.4 i Heine-Borel stavu: iz otvorenog pokrivača zatvorenog i ograničenog skupa može se izdvojiti konačno pokrivanje (uporediti sa dokazom da je m^{∗} σ-subaditivna).

Za svako ε > 0, na osnovu Propozicije 1.4, postoji zatvoren elementaran skup F i postoje otvoreni elementarani skup G_{n}, tako da je F ⊂ A, A_{n} ⊂ G_{n} i

m(A) < m(F) + ε, m(G_{n}) < m(A_{n}) + \frac{ε}{2^{n}} , n ≥ 1.

Kako je {G_{n}} jedno otvoreno pokrivanje skupa F, može se izdvojiti jedno konačno pokrivanje, tj. postoji prirodan broj p tako da je

∪_{n=1}^{p}G_{n} ⊃ F.

Otuda je

m(A) − ε < m(F) ≤ ∑_{n=1}^{p} m(G_{n}) < S + ε,

tj. m(A) < S + 2ε odnosno m(A) ≤ S, jer ε možemo birati proizvoljno malo. □

Spoljna mera Spoljna mera m^{∗}(A) definiše se sa

(1.2)  m^{∗}(A) = inf ∑_{k=1}^{∞} m(I_{k}),

gde se infimum uzima preko svih najviše prebrojivih pokrivanja skupa A intervalima (I_{k}), ∪_{k=1}^{∞}I_{k} ⊃ A.

Važno svojstvo spoljne mere je σ- subaditivnost, Propozicija 1.5, svojstvo 4^{0} : ako je A = ∪_{k=1}^{∞}A_{k}, tada m^{∗}(A) ≤ ∑_{k=1}^{∞} m^{∗}(A_{k}).

Propozicija 1.5. Spoljna mera m^{∗} ima sledeće osobine: 1^{0}. Ako je A ∈ E, tada m^{∗}(A) = m(A). 2^{0}. m^{∗}(A) ≥ 0. 3^{0}. Iz A ⊂ B, sledi m^{∗}(A) ≤ m^{∗}(B). 4^{0}. Iz A = ∪_{k=1}^{∞}A_{k}, sledi m^{∗}(A) ≤ ∑_{k=1}^{∞} m^{∗}(A_{k}). 5^{0}. ako je m^{∗} aditivna na nekom σ-prstenu R ⊂ P ℝ^{m}, tada je i σ-aditivna.

Interesantno je primetiti ako je m^{∗} aditivna na nekom σ-prstenu ℜ, tada na osnovu 4^{0} i nejednakosti 1.1, je i σ-aditivna. Ponovimo dokaz nejednakosti 1.1. Neka su (A_{k}) disjunktni skupovi u ℜ i A = ∪_{k=1}^{∞}A_{k}, tada je m^{∗}(∪_{k=1}^{n}A_{k}) ≤ m^{∗}(A) i otuda ∑_{k=1}^{n} m^{∗}(A_{k}) ≤ m^{∗}(A). Stoga, na osnovu 4., sledi

(1.3)  m^{∗}(A) = ∑_{k=1}^{n} m^{∗}(A_{k}).

nemerljivi skupovi Primer 1.2. Navesti primer disjunktnih skupova A_{k} tako da u 4^{0} ne važi jednakost. U skupu realnih ℝ brojeva uvedimo relaciju ekvivalencije x ∼ y ako i samo ako x−y racionalan broj. U svakoj klasi ekvivalencije izaberimo po jednog predstavnika iz intervala (0, 1). Označimo sa E skup tih predstavnika. Neka je E_{r} = {x + r : x ∈ E}. Konstrukcija se bazira na sledećim tačkama.

1^{∘} Ako x ∈ (0, 1), postoji y ∈ E, tako da je x ∼ y. Definišimo r = x − y. Tada je x = y + r, tj. x ∈ E_{r} za neko r ∈ (0, 1).

2^{∘} Ako su r i s dva različita racionalna broja, skupovi E_{r} i E_{s} su disjunktni. Pretpostavimo da E_{r} i E_{s} (r ≠ s) nisu disjunktni, tj. da postoji x ∈ E_{r} ∩E_{s}. Otuda postoje tačke y, z ∈ E, tako da je x = y +r = z +s. No tada je y −z = s−r ≠ 0, tj. y ∼ z i y ≠ z, što bi značilo da E sadrži dva različite tačke iz iste klase ekvivalencije, suprotno definiciji skupa E. Racionalne brojeve razmaka (−1, 1) uredimo u niz (r_{n}) i definišimo A_{n} = E_{r_{n}}. Na osnovu 2^{∘}, skupovi A_{n} su disjunktni. Neka je A = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}. Iz 1^{∘} sledi, (0, 1) ⊂ A i stoga 1 ≤ m^{∗}(A). Kako su skupovi A_{n} dobijeni translacijom skupa E, ovi skupovi imaju istu spoljnu meru. Otuda, sobzirom na nejednačini 4^{∘}, sledi m^{∗}(A_{n}) = α > 0. Dakle desna strana u nejednačini 4^{∘} jednaka je +∞, dok leva, s obzirom na A ⊂ (−1, 2), nije veća od 3.

Primer 1.3. Neka je K kružnica dužine 1, na kojoj je uvedena linearna Lebegova mera; i α iracional broj.

Neka istoj klasi pripadaju one tačke kružnice K, koje mogu biti prevedene jedna u drugu rotacijom za ugao nαπ, n ceo broj. Izaberimo iz svake klase jednu tačku i označimo tako dobijen skup sa Υ_{0}; označimo sa Υ_{n} skup dobijen iz Υ_{0} rotacijom za ugao nαπ. Skupovi Υ_{n} su disjunktni i njihova unija je ceo krug K. Proveriti

1 = ∑_{k=−∞}^{∞} m(Υ_{k}) .

Suma na desnoj strani je 0, ako je m(Υ_{0}) = 0 i beskonačno , ako je m(Υ_{0}) > 0. Otuda Υ_{0} je nemerljivo.

Neka A, B ⊂ ℝ^{m}. Definišimo

d(A, B) = m^{∗}(AΔB).

Kažemo da A_{n} → A ako d(A_{n}, A) → 0.

Definicija 1.7. Skup A iz ℝ^{m} pripada kolekciji 𝔐_{K} ako postoji niz elementarnih skupova (A_{n}) tako da A_{n} → A. Skup A iz ℝ^{m} pripada kolekciji 𝔐(Lebeg-ov σ -prsten) ako je najviše prebrojiva unija skupova iz 𝔐_{K}.

Pokazati da dopustivi (Žordan merljivi) skupovi pripadaju kolekciji 𝔐_{K}; ponoviti dopustivi (Žordan merljivi) skupove iz Analize 2.

Teorema 1.2. Svaki neprazan otvoren skup G u ℝ^{m} (m ≥ 2) je prebrojiva unija zatvorenih kocki koje nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka i čije su strane paralelne koordinatnim ravnima.

dokaz za m = 2; slično za m > 2. Za fiksirano n(= 1, 2, …) sistem pravih

x_{1} = \frac{μ}{2^{n}} , x_{2} = \frac{ν}{2^{n}} (μ, ν = 0, ±1, ±2, …)

odredjuje u ravni mrežu Q_{n} zatvorenih kvadrata koje nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka.

Neka je: T_{1} kolekcija svih kvadrata mreže Q_{1} koji pripadaju G i G_{1} njihova unija; T_{2} kolekcija svih kvadrata mreže Q_{2} koji pripadaju G, ai ne pripadaju T_{1} (koji pripadaju G \ G_{1}) i G_{2} njihova unija ;T_{3} kolekcija svih kvadrata mreže Q_{3} koji pripadaju G, a ne pripadaju T_{1} ∪ T_{2} (a ne pripadaju G_{1} ∪ G_{2} ); itd. Svaka kolekcija T_{n} je najviše prebrojiva pa je takva i njihova unija T = ∪T_{n}. Poredjajmo sve kvadrate iz T u niz S_{1},S_{2}, ... Jasno je

G = ∪_{n=1}^{∞}S_{n} .

Ako je G ograničen, onda postoji pravougaonik R tako da G ⊂ R; tada je za svako n ≥ 1

∑_{k=1}^{n} m(S_{k}) ≤ m(R) .

Otuda r_{n} teži 0 kada n teži ∞, gde je r_{n} = ∑_{k=n}^{∞} m(S_{k}).

Neka je A_{n} = ∪_{k=1}^{n}S_{k}; tada m^{∗}(G \ A_{n}) ≤ r_{n}. Dakle A_{n} → G i otuda G ∈ 𝔐_{K}.

Ako A, B ∈ 𝔐_{K}, tada postoje nizovi elementarnih skupova A_{n} i B_{n} tako da A_{n} → A i B_{n} → B. Iz aditivnosti m na E sledi

m(A_{n}) + m(B_{n}) = m(A_{n} ∪ B_{n}) + m(A_{n} ∩ B_{n})

Na osnovu Propozicije 1.5, svojstvo 1^{0}, prelaskom na limes nalazimo

m^{∗}(A) + m^{∗}(B) = m^{∗}(A ∪ B) + m^{∗}(A ∩ B).

Na osnovu prethodnog razmatranja dokazuje se (detalji su ostavljeni čitaocu) sledeća lema.

Lema 1.1. 𝔐_{K} je prsten i m^{∗} je aditivna i konačna na 𝔐_{K}.

Otuda sledi da je m^{∗} aditivna na 𝔐_{K} (ključno svojstvo pomoću koga se zatim dokazuje da je m^{∗} σ-aditivna na 𝔐).

𝔐 je σ -prsten i m^{∗} je σ -aditivna funkcija skupa na 𝔐.

Ako A iz ℝ^{m} pripada kolekciji 𝔐(Lebeg-ov σ -prsten) kažemo da je A merljiv u Lebeg-ovom smislu (kratko merljiv).

Primer 1.4. Pokazati da skup E konstruisan u Primeru 1.2 nije merljiv. Ako je skup E konstruisan u Primeru 1.2 merljiv, tada su i A_{n} = E_{r_{n}} merljivi i onda u 4^{∘} važi jednakost.

Lema 1.2. Svaki skup A iz 𝔐 može se prikazati kao najviše prebrojiva unija disjunktnih skupova A_{n} iz 𝔐_{K}. Ako je skup A najviše prebrojiva unija disjunktnih skupova A_{n} iz 𝔐_{K}, tada je

(1.4)  m^{∗}(A) = ∑_{n=1}^{∞} m^{∗}(A_{n})

Primetimo da smo već dokazali 1.4 (? sledi iz 1.3). Na osnovu definicije 𝔐, postoje skupovi B_{k}, k ≥ 1, u 𝔐_{K} tako da je A = ∪_{k=1}^{∞}B_{k}. Definišimo C_{n} = ∪_{k=1}^{n}B_{k},

A_{1} = B_{1} i A_{n} = C_{n} \ C_{n−1}, (n = 2, 3, ...).

Jednostavno se proverava da skupovi A_{n} ispunjavaju tražene uslove.

Na osnovu Teoreme 1.2, svaki neprazan otvoren skup G u ℝ^{m} (m ≥ 2) je prebrojiva unija zatvorenih kocki S_{k}, k ≥ 1, koje nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka i čije su strane paralelne koordinatnim ravnima. Objasniti zašto je

m(G) = ∑_{k=1}^{∞} m(S_{k}).

Lema 1.3. Ako A ∈ 𝔐 i m^{∗}(A) < +∞, tada A ∈ 𝔐_{K}.

Na osnovu Leme 1.2 postoje disjunktni skupovi A_{k} u 𝔐_{K} tako da je A = ∪A_{k} i m^{∗}(A) = ∑ m^{∗}(A_{k}). Označimo ∪_{k=1}^{n}A_{k} sa B_{n}. Iz

d(A, B_{n}) = m^{∗}(∪_{k=n+1}^{∞}A_{k}) = ∑_{k=n+1}^{∞} m^{∗}(A_{k}) → 0

sledi da B_{n} → A. □

Na osnovu Lema 1.1, 1.2 i 1.3, dokazuje se centralni stav u Lebeg-ovoj teoriji mere

Teorema 1.3 (*). 𝔐 je σ -prsten i m^{∗} je σ -aditivna funkcija skupa na 𝔐.

Primer 1.5. Neka je I_{k}^{s} = (k, k + 1/k^{s}) × (0, 1), J_{n}^{s} = ∪_{k=1}^{n} I_{k} i J_{s} == ∪_{k=1}^{∞} I_{k}^{s}, s ≥ 0 ; tada J_{n}^{s} ∈ E, J_{s} ∉ E; kako red ∑_{k=1}^{∞} m(I_{k}^{s}) konvergira za za s > 1, J_{s} ∈ M_{K} \ E za s > 1; kako red ∑_{k=1}^{∞} m(I_{k}^{s}) divergira za za s ≤ 1, J_{s} ∈ 𝔐 \ 𝔐_{K} za s ≤ 1.

Klase merljivih skupova i funkcija

Teorema 1.4. Otvoreni i zatvoreni skupovi u ℝ^{m} su m-merljivi.

Svaki neprazan otvoren skup u ℝ^{m} (m ≥ 2) je prebrojiva unija zatvorenih kocki koje nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka i čije su strane paralelne koordinatnim ravnima. Zatvoreni skupovi su merljivi kao komplementi otvorenih.

Propozicija 1.6. Ako A ∈ 𝔐, za svako ε > 0 postoje otvoren skup G i zatvoren skup F, tako da je F ⊂ A ⊂ G i

m(A \ F) < ε, m(G \ A) < ε.

Uputstvo: Za G uzeti dovoljno blisko pokrivanje otvorenim intervalima; izdvojiti slučaj m(A) = ∞. Ako je proizvoljan skup m^{∗}(A) < +∞ (u opštem slučaju nemerljiv), tada postoji pokrivanje skupa A otvorenim intervalima I_{n} tako da je

(1.5)  ∑_{k=1}^{∞} m^{∗}(I_{k}) < m^{∗}(A) + ε.

Neka je G = ∪_{k=1}^{∞}I_{k}. Tada je G otvoren, A ⊂ G i m^{∗}(G) < m^{∗}(A) + ε. Otuda, ako je A m-merljiv, sledi

m^{∗}(G \ A) = m(G \ A) < ε.

Vežba 1.3. Objasniti zašto, bez pretpostavke da je A m-merljiv, prethodna nejednakost ne važi. Žasto svaki merljiv skup nije najviše prebrojiva unija elementarnih skupova?

Mada su skupovi G \ A i A disjunktni jednakost: m^{∗}(G \ A) + m^{∗}(A) = m^{∗}(G) ne važi ako je A nemerljiv skup. Ako ova jednakost važi za svaki otvoren skup G koji sadrži A, onda kao u dokazu sledeće Propozicije, sledi da je A merljiv. Ova situacija pokazuje da je aditivnost važno svojstvo kao i klasa merljivih skupova. □

Borel-ov skup je svaki skup koji se može dobiti iz otvorenih skupova primenjujući najviše prebrojivo unija, preseka i komplemenata.

U praksi, dovoljno je raditi sa klasom 𝔅 Borel-ovih skupova. 𝔅 je najmanji σ-prsten koji sadrži sve otvorene skupove.

Propozicija 1.7. Ako A ∈ 𝔐, tada postoje Borelovi skupovi G i F, tako da je F ⊂ A ⊂ G i

m(A \ F) = 0, m(G \ A) = 0.

Dakle, svaki m-merljiv skup može se prikazati kao unija Borelovog skupa i skupa m-mere 0: A = B ∪ (A \ B).

Uputstvo: Na osnovu Propozicije 1.6, za svako fiksirano n (n = 1, 2, ...) postoje otvoreni skupovi G_{n} i zatvoreni skupovi F_{n} tako da je F_{n} ⊂ A ⊂ G_{n} i

m(A \ F_{n}) < 1/n, m(G \ A_{n}) < 1/n.

Definišimo G = ∩_{n=1}^{∞}G_{n}, F = ∪_{n=1}^{∞}F_{n}. Kako je

m(A \ F) ≤ m(A \ F_{n}) < 1/n, m(G \ A) ≤ m(G_{n} \ A) < 1/n,

kada n → ∞ dobija se Propozicija 1.7.

Svaki neprazan otvoren skup G u R^{m} može se prikazati kao najviše prebrojiva unija zatvorenih kocki Q_{k}, koje nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka i čije su strane paralelne koordinatnim ravnima; pri tome je

m(G) = ∑ |Q_{k}|. Merljive funkcije Ponovimo ℝ^{∗} = ℝ ∪ \{±∞\}. Koristi se i oznaka \overline{ℝ}.

Označimo supremum odnosno infimum skupa {a_{n}, a_{n+1}, … } kratko sa

a_{n}^{+} =: sup_{k≥n} a_{k} odnosno a_{n}^{−} =: inf_{k≥n} a_{k}.

Niz a_{n}^{+} opada, a_{n}^{−} raste, i lim sup a_{k} = inf_{n≥1} sup_{k≥n} a_{k}, lim inf a_{k} = sup_{n≥1} inf_{k≥n} a_{k}.

Definicija 1.8. Funkcija f : ℝ^{m} → ℝ^{∗} je merljiva ako je {x : f(x) > s} merljiv za svako realno s. Kompleksna funkcija f = u + i v je merljiva ako su realne funkcije u i v merljive.

Propozicija 1.8. Ako je jedan od skupova {x : f(x) > s}, {x : f(x) ≥ s}, {x : f(x) < s}, {x : f(x) ≤ s} merljiv za svako realno s, takvi su i ostala tri.

▷

\{x : f(x) ≥ s\} = ∩_{n=1}^{∞}\{x : f(x) > s − \frac{1}{n}\}

Propozicija 1.9. Ako je f merljiva, tada je |f| merljiva. Ako je (f_{k}) niz realnih merljivih funkcija, tada su

g = sup f_{k}, h = inf f_{k}, lim sup f_{k}, lim inf f_{k}

merljive funkcije.

▷ {x : |f(x)| < s} = {x : f(x) < s} ∩ {x : f(x) > −s}.

Specijalno, ako je f realna merljiva, funkcije f^{+} = max{f(x), 0} i f^{−} = max{−f(x), 0} su merljive. Pomoću f^{+} i f^{−}, funkcije f i |f| razlažu se na razliku i zbir dve nenegativne funkcije:

f = f^{+} − f^{−}, |f| = f^{+} + f^{−}

Definišimo g = sup_{k≥1} f_{k}, A = {x : g(x) > s}, A_{n} = {x : f_{n}(x) > s}, s ∈ ℝ; kako je g ≥ f_{n}, jasno je A_{n} ⊂ A za svako n ≥ 1 i stoga

∪_{n=1}^{∞}A_{n} ⊂ A.

Ako x ∈ A, tada postoji n_{0} tako da je s < f_{n_{0}}(x) ≤ F (x); otuda x ∈ A_{n_{0}} tako da sledi A ⊂ ∪_{n=1}^{∞}A_{n} i stoga A = ∪_{n=1}^{∞}A_{n}.

Neka je B = {x : h(x) ≥ s}, B_{n} = {x : f_{n}(x) ≥ s}, s ∈ ℝ; jasno je B ⊂ B_{n} za svako n ≥ 1 i stoga B ⊂ ∩_{n=1}^{∞}B_{n}. Ako x ∈ ∩_{n=1}^{∞}B_{n}, tada f_{n}(x) ≥ s za svako n ≥ 1 i stoga h(x) ≥ s. Otuda

B = ∩_{n=1}^{∞}B_{n}.

Podvucimo da iz f_{n}(x) > s za svako n ≥ 1 sledi h(x) ≥ s.

Kako je lim sup f_{k}(x) = inf_{n≥1} sup_{k≥n} f_{k}(x), lim inf f_{k} = sup_{n≥1} inf_{k≥n} f_{k}, funkcije lim sup f_{k} i lim inf f_{k} su merljive.

Propozicija 1.10. Neka je f = u + iv kompleksna funkcija merljiva na ℝ^{m} i Φ neprekidna funkcija na ℂ, tada je funkcija h = Φ ∘ f merljiva.

Dokaz: Neka je I_{c} = (c, ∞). Kako je Φ neprekidna funkcija skup V = Φ^{−1}(I_{c}) je otvoren skup. Dovoljno je dokazati da je f^{−1}(V) je merljiv. Ako je R pravougaonik u ravni sa stranama paralelnim osama tada je R produkt dva segmenta I_{1} i I_{2} i

f^{−1}(R) = u^{−1}(I_{1}) ∩ v^{−1}(I_{2}),

a ovaj skup je merljiv s obzirom da su u i v merljive. Svaki otvoren skup V u ravni je prebrojiva unija takvih pravougaonika, i kako je

f^{−1}(V) = f^{−1}(∪_{i=1}^{∞}R_{i}) = ∪_{i=1}^{∞}f^{−1}(R_{i}),

f^{−1}(V) je merljiv. □

1.2. Lebeg-ov integral.

1.2.1. Lebeg-ov integral pozitivne funkcije. Jednostavne funkcije Lebeg-ov integral Funkcija j, definisana na ℝ^{m} je jednostavna funkcija ako uzima samo konačno mnogo različitih vrednosti u [0, +∞].

Aproksimacija jednostavnim funkcijama

Teorema 1.5. Neka je f nenegativna merljiva funkcija na ℝ^{m}, i neka je I_{n,k} = [\frac{k−1}{2^{n}}, \frac{k}{2^{n}}), za n = 1, 2, 3, … i 1 ≤ k ≤ n2^{n},

(1.6)  E_{n,k} = f^{−1}(I_{n,k}) i F_{n} = f^{−1}([n, ∞]),

i s_{n} jednako \frac{k−1}{2^{n}} na E_{n,k} i n na F_{n}.

Tada

(a) 0 ≤ s_{1} ≤ s_{2} ≤ ... ≤ f

(b) s_{n} → f(x) za svako x ∈ ℝ^{m}

(c) ako je f ograničena funkcija, tada niz (s_{n}) konvergira ravnomerno ka f.

Teorema 1.5 je važna za razumevanje Lebegovog integrala. Za razliku od suma u Rimanovom pristupu, koje nastaju pomoću podele na ”x”-osi, ovde ”imamo podelu” ”y”-ose. Skupovi E_{n,k}, koji su inverzne slike intervala, mogu biti ”komplikovaniji” od intervala i pomoću njihovih mera definiše se Lebegov integral (v. Primer 1.6, koji sledi). Otuda mera (u suštini, svojstvo σ-aditivnosti) i merljivi skupovi imaju bitnu ulogu u Lebegovog teoriji integrala.

Propozicija 1.11. Pri oznakama uvedenim u Teoremi 1.5, neka je

τ_{n} = ∑_{k=1}^{n2^{n}} \frac{k − 1}{2^{n}} m(E_{n,k}) + n m(F_{n}).

Pokazati da je τ_{n} neopadajući niz.

Npr. ako je m = 1, τ_{n} je površina koju ograničava grafik funkcije s_{n}. Uskoro će biti jasno da je granična vrednost niza τ_{n} Lebegov integral funkcije f.

beskonačno puta nula u integraciji, 0∞ = 0. Realna linija ima beskonačnu dužinu. ∞ se pojavljuje u teoriji integracije.?? I ako smo primarno zainteresovani za realne funkcije lim sup ili suma niza pozitivnih realnih funkcija može imati vrednost ∞ u nekim tačkama; i teorija gubi elegantnost ako uvodimo specijalne pretpostavke kada se takva situacija pojavi.

? Definišimo a + ∞ = ∞ + a = ∞ ako je 0 ≤ a ≤ ∞, i a · ∞ = ∞ · a jednako ∞ ako je 0 < a ≤ ∞, i 0 · ∞ = 0. Za ovu definiciju važe komutativni, asocijativni, i distributivni zakon u [0, ∞]. Primetimo da važi sl. propozicija: Ako a_{n} i b_{n} nenegativni nizovi, a_{n} → a, b_{n} → b, tada a_{n} · b_{n} → ab. Pitanje. Ako su a_{n} → 0 i b_{n} → ∞, da li a_{n} · b_{n} → 0 ∞ = 0 ? Odgovor: Ne. Konvencija o množenju sa ∞ ne primenjuje ? se na konvergenciju nizova ? (Objasniti!).

Sa K_{E} označavamo karakterističnu funkciju skupa E definisanu sa K_{E}(x) = 1 ako x ∈ E i K_{E}(x) = 0 ako x ∉ E.

Definicija 1.9. Merljiva funkcija j(x), definisana na ℝ^{m} je jednostavna merljiva funkcija, ako uzima samo konačno mnogo različitih vrednosti u [0, ∞).

Neka su α_{ν} medjusobno različite vrednosti jednostavne merljive funkcije i neka je A_{ν} = {x : j(x) = α_{ν}}.

Pravolinijski se proverava

j(x) = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν}K_{A_{ν}} .

Definicija 1.10. Neka je

j(x) = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν}K_{A_{ν}}

jednostavna merljiva funkcija, gde su α_{ν} medjusobno različite vrednosti. Lebeg-ov integral jednostavne funkcije j na merljivom skupu E definisan je sa

∫_{E} j dm = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν} m(A_{ν} ∩ E).

Za jednostavne funkcije umesto j koristi se i oznaka s.

Definicija 1.11. Neka je E ⊂ ℝ^{m} merljiv skup i neka je f nenegativna merljiva funkcija na ℝ^{m}. Lebeg-ov integral funkcije f na merljivom skupu E definisan je sa

∫_{E} f dm = sup ∫_{E} j dm,

gde se supremum uzima preko svih jednostavnih merljivih funkcija j za koje je 0 ≤ j(x) ≤ f(x) na ℝ^{m}.

Ako je μ pozitivna mera na σ-algebri 𝔐 na skupu X, analogno se definiše Lebegov integral:

Definicija 1.12. Neka je

j(x) = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν}K_{A_{ν}}

jednostavna merljiva funkcija, gde su α_{ν} medjusobno različite vrednosti. Lebeg-ov integral jednostavne funkcije j na merljivom skupu E ⊂ X definisan je sa

∫_{E} j dμ = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν} μ(A_{ν} ∩ E).

Za jednostavne funkcije umesto j koristi se i oznaka s.

Neka je E ⊂ [0, 1] nemerljiv skup. Da li postoji jednostavna merljiva funkcija j na E tako da je 0 ≤ j(x) ≤ K_{E}(x) na E ?

Definicija 1.13. Neka je μ pozitivna mera na σ-algebri 𝔐 na skupu X i neka je E ⊂ X merljiv skup i neka je f nenegativna merljiva funkcija na E. Lebeg-ov integral funkcije f na merljivom skupu E definisan je sa

∫_{E} f dμ = sup ∫_{E} j dμ,

gde se supremum uzima preko svih jednostavnih merljivih funkcija j za koje je 0 ≤ j(x) ≤ f(x) na E.

Sledeća propozicija je neposredna posledica definicije. Pretpostavlja se da su skupovi i funkcije koje se pojavljuju merljivi.

Propozicija 1.12. (1) ako je 0 ≤ f ≤ g, tada je ∫_{E} f dm ≤ ∫_{E} g dm (2) ako je A ⊂ B i f ≥ 0, tada ∫_{A} f dm ≤ ∫_{B} f dm

(3) ako je f ≥ 0 i c konstanta,0 ≤ c ≤ ∞, tada

∫_{E} cfdm = c ∫_{E} fdm

(4) ako je f = 0 za sve x ∈ E, tada ∫_{E} fdm = 0

(5) ako je m(E) = 0, tada je ∫_{E} fdm = 0

(6) ako je f ≥ 0, tada ∫_{E} fdm = ∫_{ℝ^{m}} K_{E} fdm.

Uputstvo za (3): Ako je s merljiva jednostavna funkcija tako da je 0 ≤ s ≤ f,

tada je cs merljiva jednostavna funkcija, 0 ≤ cs ≤ cf i ∫_{E} c s dm = c ∫_{E} s dm.

Otuda prvo, sledi ∫_{E} c f dm ≥ c ∫_{E} f dm i stoga (3).

Na osnovu osobine 6^{∘}, sledi da se m-integral može definisati prvo za funkcije definisane na celom ℝ^{m}, a zatim pomoću 6^{∘} na podskupovima u ℝ^{m}. Ovu primedbu možemo koristiti da iskaze o integralima na celom ℝ^{m} kao integracionom području formulišemo u odgovarajuće iskaze gde integraciono područje neki merljiv podskup u ℝ^{m}. Primetimo: Ako je f : ℝ^{m} → [0, ∞] nenegativna m-integrabilna funkcija na ℝ^{m}, tada je f konačna s.s. na ℝ^{m}.

Propozicija 1.13 (jednostavne funkcije definišu meru). Neka su s i t jednostavne merljive funkcije na ℝ^{m}. Za E ∈ 𝔐, definišimo

(1.7)  ϕ(E) = ∫_{E} s dm.

Tada je ϕ mera na 𝔐 i

(1.8)  ∫_{ℝ^{m}}(s + t) dm = ∫_{ℝ^{m}} sdm + ∫_{ℝ^{m}} tdm.

Neka je s kao u Definiciji 1.12, i ako su E_{1}, E_{2}, ... disjunktni merljivi skupovi čija je unija E, na osnovu σ-aditivnosti Lebegove mere m, sledi

ϕ(E) = ∑_{i=1}^{n} α_{i} m(A_{i} ∩ E) = ∑_{i=1}^{n} α_{i} ∑_{ν=1}^{∞} m(A_{i} ∩ E_{ν}) =

∑_{ν=1}^{∞} ∑_{i=1}^{n} α_{i} m(A_{i} ∩ E_{ν}) = ∑_{ν=1}^{∞} ϕ(E_{ν})

Takodje, ϕ(∅) = 0, tako da ϕ nije identički ∞.

Dalje neka su β_{1}, ..., β_{m} različite vrednosti funkcije t, i neka je B_{j} = {x : t(x) = β_{j}}. Ako je E_{ij} = A_{i} ∩ B_{j}, tada

∫_{E_{ij}}(s + t)dm = (α_{i} + β_{j})m(E_{ij})

i

∫_{E_{ij}} sdm + ∫_{E_{ij}} tdm = α_{i} m(E_{ij}) + β_{j} m(E_{ij})

Dakle (1.8) važi sa E_{ij} umesto ℝ^{m}. Kako je ℝ^{m} disjunktna unija skupova E_{ij}, (1.8) sledi iz prvog dela Propozicije.

Teorema 1.6. * (Beppo-Levi, Lebeg-ov stav o monotonoj kovergenciji) Neka je {f_{n}} niz merljivih funkcija na ℝ^{m}, i pretpostavimo

(a) 0 ≤ f_{1} ≤ f_{2} ≤ ... ≤ ∞

(b) f_{n} → f(x) za svako x ∈ ℝ^{m} Tada je f merljiva funkcija, i

(1.9)  lim_{n→∞} ∫_{ℝ^{m}} f_{n} dm → ∫_{ℝ^{m}} f dm.

Kako su f_{n} merljive funkcije i f je merljiva funkcija, ali u opštem slučaju ne mora biti integrabilna; dakle I = ∫_{ℝ^{m}} f dm postoji ali I je konačan broj ili +∞.

1^{0}. Ako je lim_{n→∞} ∫_{ℝ^{m}} f_{n} dm konačan tada je f integrabilna na ℝ^{m}.

Ideja dokaza. Kako je I_{n} = ∫_{ℝ^{m}} f_{n} dm monotono neopadajući niz brojeva, to I_{n} konvergira ili odredjeno divergira, tj. I_{n} → ω, kada n → ∞, gde je ω konačan broj ili +∞.

Kako je f_{n} ≤ f na ℝ^{m} , sledi I_{n} = ∫_{ℝ^{m}} f_{n} dm ≤ ∫_{ℝ^{m}} f dm

i otuda, kada n → ∞, dobija se

(1.10)  ω ≤ ∫_{ℝ^{m}} f dm .

Neka je s jednostavna merljiva funkcija tako da je 0 ≤ s ≤ f, i c konstanta, 0 < c < 1. Definišimo

(1.11)  E_{n} = {x : f_{n}(x) ≥ c s(x)}.

Tada je,

∫_{ℝ^{m}} f_{n} dm ≥ c ∫_{E_{n}} s dm,

a na osnovu Propozicije 1.13(jednostavne funkcije definišu meru),

∫_{E_{n}} s dm → ∫_{ℝ^{m}} s dm.

Otuda, kada n → ∞, sledi

ω ≥ c ∫_{ℝ^{m}} s dm

za svako c, 0 < c < 1; i stoga kada c → 1_{−0}, dobija se

ω ≥ ∫_{ℝ^{m}} s dm

za svaku jednostavnu funkciju s za koju je 0 ≤ s ≤ f na ℝ^{m}. Prema tome,

(1.12)  ω ≥ ∫_{ℝ^{m}} f dm .

Dakle, ako je ω < +∞ tada je f integrabilna, odnosno, ako f nije integrabilna tada ω = +∞.

Iz (1.10) i (1.12) sledi (1.9).

Primer 1.6. Pretpostavimo da imamo oznake iz Teoreme 1.5. Tada

∫_{ℝ^{m}} s_{n} dm → ∫_{ℝ^{m}} f dm.

Ovaj primer pokazuje da je u definiciji Lebeg-ovog integrala dovoljno uzeti supremum po specijalnim jednostavnim funkcijama s_{n}.

Integracija redova sa nenegativnim članovima

Teorema 1.7 (Integracija redova sa nenegativnim članovima). Pretpostavimo da je f_{n} : ℝ^{m} → [0, ∞] niz nenegativnih merljivih funkcija, za n = 1, 2, 3, ..., i

(1.13)  f(x) = ∑_{1}^{∞} f_{k}(x) (x ∈ ℝ^{m}).

Tada

(1.14)  ∫_{ℝ^{m}} fdm = ∑_{1}^{∞} ∫_{ℝ^{m}} f_{k}dm.

Uputstvo. Prvo, postoje nizovi {s_{i}^{1}}, {s_{i}^{2}} prostih merljivih funkcija tako da s_{i}^{1} → f_{1} i s_{i}^{2} → f_{2}, kao u Teoremi 1.5. Ako je s_{i} = s_{i}^{1} + s_{i}^{1}, tada s_{i} → f_{1} + f_{2}, i na osnovu Stava o monotonoj konvergenciji i Propozicije 1.13, sledi

(1.15)  ∫_{ℝ^{m}}(f_{1} + f_{2})dm = ∫_{ℝ^{m}} f_{1}dm + ∫_{ℝ^{m}} f_{2}dm.

Dalje, na niz s_{n}(x) = ∑_{1}^{n} f_{k}(x), primeniti Stav o monotonoj konvergenciji.

Teorema važi ako umesto mere m razmatramo nenegativnu meru μ. Ako je μ mera def ?? na ℕ = {1, 2, 3, … } kao broj elementa nekog skupa, tada teorema je tvrdjenje o dvojnim redovima nenegativnih realnih brojeva:

Posledica 1.1. Neka je a_{ij} ≥ 0. Tada je

∑_{i=1}^{∞} ∑_{j=1}^{∞} a_{ij} = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{i=1}^{∞} a_{ij} .

Primer 1.7. Naći sumuI = ∑_{k=1}^{∞} kq^{k}, |q| < 1. Neka je a_{kj} = q^{k} za j = 1, 2, … k i a_{kj} = 0 za j > k. Suma elemenata j-kolone je

I_{j} = ∑_{k=j}^{∞} q^{k} = \frac{q^{j}}{1 − q}

i otuda I = ∑_{j=1}^{∞} I_{j} = \frac{1}{1−q} ∑_{j=1}^{∞} q^{j} = \frac{q}{(1−q)^{2}} .

Teorema 1.8 (Fatu(Fatou)-ova lema). Neka je (f_{n}) niz nenegativnih merljivih funkcija na ℝ^{m} i

f(x) = lim inf_{n→∞} f_{n}(x)

Tada je

(1.16)  A =: ∫_{ℝ^{m}} fdm ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{ℝ^{m}} f_{n}dm

Neka je

(1.17)  f_{n}^{−}(x) = g_{n}(x) = inf_{ν≥n} f_{ν}(x)

Tada je g_{n} ≤ f_{n} i otuda

(1.18)  J_{n} =: ∫_{ℝ^{m}} g_{n}dm ≤ ∫_{ℝ^{m}} f_{n}dm .

Dokažimo da J_{n} → A, kada n teži +∞.

Funkcije g_{n} su nenegativne i neopadajuće i otuda je

lim_{n→∞} g_{n}(x) = sup_{n≥1} g_{n}(x) = sup_{n≥1} inf_{ν≥n} f_{ν}(x) = f(x).

Kako su funkcije g_{n} i nenegativne na osnovu Lebeg-ov stav o monotonoj kovergenciji, leva strana (1.18) teži levoj strani (1.16). Niz J_{n} je neopadajući tako da

lim inf_{n→∞} J_{n} = lim_{n→∞} J_{n}; otuda (1.16) sledi iz (1.18).

Propozicija 1.14. Neka je f nenegativna merljiva funkcija na ℝ^{m}. Za E ∈ 𝔐, definišimo

(1.19)  μ(E) = ∫_{E} f dm.

Tada je μ mera na 𝔐 i

(1.20)  ∫_{E} f dm = ∫_{E_{1}} fdm + ∫_{E_{2}} fdm + ...

ako su skupovi E_{1}, E_{2}, ... merljivi, medjusobno disjunktni i E = ∪_{k=1}^{∞}E_{k}.

Iz

K_{E} = ∑_{n=1}^{∞} K_{E_{n}}

dobija se

K_{E}(x)f(x) = ∑_{n=1}^{∞} K_{E_{n}}(x)f(x).

Integrišući levu i desnu stranu, nalazi se (1.20).

1.2.2. Lebeg-ov integral realnih i kompleksnih funkcija. Neka je f realna m-merljiva funkcija na m-merljivom skupu E ⊂ ℝ^{m}. Ako bar jedan od integrala ∫_{E} f^{+}dm, ∫_{E} f^{−}dm ima konačnu vrednost, tada se Lebeg-ov integral f na E definiše sa

∫_{E} fdm = ∫_{E} f^{+}dm − ∫_{E} f^{−}dm

Ako je Lebeg-ov integral funkcije f na E konačan kažemo da je f integrabilna u Lebeg-ov smislu ili m-integrabilna. Klasu m-integrabilnih funkcija označavamo sa L(E) = L_{R}(E).

Propozicija 1.15. Neka je f realna m-merljiva funkcija na m-merljivom skupu E ⊂ ℝ^{m}. Tada f ∈ L(E) ako i samo ako |f| ∈ L(E)

Ako f ∈ L(E), tada oba integrala ∫_{E} f^{+}dm, ∫_{E} f^{−}dm imaju konačnu vrednost, pa na osnovu specijalnog slučaja Teoreme 1.7 (integracija redova sa nenegativnim članovima), funkcija |f| = f^{+} + f^{−} je m-integrabilna. Obrnuto, koristiti f^{+}, f^{−} ≤ |f|.

Interesantno je da funkcija f definisana na [0, 1] sa f(x) = 1 za x ∈ Q i f(x) = −1 za x ∉ Q, nije Riman integrabilna na [0, 1], a |f| jeste Riman integrabilna na [0, 1].

Definicija 1.14. Neka je E merljiv; L^{1}(E) = L(E) je familija kompleksnih merljivih funkcija na E za koje

∫_{E} |f| dm < +∞.

Ako je f = u + i v i f ∈ L^{1}(E), definišimo

∫_{E} fdm = ∫_{E} udm + i ∫_{E} vdm

Propozicija 1.16. Pretpostavimo da je E merljiv skup, f i g ∈ L^{1}(E) i a i b kompleksni brojevi. Tada af + bg ∈ L^{1}(E) i

(1.21)  ∫_{E}(af + bg)dm = a ∫_{E} fdm + b ∫_{E} gdm

(1.21) sledi iz

(1.22)  ∫_{E}(f + g)dm = ∫_{E} fdm + ∫_{E} gdm

i

(1.23)  ∫_{E}(af)dm = a ∫_{E} fdm.

Opšti slučaj (1.22), sledi ako dokažemo (1.22) za realne funkcije f i g. Pretpostavimo ovo, i definišimo h = f + g. Tada je

(1.24)  h^{+} + f^{−} + g^{−} = h^{−} + f^{+} + g^{+}.

Na osnovu Propozicije 1.12, sv.(3), (1.23) važi ako je a ≥ 0. Koristeći relacije kao (−u)^{+} = u^{−}, proveriti da (1.23) važi za a = −1. Slučaj a = i, jednostavno se proverava. Ako je f = u + iv, tada

∫ (if)dm = ∫ (iu − v)dm = ∫ (−v)dm + i ∫ udm =
− ∫ (v)dm + i ∫ udm = i(∫ udm + i ∫ v)dm = i ∫ f.

Na osnovu idukcije i formule (1.22), sledi:

Propozicija 1.17 (aditivnost integrala za konačne sume). Pretpostavimo da je E merljiv skup, f_{k} ∈ L^{1}(E), (k = 1, ⋯, n), i s_{n} = ∑_{k=1}^{n} f_{k}. Tada je

∫_{E} s_{n}dm = ∑_{k=1}^{n} ∫_{E} f_{k}dm

Teorema 1.9. Ako je f ∈ L^{1}(E), tada je

(1.25)  | ∫_{E} fdm| ≤ ∫_{E} |f|dm

Neka je z = ∫_{E} fdm. Na osnovu leme o polarnoj formi z = re^{iφ}, gde je r = |z|; otuda je

|z| = ∫_{E} e^{−iφ} fdm = ∫_{E} Re(e^{−iφ} f)dm ≤ ∫_{E} |f|dm.

U dokazu sl. teoreme koristićemo slede’c a svojstva:

1. Ako je a_{k} realan niz tada je lim inf(−a_{k}) = − lim sup a_{k}.

Neka je A skup tačaka nagomilavanja niza (a_{k}) i a_{0} najveći element skupa A. Tada je −A = {−a : a ∈ A} skup tačaka nagomilavanja niza (−a_{k}); neka je b_{0} najmanji element element skupa −A; tada je b_{0} = −a_{0}.

2. Neka je J_{n} nenegativan niz i lim sup_{n→∞} J_{n} ≤ 0. Tada je lim inf_{n→∞} J_{n} ≥ 0 i kako je lim sup_{n→∞} J_{n} ≥ lim inf_{n→∞} J_{n}, sledi lim sup_{n→∞} J_{n} = lim inf_{n→∞} J_{n} = 0. Otuda je lim_{n→∞} J_{n} = 0.

Teorema 1.10. (Lebegov stav o dominantnoj konvergenciji) Pretpostavimo da je {f_{n}} niz kompleksnih merljivih funkcija na ℝ^{m} i da

(1.26)  f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x)

postoji za svako x ∈ ℝ^{m}. Ako postoji funkcija g ∈ L^{1}(ℝ^{m}) tako da

(1.27)  |f_{n}(x)| ≤ g(x) (n = 1, 2, 3, ...; x ∈ ℝ^{m}),

tada f ∈ L^{1}(ℝ^{m}),

(1.28)  lim_{n→∞} ∫_{ℝ^{m}} |f_{n} − f|dm = 0,

i

(1.29)  lim_{n→∞} ∫_{ℝ^{m}} f_{n}(x)dm = ∫_{ℝ^{m}} fdm .

▷ Neka je s_{n} = 2g − |f_{n} − f|,

J_{n} = ∫ |f_{n} − f|dm i I_{n} = ∫ s_{n}dm.

Tada je I_{n} = ∫ 2g dm − J_{n} i otuda, na osnovu 1. ,

(1.30)  lim inf_{n→∞} I_{n} = ∫ 2g dm − lim sup_{n→∞} J_{n}.

Kako je, na osnovu (1.27), |f| ≤ g, to je |f_{n} − f| ≤ |f_{n}| + |f| i stoga |f_{n} − f| ≤ 2g, s_{n} = 2g − |f_{n} − f| je niz nenegativnih funkcija. Otuda, kako, na osnovu (1.26), |f_{n} − f| → 0 i stoga s_{n} → 2g, primenom Fatu(Fatou)-ve leme, dobija se

∫ 2g dm − lim sup_{n→∞} J_{n} ≥ ∫_{ℝ^{m}} 2g dm.

Kako je ∫ 2g dm konačan,

lim sup_{n→∞} J_{n} ≤ 0.

Otuda, na osnovu 2., sledi lim_{n→∞} J_{n} = 0.

Na osnovu,| ∫_{ℝ^{m}} f_{n}(x)dm − ∫_{ℝ^{m}} fdm| ≤ J_{n}, sledi (1.29).

Stavovi o montonoj konvergenciji, dominatnoj konvergenciji i integraciji redova sa proizvoljnim članovima ?? pokazuju prednosti Lebegovog integrala nad Rimanovim jer se za primenu pod pogodnijim uslovima može zaključiti da niz integrala konvergira integralu granične funkcije.

Propozicija 1.18. Neka je f merljiva funkcija na ℝ^{m} i f ∈ L(ℝ^{m}). Za E ∈ 𝔐, definišimo

(1.31)  ϕ(E) = ∫_{E} f dm.

Tada je ϕ σ-aditivna kompleksna funkcija skupa (kompleksna mera) na 𝔐 i

(1.32)  ∫_{E} f dm = ∫_{E_{1}} fdm + ∫_{E_{2}} fdm + ...

ako su skupovi E_{1}, E_{2}, ... merljivi, medjusobno disjunktni i E = ∪_{k=1}^{∞}E_{k}.

Uputstvo: Ako je f realna funkcija, primeniti Propoziciju 1.14 na f^{+} i f^{−}. Ovde se, za razliku od Propozicije 1.14, pretpostavlja da je f m-integrabilna funkcija na ℝ^{m}. Otuda je ϕ ograničena na 𝔐, jer je

|ϕ(E)| ≤ ∫_{E} |f|dm ≤ ∫_{ℝ^{m}} |f|dm ≤ +∞

za svako E ∈ 𝔐(m).

Primer 1.8. Neka nenegativna funkcija f ∈ L(ℝ^{m}) i neka je

[f]_{n} = \{ \begin{matrix}f & akof ≤ n \\ n & akof ≥ n \end{matrix}

niz tzv. sasečenih funkcija funkcije f. Jednostavno se proverava da je niz [f]_{n} monoton i da [f]_{n} → f;npr. ako je f(x) ∈ ℝ tada je [f]_{n}(x) = f(x) za f(x) ≤ n i ako je f(x) = +∞ tada je [f]_{n}(x) = n za svako n.

Otuda, na osnovu Stava o monotonoj konvergenciji,

(1.33)  lim_{n→∞} ∫ [f]_{n}(x)dm = ∫ fdm.

Primetimo da je [f]_{n} ≤ f i da se može primeniti i Lebeg-ov stav o dominantnoj konvergenciji.

Propozicija 1.19. (apsolutna neprekidnost m -integrala) Neka je f ∈ L(ℝ^{m}). Tada za svako ε > 0 postoji broj δ > 0 tako da za svaki m-merljiv skup E iz ℝ^{m}

(1.34)  m(E) < δ ⇒ | ∫_{E} fdm| < ε.

Dovoljno je dokazati za realne funkcije f. Kako je f = f^{+} − f^{−}, možemo pretpostaviti da je f ≥ 0. Na osnovu Primera 1.8,

(1.35)  lim_{n→∞} ∫ (f − [f]_{n}) dm = 0,

i otuda postoji prirodan broj n_{0} tako da

(1.36)  ∫ |f − [f]_{n_{0}}| dm < \frac{ε}{2}.

Neka je δ = \frac{ε}{2 n_{0}} ; kako je [f]_{n_{0}} ≤ n_{0}, dobija se

∫_{E} |[f]_{n_{0}}(x)| dm ≤ n_{0} m(E) ≤ n_{0} \frac{ε}{2 n_{0}} = ε/2 .

Otuda, kako je

∫_{E} |f| dm ≤ ∫_{E} |f − [f]_{n_{0}}| dm + ∫_{E} |[f]_{n_{0}}(x)| dm,

sledi dokaz.

1.2.3. Lebeg-ov integral i skupovi mere nula. Konačni i prebrojivi skupovi su mere nula. Interesantniji primer je Kantorov skup K (videti 1.23), koji je zatvoren, neprebrojiv i ima meru nula. Ovaj primer pokazuje da je vizuelno teško opisati skupove mere nula, koji imaju važnu ulogu u Lebeg-ovoj teoriji integrala.

Kompaktan skup F ima meru nula akko ima svojstvo konačnog pokrivanja intervalima čija je totalna dužina proizvoljno mala : za svako ε > 0 postoji konačno mnogo intervala koji pokrivaju F i čija je totalna dužina manja od ε.

Skup Q racionalnih brojeva je prebrojiv i otuda ima meru nula. Interesantno je da skup Q ∩ [0, 1] nema svojstvo konačnog pokrivanja intervalima cija je totalna dužina proizvoljno mala .

Neka je P svojstvo koje tačka x ima ili nema. Neka je E merljiv. P skoro svuda na E (P s. s. na E ) znači postoji skup N mere nula tako da P važi na E \ N.

Npr. ako su f i g merljive funkcije na ℝ^{m} i

(1.37)  m({x : f(x) ≠ g(x)}) = 0

kažemo da je f = g s.s. [m] i pišemo f ∼ g. Podvucimo ako je f ∼ g, tada je

(1.38)  ∫_{E} fdm = ∫_{E} gdm.

za svaki merljiv skup E. Neka je N = {x ∈ E : f(x) ≠ g(x)} (definisan sa (1.37)); E je unija skupova E \ N i E ∩ N; f = g na E \ N i m(E ∩ N) = 0; otuda, na osnovu Propozicije 1.18(tj. jednakosti (1.32) za specijalan slučaj dva skupa), sledi

(1.39)  ∫_{E}(f − g)dm = ∫_{E\N}(f − g)dm + ∫_{N}(f − g)dm = 0.

Na sličan način, pomoću skupa {x ∈ E : f(x) ≠ g(x)} umesto skupa N, dokazuje se: Ako je f = g s.s. na merljivom skupu E, tada je

(1.40)  ∫_{E} fdm = ∫_{E} gdm.

Ovu osobinu integrala možemo i ovako formulisati: Ako je f = 0 s.s. na E, tada je ∫_{E} fdm = 0.

Videti Stavove 11, 12,14,15,16 [Alj].

Integracija redova sa proizvoljnim članovima

Teorema 1.11. Pretpostavimo da je {f_{n}} niz kompleksnih merljivih funkcija definisanih s.s. na ℝ^{m} i da

(1.41)  ∑_{1}^{∞} ∫_{ℝ^{m}} |f_{k}|dm < +∞

Tada

(1.42)  f(x) = ∑_{1}^{∞} f_{k}(x)

konvergira za skoro svako x ∈ ℝ^{m}, f ∈ L^{1}, i

(1.43)  ∫_{ℝ^{m}} fdm = ∑_{1}^{∞} ∫_{ℝ^{m}} f_{k}dm

▷ Neka su funkcije {f_{n}} definisane na skupovima E_{n} i neka je E = ∩_{k=1}^{∞}E_{k}. Proveriti da je m(ℝ^{m} \ E) = 0. Definišimo S^{+}(x) = ∑_{1}^{∞} |f_{k} (x)|, i s_{n} = ∑_{1}^{n} f_{k}. Tada |s_{n}| ≤ S^{+}, s_{n}(x) → f(x). Na osnovu pretpostavke (1.41) i Teoreme 1.7 (Integracija redova sa nenegativnim članovima), S^{+}(x) je integrabilna funkcija na ℝ^{m}. Otuda S^{+}(x) je konačna funkcija s.s. i stoga red (1.42) konvergira s.s.

??Kako s_{n}(x) → f(x) s.s, primenom Lebeg-ovog stava o dominantnoj konvergenciji na niz funkcija s_{n}, nalazimo

∫_{ℝ^{m}} s_{n}dm → ∫_{ℝ^{m}} fdm

kada n → ∞. S druge strane na osnovu Propozicije o aditivnost integrala za konačne sume,

∫_{ℝ^{m}} s_{n}dm = ∑_{1}^{n} ∫_{ℝ^{m}} f_{k}dm.

Otuda sledi (1.43).

Podvucimo sledeće: ako su {f_{n}} definisane za svako x ∈ ℝ^{m}, iz (1.41) sledi samo da red (1.42) konvergira s.s.

Primer 1.9. Neka je a_{k}(x) = \frac{coskx}{2^{k}} i s(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(x). Dokazati da je

s(x) = Re\frac{1}{1 − e^{ix}/2}, x ∈ ℝ .

Proveriti da li je integral ∫_{0}^{2π} s(x)dx = 2π.

Navesti primer reda za koji integracija reda ”član po član” daje netačan rezultat.

Primer 1.10. Neka je f_{k}(x) = (k + 1)x^{k} i a_{k}(x) = f_{k}(x) − f_{k+1}(x).

Tada je a_{k}(x) = ((k + 1)(1 − x) − x) x^{k}, ∫_{0}^{1} f_{k}(x)dx = 1 i otuda ∫_{0}^{1} a_{k}(x)dx = 0, k ≥ 0, s(x) = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}(x) = f_{1}(x) i otuda ∫_{0}^{1} s(x)dx = 1. Integracijom reda ”član po član” dobija se 0.

Primer 1.11. Neka je E m-merljiv skup i neka je f nenegativna m-merljiva funkcija na E. Tada

∫_{E} fdm = 0 ⇒ f = 0 s.s. na E.

Uputstvo: Neka je E_{n} = {x ∈ E : f(x) > 1/n}, n ≥ 1. Tada se skup tačaka A ⊂ E, na kojem je f(x) > 0 može napisati u obliku A = ∪_{n=1}^{∞}E_{n}; zaista, E_{n} ⊂ A; i ako x ∈ A, tada postoji n tako da je f(x) > 1/n > 0, tj. x ∈ E_{n}, n ≥ 1. Kako je ∫_{E} fdm ≥ ∫_{E_{n}} fdm ≥ m(E_{n})/n, sledi m(E_{n}) = 0 i otuda m(A) = 0.

Propozicija 1.20. Neka je f ∈ L(ℝ^{m}) i neka je

(1.44)  ∫_{E} fdm = 0

za svaki m-merljiv skup E u ℝ^{m}. Tada je f = 0 s.s. na ℝ^{m}.

Uputstvo: Neka je A = {x : f(x) ≥ 0} i B = {x : f(x) ≤ 0}. Tada je, na osnovu Primera 1.11, f = 0 s.s. na A i B.

Propozicija 1.21. Neka je f ∈ L(ℝ) i neka je

(1.45)  ∫_{−∞}^{x} fdm = 0

za svako x ∈ ℝ. Tada je f = 0 s.s. na ℝ.

Uputstvo: Dokažimo da

(1.46)  ∫_{E} fdm = 0

za svaki m-merljiv skup E. Iz (1.45) sledi da (1.46) važi za svaki otvoren interval u ℝ i otuda za svaki otvoren skup, jer su otvoreni skupovi u ℝ najviše prebrojiva unija disjunktnih otvorenih intervala. No tada (1.46) važi za svaki Borelov skup E, a time na osnovu Stava ?? i za svaki m-merljiv skup E.

1.2.4. Odnos izmedju Lebeg-ovog i Riemann-ovog integrala.

Teorema 1.12. Ako je f R-integrabilna na [a, b], tada je f i Lebeg-integrabilna na [a, b] i

(1.47)  ∫_{a}^{b} fdm = ∫_{a}^{b} fdx

Obrnuto ne važi kao što pokazuje sledeći primer:

Primer 1.12 (Dirihleova funkcija). Neka je f definisano na [0, 1] sa f(x) = 1 kada je x iracionalan broj i f(x) = 0 kada je x racionalan broj.

Napomena: Ako je f R-integrabilna na [a, b], tada je f ograničena na [a, b]. Otuda, ako je f merljiva sledi da je m-integrabilna. U procesu dokaza teoreme dokazaćemo da je f merljiva i da su Lebegov i Riemann-ov integral jednaki.

Ako je f ∈ ℜ[a, b], tada je f ograničena (|f| ograničena funkcija) na [a, b] i stoga postoji konstanta M tako da je f + M nenegativna funkcija na [a, b]. Ako jednakst (1.47) važi za f + M, tada ∫_{a}^{b}(f + M)dm = ∫_{a}^{b}(f + M) dx i s obzirom da su i Lebegov i Riemann-ov integrali aditivni, (1.47) važi i za f.

Dakle, možemo pretpostaviti da radimo sa nenegativnim funkcijama. Neka je f ≥ 0 R-integrabilna na [a, b] i neka je podela (P_{n}) zadata tačkama x_{k} = a+ \frac{k}{2^{n}} (b− a), I_{k}^{(n)} = (x_{k−1}, x_{k}], m_{k}^{(n)} = inf{f(x) : x ∈ I_{k}^{(n)}} i M_{k}^{(n)} = sup{f(x) : x ∈ I_{k}^{(n)}}. Za fiksirano n definišimo jednostavne funkcije s_{n} i S_{n} na [a, b]: s_{n}(x) = m_{k}^{(n)} i S_{n}(x) = M_{k}^{(n)} za x ∈ I_{k}^{(n)} (k = 1, 2, ..., 2^{n}). Na osnovu teoreme o karakterizaciji R-integrala gornja i donja Darbuova suma

(1.48)  s(P_{n}) = ∫_{a}^{b} s_{n}(x)dx i S(P_{n}) = ∫_{a}^{b} S_{n}(x)dx

teže ka I_{0} = ∫_{a}^{b} fdx.

Definišimo

s(x) = lim_{n→∞} s_{n}(x) i S(x) = lim_{n→∞} S_{n}(x).

Jasno je da je s_{n} ≤ f ≤ S_{n} i stoga s ≤ f ≤ S na [a, b].

Primenom teoreme o monotonoj kovergenciji, sledi da s(P_{n}) i S(P_{n}) respektivno teže ka I_{0} = ∫_{a}^{b} sdm i I_{0} = ∫_{a}^{b} Sdm. Otuda, pokazati da

s(x) = S(x) = f(x) s.s. na [a, b].

Funkcije s i S su merljive kao granične vrednosti merljivih funkcija, pa je takva i f; otuda je ∫_{a}^{b} fdx = I_{0} = ∫_{a}^{b} Sdm = ∫_{a}^{b} fdm.

□

Napomena: Označimo sa ℜ klasu R-integrabilnih funkcija. U literaturi se često navodi u dokazu ove teoreme: Kako je i Riemann-ov inegral apsolutno integrabilan, dovoljno je da u nizu implikacija f ∈ ℜ ⇒ |f| ∈ ℜ ⇒ |f| ∈ L ⇒ f ∈ L dokažemo drugu imlikaciju. Ako je f merljiva onda je tačna treća implikacija. Da li je tačna treća implikacija u opštem slučaju ? Npr. neka je A, [0, 1] ⊂ A ⊂ [−1, 2], nemerljiv skup, razmtran u Sekciji 1 i funkcija f jednaka −1 na A i 1 na [−1, 2]\A, tada je |f| jednako 1 na [−1, 2], f nije merljiva funkcija na [−1, 2] i treća implikacija nije tačna.

?? Kako je |f(x)−f(y)| = |f(x)|+|f(y)|, ako su f(x) i f(y) različitog znaka, sledi |f^{+}(x)−f^{+}(y)| ≤ |f(x)−f(y)| i otuda iz f ∈ ℜ sledi f^{+} ∈ ℜ. Dakle, i na ovaj način dokaz teoreme se svodi na nenegativne funkcije. Naime iz ∫_{a}^{b} f^{+}dm = ∫_{a}^{b} f^{+}dx i ∫_{a}^{b} f^{−}dm = ∫_{a}^{b} f^{−}dx sledi (1.47).

Teorema 1.13. Ograničena funkcija f je R-integrabilna na [a, b] ako i samo ako je neprekidna s.s. na [a, b].

Dokaz se izvodi u kursevima Analizi 1-2.

Pretpostavimo da za funkcija f važi

a) f nenegativna i Riman integrabilna na [0, 1] i ∫_{0}^{1} f(x)dx = 0.

Da li je f ražličita od 0 u konačno tačaka ?

Rimanova funkcija: ako je x = m/n redukovan razlomak definišimo f(x) = 1/n i f(x) = 0 ako x ∉ Q.

Proveriti ako x ∉ Q i x_{k} = m_{k}/n_{k} → x, kada k teži ∞, tada n_{k} teži ∞ i otuda Rimanova funkcija je neprekidna i specijalno Riman integrabilna na [0, 1] i ražličita od 0 na beskonačnom prebrojivom skupu tačaka.

Da li postoji funkcija ražličita od 0 na ne prebrojivom skupu tačaka za koju važi a) ?

Primer 1.13. Neka je f jenako 1 na Kantorovom supu K i 0 na K^{c} = [0, 1] \ K. f je neprekidna na K^{c} i stoga Riman integrabilna i ∫_{0}^{1} f(x)dx = 0.

Primetimo da je f ražličita od 0 na neprebrojivom skupu tačaka.

Up: Neka je P podela 0 = x_{0} < x_{1} < ⋯ x_{n} = 1 i ?? ξ_{k} ∈ [x_{k}, x_{k+1}] ∩ K^{c}; tada je integrala suma jednaka 0.

Primer 1.14. a. Ako je f neprekidna s.s. na [a, b], dokazati da je f merljiva na [a, b]. b. Pomoću a. i Teoreme 1.13, dokazati Teoremu 1.12.

Dokaz b. Pretpostavimo da je f R-integrabilna. Dakle, na osnovu a. i Teoreme 1.13, sledi da je f merljiva na [a, b]; i stoga postoji Lebegov integral ∫_{a}^{b} fdm. Teorema 1.12 sada sledi iz nejednakosti s(P_{n}) ≤ ∫_{a}^{b} fdm ≤ S(P_{n}). □

Primer 1.15. Neka je f(x) = \frac{sinx}{x}. a. f ima na (0, ∞) nesvojstven Riemann-ov integral. b. Izračunati I = ∫_{0}^{∞} fdx, metodama kompleksne analize. c. Pokazati da f nije m-integrabilna na (0, ∞)

Uputstvo za a. Na osnovu parcijalne inegracije ∫ fdx = −\frac{cos x}{x} − ∫ \frac{cos x}{x^{2}}. Uputstvo za b. Ponoviti Primere iz Furije-ov tip integrala; neka je g(z) = e^{iz}/z i J = ∫_{−∞}^{+∞} gdx. Tada je J = πi i 2I = ImJ. Otuda je I = π/2. Uputstvo za c.

Kako je I_{k} = ∫_{0}^{π} \frac{sinx}{x+kπ} dm ≥ \frac{2}{π(k+1)}, dobija se

∫_{0}^{∞} |f|dm = ∑_{k=0}^{∞} ∫_{0}^{π} \frac{sinx}{x + kπ} dm = ∞.

□

Primer 1.16. Integral I(α) = ∫_{0}^{1} x^{−α}dx konvergira (kao nesvojstven rimanov integral) za α < 1 i

I(α) = \frac{1}{1 − α} .

Funkcija f(x) = x^{−α} pripada L^{1}(0, 1) za α < 1.

Up. Neka je K_{n} karakteristična funkcija intervala [1/n, 1] i f_{n} = K_{n}f; Jednostavno se proverava da f_{n} → f na (0, 1] i da

∫_{0}^{1} f_{n}(x) dm = ∫_{1/n}^{1} f(x) dm → \frac{1}{1 − α}, α < 1 .

Otuda, na osnovu Lebeg-ovog stava o monotonoj kovergenciji, funkcija f(x) = x^{−α} pripada L^{1}(0, 1) za α < 1.

Propozicija 1.22. Neka je I = [a, ω[ konačan ili beskonačan interval, f funkcija definisana na I i Rimam-integrabilna na svakom segmentu [a, b] ⊂ [a, ω[.Ako je f nenegativna na I i nesvojstveni integral ∫_{0}^{ω} fdx konvergira, tada je f ∈ L^{1}[a, ω[ i ∫_{0}^{ω} fdx = ∫_{0}^{ω} fdm.

Up. Neka je ω ∈ ℝ i K_{n} karakteristična funkcija intervala [a, ω−1/n] i f_{n} = K_{n}f; Jednostavno se proverava da f_{n} → f na [a, ω[ i da , na osnovu Lebeg-ovog stava o monotonoj kovergenciji,

∫_{a}^{ω} f_{n}(x) dm = ∫_{a}^{ω−1/n} f(x) dm → ∫_{a}^{ω} f(x) dm, n → ∞.

Kako nesvojstveni integral ∫_{0}^{ω} fdx konvergira, sledi

∫_{a}^{ω} f_{n}(x) dm = ∫_{a}^{ω−1/n} f(x) dx → ∫_{a}^{ω} f(x) dx, n → ∞.

Otuda funkcija f pripada L^{1}[a, ω[.

Primer 1.17. Za α < 1,

∫_{x^{2}+y^{2}<1} \frac{dm}{(1 − x^{2} − y^{2})^{α}} = ∫_{x^{2}+y^{2}<1} \frac{dxdy}{(1 − x^{2} − y^{2})^{α}} = \frac{π}{1 − α}

Up: x = r cos φ, y = r sin φ; r_{n} = 1 − 1/n, K_{n} karakteristična funkcija kruga ?? B_{n} = B_{r_{n}} sa centrom u kordinatnom početku radijusa r_{n} i f_{n} = K_{n}f

Primer 1.18. Neka je f(x, y) = \frac{sin (x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} i

I_{2} = ∫_{ℝ^{2}} \frac{sin (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}dxdy?

Koristeći smenu x = r cos φ, y = r sin φ ?? da li se dobija I_{2} = ∫_{V} \frac{sin r}{r} dφdr, gde je V = \{(r, φ) : 0 < r < ∞, 0 < φ < 2π\}? Da li f ∈ L^{1}(ℝ^{2}) ?

Primer 1.19. Gama-funkcija

Γ(α) = ∫_{0}^{∞} x^{α−1}e^{−x}dx

Integral konvergira ako i samo ako je α > 0. Za α > 0, Γ(α + 1) = αΓ(α). Specijalno za α = n ∈ ℕ dobija se Γ(n+1) = nΓ(n) = n(n−1)Γ(n−1) = n!, s obzirom da je Γ(1) = ∫_{0}^{∞} e^{−x}dx = 1.

Dakle Γ(n + 1) = ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x}dx = n!.

Primer 1.20. Neka je I_{n} = ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dm. a. ako je f_{n}(x) = \frac{n^{3/2}x}{1+n^{2}x^{2}} , proveriti da je f_{n}(x) ≤ \frac{1}{\sqrt{x}} na [0, 1]. b. Proveriti da f_{n} ne konvergira ravnomerno na [0, 1].

c. Izračunati lim_{n→∞} I_{n} = 0.

d. ako je f_{n}(x) = \frac{n^{3}x^{3/4}}{1+n^{4}x^{2}} , izračunati lim_{n→∞} I_{n} = 0.

Uputstvo: a. t = nx, n = t/x, f_{n}(x) = s(t)g(x), gde je s(t) = \frac{t^{3/2}}{1+t^{2}} , g(x) = \frac{1}{x^{1/2}} . Ako je 0 ≤ t ≤ 1, tada je s(t) ≤ t^{3/2} ≤ 1; ako je t ≥ 1, tada je s(t) ≤ t^{3/2}/t^{2} ≤

1/\sqrt{t} ≤ 1. Otuda je s(t) ≤ 1 i stoga |f_{n}(x)| ≤ g(x).

b. Jednostavno se proverava i f_{n} → 0 na [0, 1], a da je

f_{n}(\frac{1}{n}) = \frac{\sqrt{n}}{2} .

c. f_{n} → 0 na [0, 1]. Kako je g ∈ L^{1}(0, 1), na osnovu Lebeg-ovog stava o dominantnoj knvergenciji nalazimo lim_{n→∞} I_{n} = 0.

d. t = t_{n} = n^{2}x, n = \sqrt{t}/\sqrt{x}, f_{n}(x) = s(t)g(x), gde je s(t) = \frac{t^{3/2}}{1+t^{2}} , g(x) = \frac{1}{x^{3/4}} . Kako je s(t) ≤ 1, |f_{n}(x)| ≤ g(x).

Primer 1.21. Neka je f_{n}(t) = e^{−xt} \frac{t^{n}}{1−e^{−t}}. Za 0 < x < 1 i n ≥ 1 prirodan broj dokazati

∫_{−∞}^{+∞} f_{n}(t) dm(t) = ∑_{k=−∞}^{+∞} \frac{n!}{(x + k)^{n+1}} .

Uputstvo: proveriti (1 − e^{−t})^{−1} = ∑_{k=0}^{+∞} e^{−kt}, t > 0; i (1 − e^{−t})^{−1} = −e^{t}(1 − e^{t})^{−1} = − ∑_{k=1}^{+∞} e^{kt},

t < 0. Na osnovu stava o integraciji redova sa nenegativnim članovima, I_{2} = ∫_{−∞}^{0} f_{n}(t)dt = ∑_{ν=−∞}^{−1} A_{ν}, gde je A_{ν} = − ∫_{−∞}^{0} t^{n}e^{−(x+ν)t}dt.

Kako je Γ(n + 1) = ∫_{0}^{+∞} τ^{n}e^{−τ} dτ = n!, smenom τ = (x + ν)t, dobija se τ ≥ 0 za t ≤ 0 i ν ≤ −1, dτ = (x + ν)dt i stoga

A_{ν} = \frac{1}{(x + ν)^{n+1}} ∫_{0}^{+∞} τ^{n}e^{−τ} dτ = \frac{Γ(n + 1)}{(x + ν)^{n+1}} = \frac{n!}{(x + ν)^{n+1}} .

Primer 1.22. Neka je na (0, 1) definisan niz m-integrabilnih funkcija

f_{n} = \{ \begin{matrix}n(n + 1) & ako x ∈ (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}) \\ 0 & u ostalim tačkama \end{matrix}

Ako je 0 < x < 1 fiksirano, tada postoji n_{0} ≥ 1 prirodan broj tako da je 0 < 1/n_{0} < x < 1; otuda f_{n}(x) = 0 za n ≥ n_{0}.

Dakle granična vrednost f ovog niza je 0, a ∫_{0}^{1} f_{n} dm = 1. Niz (−f_{n}) pokazuje da se Fatou lema ne proširuje na negativne funkcije u opštem slučaju.

Kantorov skup

Primer 1.23. (Kantorov skup K_{s}) Neka je 0 < s ≤ \frac{1}{3} i neka je G_{1} = (\frac{1}{2} − \frac{s}{2}, \frac{1}{2} + \frac{s}{2}) interval dužine s, tj. srednji deo segmenta I = [0, 1] i F_{1} = [0, 1] \ G_{1}. Skup F_{1} sastoji se od dva segmenta;iz svakog od njih odstranimo srednji deo dužine s \frac{1}{3} i tako dobijeni skup označimo sa F_{2}. Itd. u n-tom koraku odstranimo 2^{n−1} intervala dužine s \frac{1}{3^{n−1}} i neka je G_{n} skup tačaka odstranjenih posle prvih n koraka i F_{n} = F_{n}^{s} skup preostalih tačaka, tj. F_{n} = [0, 1] \ G_{n}. Pogodno je uvesti smenu t = 3s. Skup 𝕂_{t} = ⋂_{1}^{∞} F_{k}^{s} naziva se Kantor-ov skup. Kako je dužina odstranjenih intervala jednaka

s + s \frac{2}{3} + s \frac{4}{3^{2}} + ⋯ + s (\frac{2}{3})^{n} + ⋯ = 3 s = t ,

to Kantor-ov skup 𝕂 = 𝕂_{t} ima pozitivne mere 1 − 3 s = 1 − t > 0 ako je 0 < s < \frac{1}{3}, tj 0 < t < 1; Kantor-ovog skupa 𝕂 = 𝕂_{1} ima meru 0.

Razmotrimo strukturu Kantor-ovog skupa 𝕂 = 𝕂_{1}. Kantor-ovom skupu, jasno, pripadaju krajevi izbačenih intervala : 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, …. Primetimo da na prvi pogled izgleda kao da Kantor-ovom skupu ? K = K_{1} pripadaju samo krajevi izbačenih intervala, ali ovaj skup je neprebrojiv i ima komplikovanu strukturu i meru 0. ? Dokazati neposredno, da tačka 1/4 pripada K, a ne pripada krajevima izbačenih intervala. Zapišimo svako x, 0 ≤ x ≤ 1 u trojnom ( trijadskom) sistemu

x = \frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{3^{n}} + …,

gde brojevi a_{n} uzimaju vrednosti 0, 1 i 2. Kao i u slučaju decimalnog zapisa neki brojevi dozvoljavaju dva zapisa

\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{0}{3^{2}} + ⋯ + \frac{0}{3^{n}} + ⋯ = \frac{0}{3} + \frac{2}{3^{2}} + ⋯ + \frac{2}{3^{n}} + …

Ako se isključe zapisi koji počev od nekog mesta imaju samo dvojke, onda je zapisivanje jednoznačno. Jednostavno se proverava da skupu K pripadaju tačke x koje se bar na jedan način mogu zapisati u trojnom ( trijadskom) sistemu pomću 0 i 2. Svakom x ∈ K korespondiramo niz

(1.49)  a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …,

gde je a_{n} 0 ili 2 i

(1.50)  b_{1}, b_{2}, …, b_{n}, …,

gde je b_{n} = 0 ako je a_{n} = 0; i b_{n} = 1 ako je a_{n} = 2. Nizove (1.50) pretstavljaju dijadski zapis segmenta [0, 1]. Takvim postupkom, definiše se preslikavanje K na [0, 1] i otuda K ima moć kontinuma.

?? Ponoviti: Naći sumuI = ∑_{k=1}^{∞} kq^{k}, |q| < 1. Neka je a_{kj} = q^{k} za j = 1, 2, … k i a_{kj} = 0 za j > k. Suma elemenata j-kolone je

I_{j} = ∑_{k=j}^{∞} q^{k} = \frac{q^{j}}{1 − q}

i otuda I = ∑_{j=1}^{∞} I_{j} = \frac{1}{1−q} ∑_{j=1}^{∞} q^{j} = \frac{q}{(1−q)^{2}} .

Primer 1.24 (Inegral na komlementu Cantor-ovog skupa). a) Neka je f nula na Cantor-ovom skupu K = K_{1} i f(x) = k na svakom od komplementarnih intervala dužine 3^{−k}. Dokazati da je f Lebeg integrabilna na [0, 1] i da je I = ∫_{0}^{1} fdm = 3

b) Neka je g nula na Cantor-ovom skupu K = K_{1} i g(x) = k^{2} na svakom od komplementarnih intervala dužine 3^{−k}. Dokazati da je g Lebeg integrabilna na [0, 1] i izračunati J = ∫_{0}^{1} gdm

Uputstvo a): neka je G_{n} skup tačaka odstranjenih posle prvih n koraka i F_{n} skup preostalih tačaka iz konstrukcije Kantorovog skupa i f_{n} = K_{G_{n}}f. Tada je

I_{n} = ∫_{0}^{1} f_{n}dm = ∑_{k=1}^{n} k \frac{2^{k−1}}{3^{k}} i

lim_{n→∞} I_{n} → I = ∑_{k=1}^{∞} k \frac{2^{k−1}}{3^{k}}; i otuda na osnovu Lebeg-ov stav o monotonoj kovergenciji f je integrabilna na [0, 1]. Definišimo

g(x) = ∑_{k=1}^{∞} x^{k}/3^{k} = \frac{x}{3 − x} .

Tada je g′(x) = \frac{1}{3−x} + \frac{x}{(3−x)^{2}} ; g′(2) = 3 i stoga I = 3.

alt

h(x) = ∑_{k=1}^{∞} x^{k} = \frac{x}{1 − x} = \frac{1}{1 − x} − 1, |x| < 1 .

Tada je h′(x) = \frac{1}{(1−x)^{2}} ; h′(2/3) = 9 i stoga I = \frac{1}{3}h′(2/3) = 3.

Napomena:Skup prekida funkcije f je Kantorov skup, koji ima meru nula. S druge strane funkcija f je neograničena u svakoj okolini svake tačke koja pripada Kantorovom skupu. ?? Dakle, za ovu funkciju ne možemo definisati nesvojstven Riman-ov integral na [0, 1].

??str. 61-62 Pretpostavimo da prosečno svaki treći prolaznik pored kioska kupi novine. Neka je X_{k}, k = 1, 2, … bude broj prolaznika od prodaje k − 1 primerka pa dok se ne proda k-ti primerak. Ove slučajne promenljive su nezavisne sa istom raspodelom: P \{X_{k} = j\} = (\frac{2}{3})^{j−1} \frac{1}{3}, j = 1, 2, …;

EX_{k} = ∑_{j=1}^{∞} j \frac{2^{j−1}}{3^{j}}.

Uputstvo b):

h′(x) = ∑_{k=1}^{∞} kx^{k−1} = \frac{1}{(1 − x)^{2}}

i stoga

φ(x) = xh′(x) = ∑_{k=1}^{∞} kx^{k} = \frac{x}{(1 − x)^{2}}

i

φ′(x) = ∑_{k=1}^{∞} k^{2}x^{k−1} = \frac{1}{(1 − x)^{2}} + \frac{2 x}{(1 − x)^{3}} .

Primer 1.25. Izračunati

I_{1} =: lim_{n→∞} ∫_{0}^{n}(1 − \frac{x}{n})^{n}e^{x/2}dm

i

I_{2} =: lim_{n→∞} ∫_{0}^{n}(1 + \frac{x}{n})^{n}e^{−2x}dm.

Up. Neka je K_{n} karakteristična funkcija intervala [0, n) i f_{n}(x) = K_{n}(x)(1 − \frac{x}{n})^{n}e^{x/2}; f_{n}(x) → e^{−x/2}.

Definišimo s(t) = ln(1−t), t < 1; tada je s′(t) = −(1−t)^{−1}. Kako je s konkavna funkcija, to s(t) ≤ −t. Otuda je a_{n}(x) = (1 − \frac{x}{n})^{n} = e^{n ln(1− \frac{x}{n})} ≤ e^{−nx/n} = e^{−x} i stoga f_{n}(x) ≤ e^{−x/2}, 0 ≤ x < n. Kako f_{n}(x) → e^{−x/2}, na osnovu Lebeg-ovog stava o dominantnoj konvergenciji, nalazimo I_{1} = ∫_{0}^{∞} e^{−x/2}dx = 2.

alt.

\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)} = (\frac{(n + 1 − x)n}{(n + 1)(n − x)})^{n+1} \frac{n}{n − x}

A_{n}(x) = (\frac{(n + 1 − x)n}{(n + 1)(n − x)})^{n+1} = (1 + \frac{x}{(n + 1)(n − x)})^{n+1}

Neka je x fiksirano. Ako je 0 ≤ x < n, Bernulijeva nejednakost daje A_{n}(x) ≥ (1 + \frac{x}{n−x}) = \frac{n}{n−x} i stoga a_{n+1}(x) ≥ a_{n}(x); ako je n ≤ x, tada je f_{n}(x) = 0.

Napomena: Ako je 0 < n < x, tada je 1 − x/n > 0 i stoga a_{n}(x) < 0 ako je n neparan broj.Kako je a_{n}(x) > 0 ako je n paran broj, za fiksirano x niz a_{n}(x) nije monotan po n ako je 0 < n < x.

Neka je h_{n} definisano sa h_{n}(x) = a_{n}(x) za 0 ≤ x < n, h_{n}(x) = 1/n za n ≤ x < n+1 i h_{n}(x) = 0 za x ≥ n+1. Za svako fiksirano 0 ≤ x postoji n_{0} = n_{0}(x) = [x]+1, tako da za n > n_{0} niz h_{n}(x) je monton po n. ??Zašto primena Lebeg-ov stav o monotonoj kovergenciji na izračunavanje

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} h_{n}dm

ne daje korektan rezultat ?

Primer 1.26 (Inegral Puason-ovog jezgra). a. Ponoviti integral Puason-ovog jezgra P_{r}. Za z = re^{it}, r, t ∈ ℝ,

P_{r}(t) = Re\frac{1 + z}{1 − z} = \frac{1 − r^{2}}{1 − 2r cos t + r^{2}}

b. Razviti funkciju \frac{1+z}{1−z} u Tejlor-ov red oko 0;

\frac{1 + z}{1 − z} = 1 + 2 ∑_{k=1}^{∞} z^{k}, |z| < 1, .

Na osnovu b.

c. Proveriti da je I_{r} = ∫_{0}^{2π} P_{r}(t)dt = 2π, 0 ≤ r < 1.

d. Da li se za izračunavanje lim I_{r}, gde je I_{r} = ∫_{0}^{2π} P_{r}(t)dt, kada r teži 1, može primeniti Lebeg-ov stav o dominantnoj konvergenciji?

Čitaoci koji nisu upoznati sa Hilbert-ovim prostorima mogu pogledati sekciju o Hilbert-ovim prostorima u vezi Primera 1.27.

Primer 1.27 (nekompletnost R_{2} ). Proveriti

a) vektorski prostor C_{2}[a, b] neprekidnih funkcija na [a, b] sa skalarnim proizvodom

(f, g) = ∫_{a}^{b} f \overline{g} dt

nije Hilbert-ov prostor .

b) C_{2}[a, b] nije zatvoren potprostor u R_{2}[a, b].

c) vektorski prostor C[a, b] neprekidnih funkcija na [a, b] je kompletan u odnosu na max normu.

d) R_{2}[a, b] nije kompletan.

e) L_{2}[a, b] je kompletan. ▷ a)Primer : f_{n}(x) = −1, za − 1 ≤ x ≤ −\frac{1}{n} , f_{n}(x) = n x, za − \frac{1}{n} < x < \frac{1}{n} i f_{n}(x) = 1, za \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1 ; pokazuje da C_{2}[a, b] nije Hilbert-ov prostor .

d) Neka je 0 < s < \frac{1}{3} i f_{n} karakteristična funkcija skupa F_{n} = F_{n}^{s}(koristimo oznake iz Primera 1.23); niz f_{n} je Koši-jev niz u R_{2}[a, b]. Pretpostavimo da f_{n} konvergira nekom f ∈ R_{2}[0, 1]. Tada je f s.s. jednako karakterističnoj funkciji skupa 𝕂 = 𝕂_{s} i otuda f je prekidna s.s. na 𝕂; tako da, na osnovu Lebeg-ovog kriterijuma , sledi f ∉ R_{2}[0, 1]. Dakle , R_{2}[a, b] nije kompletan. ♢

1.3. Dva zadatka radi razonode. Pošto je sledeća sekcija naporna predlažemo čitaocima da razmotre sledeća tri zadatka radi razonode:

Primer 1.28. Zatvorenici (Studenti)

U 100 ćelija nalazi se 100 zatvorenika (studenata) i soba X za ispitivanje. Upravnik (koji je matematičar, profesor verovatnoće) predlaže sledeću igru:

slučajno bira jednog zatvorenika(studenta) i poziva u sobu X, gde se nalazi taster koji ima dva položaja 0 i 1. Pozvani može da promeni položaj tastera ili da ostavi taster u istom položaju. Upravnik ne menja položaj tastera.

Kada jedan zatvorenik(student) izjavi svi su prošli kroz sobu X, ako je to tačno svi zatvorenici (studenti) dobijaju slobodu (polažu ispit), a ako to nije tačno svi zatvorenici (studenti) biće streljani (pašće na ispitu). Pre početka igre zatvorenici (studenti) se mogu dogovoriti o strategiji.

?? Pre početka igre taster je u položaju 0.

Zatvorenici(studenti) odredjuju jednog studenta A koji će brojati.

Svaki drugi kada udje u sobu X samo jedanput menja položaj tastera i to kada nadje tastera u položaju 0 promeni ga u položaj 1 (samo prvi put).

Svaki put kada A nadje tastera u položaju 1 promeni ga u položaj 0 i doda 1 na sumu koju pamti; ako tastera u položaju 0, ne menja položaj tastera.

Kada A promeni položaj tastera 99-ti put, onda će izjaviti svi su prošli kroz sobu X.

Strategiju koju smo naveli predložio je jedan student R-smera, koji je pisao koncept u toku predavanja studentima M-smera.

Zašto studenti M-smera smatraju da je verovatnoća P ovog dogadjaja (u ovoj strategiji) jednaka 1, tj. dogadjaj je skoro izvestan.

Studeni nisu uspeli da definišu verovatnoću P, ali se postavilo pitanje: Da li je moguće da ovaj proces nije konačan ?

Profesor se zamislio; sledi nastavak. Da li se ovde može primeniti Kolmogorov’s theorem about consistent distribu-

tions (see, for example, Borovkov p.261-264).

Primer 1.29. U prodavnici se nalaze 3 bela i 2 crna šešira. Tri koleginice (matematičarke) ulaze u prodavnicu i svaka želi da kupi šešir.

Prodavac predlaže igru da jedna koleginica dobijue šešir na poklon. Kaže da zažmure i stavlja svakoj šešir a preostala 2 sakriva; onda im kaže da otvore oči i koja prva pogodi kojie boje ima šešir dobija poklon. Koleginice ćute nekoliko minuta i onda istovremeno odgovore.

Da li možemo odrediti boje šešira ? Uputstvo: ako dve koleginice imaju crne šešir, onda treća ima beli i ona bi odma

reagovala.

Ako koleginic A ima crni šešir, a koleginice B i C beli onda ako npr koleginica B ne reaguje odmah, koleginica C shvata da ima beli šešir i obrnuto; onda bih koleginice B i C shvatile da imaju bele šešir i reagovale.

Kako koleginice ćute nekoliko minuta i onda istovremeno odgovore, zaključujemo da sve imaju bele šešire.

Primer 1.30. O ”dokazu” 0 = ∞ Pretpostavimo da imamo žetone numerisane brojevima 1, 2, 3, 4, . . .. korak 1 A stavi žetone numerisane brojevima od 1 do 10( napiše brojeve od 1 do 10 na

tabli) na sto B uzme žeton sa brojem 1 ( izbriše broj 1) korak 2 A stavi žetone numerisane brojevima od 11 do 20 na sto B uzme žeton sa brojem 2 itd Koliko žetona ostane na stolu ? Posle n koraka na stolu ima 9n žetona. Dakle kada n teži u ∞ broj žetona na stolu teži u ∞. S druge strane B će svaki žetona uzeti sa stola posle konačnog broja koraka. Da li odavde sledi 0 = ∞ ? Označimo sa M_{n} skup žetona na stola posle n koraka, a sa M skup žetona na

stola koji se ”dobije ovim procesom”.

Studenti 2 godine: nije tačno 0 = ∞ jer to dovodi do protivurečnosti. Studenti 3 godine: nije definisano +∞ − (+∞). MM da li jasno definisan skup M ? Neka je X_{n} = {n, n + 1, n + 2, … }; |X_{n}| = +∞, M_{n} ⊂ X_{n},

X = ∩_{n=1}^{∞}X_{n} = ∅. Dakle |X_{n}| ne teži |X|. Ako u n-tom koraku imamo skup X_{n}; koji je skup definisan ovim procesom?

Neka je za A ⊂ N, |A| broj elemenata u A ako je A konačan skup i +∞ ako je A beskonačan skup; ova funkcija je σ-aditivna na P N. Neka je X_{n} = {n, n + 1, n + 2, … }; tada |X_{n}| = +∞, i X = ∩_{n=1}^{∞}X_{n} = ∅. Dakle |X_{n}| ne teži |X|.

Sa studentima ću razrešiti raspravu o ”dokazu” 0 = ∞.

2. Integracija 2

2.1. integracija na ℝ. [Ponoviti Riemann-Stieltjesov integral (Stav 6,7,8,9 i 10 [Alj])] O integraciji v. [Alj], glava III: Apstraktna mera i integral, Realna mera,Radon-Nikodimov stav i Lebeg-ovo razlaganje mere, Neprekidnost i diferencijabilnost, Izvod monotone funkcije i integral njenog izvoda, Diferenciranje i integracija, Neke osobine Lebeg-ovog integrala na ℝ, Prostor L_{p}(a, b). Navedimo samo neke rezultate.

2.1.1. Riman-Stiltesov integral. Funkcije Ograničene varijacije

Za funkciju f koja preslikava konačan i zatvoren razmak [a, b] (respektivno otvoren (a, b) ) u ℝ kažemo da ne opada (monotono raste) ako za svaki par tačaka x_{1}, x_{2} iz [a, b] ( respektivno iz (a, b) )

x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) ≤ f(x_{2}).

Funkcija f strogo monotono raste ako je pod navedinim uslovima f(x_{1}) < f(x_{2}).

Na simetričan način se definišu funkcije koje ne rastu (monotono opadaju) i strogo monotono opadaju. Klasa monotonih funkcija satoji se od neopadjućih i nerastućih funkcija.

Podvucimo ako f ne opada na konačanom i zatvorenom razmak [a, b], tada je f ograničena na [a, b] i f([a, b]) ⊂ [f(a), f(b)]. Ako funkcija f ima skokove onda je f([a, b]) ≠ [f(a), f(b)]; navesti neki primer.

Ponoviti sledeća svojstva monotonih funkcija ( [Ka-Ad ]):

Ako f monotono raste na [a, b], tada postoji f(x+) za svako x ∈ [a, b[ i postoji f(x−) za svako x ∈]a, b] i važi

f(x+) = inf_{x<t≤b} f(t), f(x−) = sup_{a≤t<x} f(t)

Pri tome je

f(x−) ≤ f(x) ≤ f(x+) za a < x < b i f(a) ≤ f(a+), f(b−) ≤ f(b), a za svaki par tačaka x, y, a ≤ x < y ≤ b važi f(x+) ≤ f(y−).

Monotona funkcija može imati samo prekide prve vrste. Skup prekida prve vrste je konačan ili prebrojiv.

Neka je {x_{n}} najviše prebrojiv skup tačaka prekida u ]a, b[, c_{n} niz pozitivnih brojeva tako da red ∑_{n=1}^{∞} c_{n} konvergira. Funkcija

s(x) = ∑_{x_{n}<x} c_{n}

1^{0} monotono raste 2^{0} u tačkama x_{n} ima prekide sa skokovima dužine c_{n} 3^{0} neprekidna u drugim tačkama

dokaz 3^{0}: neka je A = {x_{n} : n ≥ 1} i x ∈]a, b[\A, i y < x < z. Za dato ε > 0, postoji n_{0} tako da je ∑_{k=n}^{∞} c_{k} < ε za n ≥ n_{0}. Neka je A_{0} = {x_{n} : 1 ≤ n ≤ n_{0}} i izaberimo y i z tako da [y, z] ∩ A_{0} = ∅. Tada

je

s(z) − s(y) = ∑_{x≤x_{n}<z} c_{n} < ∑_{k=n_{0}}^{∞} c_{k} < ε

i otuda s je neprekidna u x.

Sično se dokazuje 2^{0}. Neka je x_{m} ∈ A fiksiran član niza. Za dato ε > 0, postoji n_{0} > m tako da je ∑_{k=n}^{∞} c_{k} < ε za n ≥ n_{0}. Neka je A_{0} = {x_{n} : 1 ≤ n ≤ n_{0}} i izaberimo y i z tako da y < x_{m} < z i

[y, z] ∩ A_{0} = x_{m}. Tada je

c_{m} ≤ s(z) − s(y) = ∑_{x≤x_{n}<z} c_{n} ≤ c_{m} + ∑_{k=n_{0}}^{∞} c_{k} ≤ c_{m} + ε,

i otuda kako ε > 0 možemo birati proizvoljno malo s ima skok c_{m} u x_{m}.

Neka f monotono raste na [a, b] i neka je {x_{n}} najviše prebrojiv skup tačaka prekida u [a, b[. Funkcija s_{f} definisana sa

s_{f}(x) = \{ \begin{matrix}0, ako x = a \\ f(a+) − f(a) + ∑_{x_{n}<x}[f(x_{n}+) − f(x_{n}−)] + f(x) − f(x−) & ako a < x ≤ b \end{matrix}

je funkcija skoka od f. Naziv funkcije s_{f} potiče otuda što ona tačno reprodukuje prekide i veličinu skoka

funkcije f, kao što tvrdi

Propozicija 2.1. Svaka monotono rastuća funkcija f može se napisati u obliku f = s_{f} +g, gde je s_{f} njena funkcija skoka, g monotono rastuća i neprekidna funkcija.

?? Koristićemo formulu u nizu:

∑_{ν=1}^{n} f(x_{ν}) − f(x_{ν−1}) = f(b) − f(a) .

Za x < y,

g(y) − g(x) = [f(y) − f(x)] − [s_{f}(y) − s_{f}(x)] = (2.1)

= [f(y−) − f(x−)] − ∑_{x ≤ x_{n} < y}[f(x_{n}+) − f(x_{n}−)] ≥ 0 (2.2)

Intuitivno je jasno da je razlika izmedju priraštaja na [x, y) i sume skokova nenegativna; navodimo sledeći dokaz:

Neka je {t_{k}} najviše prebrojiv skup tačaka prekida u intervalu (x, y); za svako n ≥ 1 postoje tačke x_{1} = x_{1}(n) i

y_{1} = y_{1}(n) tako da x < x_{1} < y_{1} < y i t_{k} ∈ (x_{1}, y_{1}), k = 1, 2 …, n.

Oko tačaka t_{k}, k = 1, 2 …, n konstruišimo disjunktne intervale [y_{k}, z_{k}] u (x_{1}, y_{1}) Tada je ∑_{k=1}^{n} f(z_{k}) − f(y_{k}) ≤ f(y_{1}) − f(x_{1}) Kada z_{k}, y_{k} → t_{k} dobijamo ∑_{k=1}^{n}[f(t_{k}+) − f(t_{k}−)] ≤ f(y_{1}) − f(x_{1}) otuda kada n → ∞, ∑_{k=1}^{∞}[f(t_{k}+) − f(t_{k}−)] ≤ f(y−) − f(x+); tj.

∑_{x<x_{n}<y}[f(x_{n}+) − f(x_{n}−)] ≤ f(y−) − f(x+); otuda ∑_{x ≤x_{n}<y}[f(x_{n}+) − f(x_{n}−)] ≤ [f(y−) − f(x−)]. ?? Dokažaimo da g neprekidna. U tačkama x_{n} funkcije f i s_{f} imaju skokove iste

dužine. Otuda je g(x_{n}+) − g(x_{n}−) = f(x_{n}+) − s_{f}(x_{n}+) − [f(x_{n}−) − s_{f}(x_{n}−)] = f(x_{n}+) − f(x_{n}−) − [s_{f}(x_{n}+) − s_{f}(x_{n}−)] = 0 ikako je g monotona g je neprekidna u x_{n}.

Iz pedagoških razloga definišemo prvo funkcije ograničene varijacije na konačnom intervalu, a zatim na celom ℝ. Neka je realna funkcija f definisana na konačnom razmaku [a, b] i neka je P podela tog razmaka

a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = b.

Definicija 2.1. Ako je

V (f) = V_{a}^{b}(f) = sup ∑_{ν=1}^{n} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})|,

gde se supremum uzima po svim podelama P razmaka [a, b], konačan broj, kažemo da je f ograničene varijacije na [a, b]. V_{a}^{b}(f) je njena totalna varijacija. Klasu funkcija ograničene varijacije označavamo sa BV. Na isti način definišu se ovi pojmovi i za kompleksnu funkciju.

Primer 2.1. Ako je f monotona na [a, b], tada je f ograničene varijacije na [a, b]; i V_{a}^{b}(f) = |f(b) − f(a)|.

Neka je npr. f neopadajuća; tada je f(x_{ν}) ≥ f(x_{ν−1}) i stoga |f(x_{ν})−f(x_{ν−1})| = f(x_{ν}) ≥ f(x_{ν−1}) i

∑_{ν=1}^{n} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})| = ∑_{ν=1}^{n} f(x_{ν}) − f(x_{ν−1}) = f(b) − f(a) .

Otuda je V_{a}^{b}(f) = |f(b) − f(a)|.

Primer 2.2. Funkcija

f(x) = x cos π/2x (0 < x ≤ 1), f(0) = 0,

je neprekidna na [0, 1], ali nije ograničene varijacije.

? cos π/2x = ±1 akko x = x_{2n} = \frac{1}{2n} i cos π/2x = 0 akko x = x_{2n−1} = \frac{1}{2n−1}. Zaista, ako za podeone tačke uzmemo, 0, \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n−1}, ⋯, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, dobijamo

∑_{ν=1}^{2n} |f(x_{ν+1}) − f(x_{ν}| = 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n} → ∞ (n → ∞).

Ako su g i h dve monotono neopadajuće funkcije na [a, b], tada je funkcija g − h ograničene varijacije na [a, b]. Važi i obrnuto. U tom cilju definišimo dve monotono neopadajuće funkcije. Za datu podelu P

a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = x, x ≤ b

razmaka [a, x] rastavimo

∑_{ν=1}^{n} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})|

na dve sume Σ^{+} i Σ^{−}, tako da se u Σ^{+} nalaze pozitivne, a u Σ^{−} negativne diferencije f(x_{ν}) − f(x_{ν−1}). Definišimo

p(x) = sup ∑ ^{+} [f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})]

i

n(x) = sup ∑ ^{−} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})|.

Teorema 2.1. * Ako je f ograničene varijacije na [a, b], tada je

(2.3)  f(x) − f(a) = p(x) − n(x)

i

(2.4)  V (x) = p(x) + n(x),

gde je V (x) = T_{f}(x) = V_{a}^{x}(f).

Za bilo koju podelu razmaka [a, x],

(2.5)  f(x) − f(a) = ∑ ^{+}[f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})] − ∑ ^{−}|f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})|.

Otuda, na osnovu definicije funkcija p i n, sledi prvo

f(x) − f(a) + ∑ ^{−} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})| = ∑ ^{+}[f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})] ≤ p(x)

i

∑ ^{+}[f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})] − f(x) + f(a) = ∑ ^{−} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})| ≤ n(x),

a zatim

f(x) − f(a) + n(x) ≤ p(x)

i

p(x) − f(x) + f(a) ≤ n(x).

Iz poslednje dve nejednakosti sledi (2.3).

Ako je f kompleksna funkcija definisana na [a, b], tada je f = γ put u ℂ. Dužina puta γ se obično definiše kao supremum dužina svih ”upisanih” poligonalnih linija u γ i označava sa |γ|. Kažemo da γ ima konačnu dužinu (γ je rektificibilno) ako je dužina |γ| konačana. Jasno je da γ ima konačnu dužinu akko je ograničene varijacije i da je V_{a}^{b}γ = |γ|.

Funkcije definisane na ℝ.

Funkciji f : [a, b] → ℝ, pridružujemo put γ_{f} definisan sa γ(x) = γ_{f}(x) = (x, f(x)), x ∈ [a, b].

f je ograničene varijacije ako i samo ako je γ_{f}.

M_{k} = γ(x_{k}) |M_{ν} − M_{ν−1}| ≥ |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})| + x_{ν} − x_{ν−1}

∑_{ν=1}^{n} |M_{ν} − M_{ν−1}| ≤ ∑_{ν=1}^{n} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})| + ∑_{ν=1}^{n}(x_{ν} − x_{ν−1}) ≤ V_{a}^{x}(f) + b − a .

Za kompleksnu funkciju f definisanu na ℝ njena funkcija totalne varijacije T_{f} definiše se sa

T_{f}(x) = sup ∑_{ν=1}^{n} |f(x_{ν}) − f(x_{ν−1})|, −∞ < x < ∞,

gde se supremum uzima po svim podelama P

−∞ < x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = x.

Ako je T_{f} ograničena funkcija, tada postoji konačan

(2.6)  V (f) = lim_{x→+∞} T_{f}(x).

U ovom slučaju kažemo da je f ograničene varijacije i da je V (f) totalna varijacija funkcije f. Klasu funkcija ograničene varijacije označavamo sa BV. Kažemo da je f ∈ BV normalizovano ako f(x) → 0 kada x → −∞ i ako je f neprekidna sa leve (respektivno sa desne) strane na ℝ. Klasu ovih funkcija označavamo sa NBV (respektivno sa NBV_{d}).

△ Definišimo

(2.7)  f_{1} = \frac{1}{2}(T_{f} + f), f_{2} = \frac{1}{2}(T_{f} − f)

Pokazati ako je f realna funkcija da funkcije f_{1} i f_{2} pripadaju NBV (normalizovane ograničene varijacije), da su monotono neopadajuće funkcije i da takodje daju traženo razlaganje funkcije f u Teoremi 2.1.

Dokazati

(a) Ako f ∈ BV i x < y, tada

|f(y) − f(x)| ≤ T_{f}(y) − T_{f}(x)

(b) Ako f ∈ BV, tada f(x_{−}) i f(x_{+}) postoje za svako x ∈ ℝ, skup tačaka prekida je najviše prebrojiv, i postoji jedna konstanta c i jedinstvena funkcija g ∈ NBV tako da je f(x) = c + g(x) u svim tačkama neprekidnosti funkcije f. Takodje, V (g) ≤ V (f).

(c) Funkcije

(2.8)  f_{1} = \frac{1}{2}(T_{f} + f), f_{2} = \frac{1}{2}(T_{f} − f)

pripadaju NBV ( ? normalizovane ograničene varijacije), su monotono neopadajuće funkcije i daju takodje razlaganje funkcije f = f_{1} − f_{2}.

Neka su realne funkcije f i g definisane i ograničene na konačnom razmaku [a, b] i neka je P podela tog razmaka

a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = b.

Neka ξ_{ν} pripadaju podrazmacima [x_{ν−1}, x_{ν}]. Označimo sa m(P) najveću od dužina podrazmaka podele P i definišimo

σ(P) = σ(f, g; P) = ∑_{ν=1}^{n} f(ξ_{ν})[g(x_{ν}) − g(x_{ν−1})].

Definicija 2.2. Ako postoji broj I(f, g) tako da svakom ε > 0 odgovara δ > 0, tako da za svaki izbor tačaka ξ_{ν} u [x_{ν−1}, x_{ν}] i nezavisno od uočene podele P

m(P) < δ ⇒ |σ(f, g; P) − I(f, g)| < ε,

kažemo da je I(f, g) Riman-Stieltjesov integral funkcije f u odnosu na funkciju g na razmaku [a, b].

Riman-Stieltjesov integral označavamo sa

∫_{a}^{b} f dg.

Primer 2.3. Ako je f neprekidna na [0, a], (0 < a < +∞), tada je ∫_{0}^{a} f(x)d[x] = ∑_{k=1}^{[a]} f(k).

2.1.2. Fubini-evi stavovi. *

Neka je G oblast u ravni ograničena vertikalnim pravama x = a, x = b i funkcijama y = φ(x), y = ψ(x). Površina oblasti G data je sa

V (G) = ∫_{a}^{b}(φ(x) − ψ(x))dx.

Pri tom je razlika φ(x_{0}) − ψ(x_{0}) jednaka dužini preseka oblasti G sa vertikalnom pravom x = x_{0}. Razmotrimo generalizacije ove formule na više dimenzione prostore.

Propozicija 2.2. Neka je I ⊂ ℝ^{n}, I = I_{x} × I_{y}, I_{x} n − 1-dimenzuoni segment, I_{y} segment i E ⊂ I Žordan merljiv. Tada za skoro svako y_{0} ∈ I_{y} skup E_{y_{0}} = {(x, y ∈ E : y = y_{0}} je Žordan merljiv i

(2.9)  |E| = ∫_{I_{y}} |I_{y}|dy

Primer 2.4. Pokazati da je zapremina n-dim lopte B_{r} jednakaV_{n}(r) = c_{n}r^{n}. Up: za x ∈ [−r, r] označimo sa B_{x} presek lopte B i hiperravni ortogonane na [−r, r]; kako je radijus lopte B_{x}, jednak \sqrt{r^{2} − x^{2}}, to je po indukciji i formuli (?? vid. Dodatak iz analiza 2) (6.11),

V_{n} = ∫_{−r}^{r} c_{n−1}(r^{2} − x^{2})^{\frac{n−1}{2}} dx = c_{n−1} (∫_{−π/2}^{π/2} cos^{n} φdφ) r^{n}

smena x = r sin φ ?? I_{m} = ∫_{−π/2}^{π/2} cos^{n} φ; I_{m} = \frac{m−1}{m}I_{m−2}; I_{2} = π/2, I_{1} = 2

V_{2k+1} = 2\frac{(2π)^{k}}{(2k + 1)!!}r^{2k+1}, V_{2k} = 2\frac{(2π)^{k}}{(2k)!!}r^{2k}; V_{n} = 2\frac{(π)^{n/2}}{Γ(n/2)}r^{n}

Uvedimo za proizvoljan skup Q ⊂ ℝ^{r+s} oznake

Q_{x} = {y : (x, y) ∈ Q},

Q_{y} = {x : (x, y) ∈ Q}.

Neka su r, s ≥ 1 prirodni brojevi, f = f(x, y), x ∈ ℝ^{r} i y ∈ ℝ^{s}; f_{y}(x) = f(x, y) i f^{x}(y) = f(x, y). Podvucimo za fiksirano y, f_{y} u ovom kontekstu označava funkciju promenljive x (a ne parcijalni izvod !); slično za fiksirano x, f^{x} u ovom kontekstu označava funkciju promenljive y.

Lema 2.1. Neka je Q 𝔐_{r+s}-merljiv skup. Tada je

(2.10)  m_{r+s}(Q) = ∫_{ℝ^{r}} m_{s}(Q_{x})dm_{r}(x) = ∫_{ℝ^{s}} m_{r}(Q_{y})dm_{s}(y)

Dovoljno je dokazati

(2.11)  m_{r+s}(Q) = ∫_{ℝ^{r}} φ_{Q}(x) dm_{r}(x),

gde je φ_{Q}(x) = m_{s}(Q_{x}). Pogodno je koristiti i oznaku φ_{x}(Q) umesto φ_{Q}(x). Na osnovu Propozicije 1.7, postoji Borelov skup B tako da je

1. Q ⊂ B, m(B) = m(Q) i

2. B presek nerastućeg niza otvorenih skupova B_{n}. Kako se otvoren skup B_{n} može predstaviti kao unija nerastućeg niza B_{nk} elementarnih skupova primenom Teoreme o monotonoj konvergenciji prvo na niz funkcija φ_{B_{nk}} (k = 1, 2, ...), sledi da Lema važi za skupove B_{n}; i otuda primenom Teoreme o monotonoj konvergenciji na niz funkcija φ_{B_{n}} (n = 1, 2, ...), sledi da Lema važi za skup B. Ako je m(Q) = 0, tada je i m(B) = 0. Kako Lema važi za B, sledi da je φ_{B}(x) = 0 s.s. na ℝ^{r}. Otuda sledi da je

∫_{ℝ^{r}} φ_{Q}(x)dm_{r}(x) = 0 = m(Q).

Dakle, formula (2.11) važi ako je m(Q) = 0. U opštem sliučaju Q = B \ C, tj. B = Q ∪ C, gde je B Borel-ov skup i m(C) = 0 i tvrdjenje (formula (2.11)) sledi iz aditivnosti mera m_{r+s} i φ_{x}. ? □

Teorema 2.2. Neka je f nenegativna (0 ≤ f ≤ +∞) 𝔐_{r+s}-merljiva funkcija. Tada su funkcije

(2.12)  I(y) = ∫_{ℝ^{r}} f_{y}(x) dm_{r} i J(x) = ∫_{ℝ^{s}} f^{x}(y) dm_{s}

respektivno 𝔐_{s}, 𝔐_{r}-merljive funkcije, i

(2.13)  ∫_{ℝ^{s}} dm_{s} ∫_{ℝ^{r}} f_{y}(x) dm_{r} = ∫_{ℝ^{r+s}} f dm_{r+s} = ∫_{ℝ^{r}} dm_{r} ∫_{ℝ^{s}} f^{x}(y) dm_{s}.

Uputstvo: Neka je 𝔉 familija 𝔐_{r+s}-merljivih skupova Q tako da jednačina (2.13) važi za f = K_{Q}, gde je K_{Q} karakteristična funkcija skupa Q. Dokazati prvo da je 𝔉 = 𝔐_{r+s}(ovo sledi iz Leme 2.1).

Otuda sledi da Teorema važi ako je f jednostavna funkcija. Kako je 0 ≤ f ≤ +∞, postoji neopadajući niz jednostavnih funkcija s_{n} tako da s_{n} → f(x, y). Ako je I_{n} asocirano sa s_{n} na isti način kao I sa f, dobija se

(2.14)  ∫_{ℝ^{s}} I_{n}(y) dm_{s}(y) = ∫_{ℝ^{r+s}} s_{n} dm_{r+s}.

Primenom Teoreme o monotonoj konvergenciji prvo dobijamo da je I_{n} neopadajući niz funkcija. Otuda, ponovo primenom Teoreme o monotonoj konvergenciji na dva integrala u (2.14) dobija se prva jednakost u (2.13). Druga jednakost u (2.13) sledi ako promenimo uloge x i y.

Teorema 2.3. Ako je f 𝔐_{r+s}-merljiva funkcija na ℝ^{r+s} i bar jedan od integrala

(2.15)  ∫_{ℝ^{s}} dm_{s} ∫_{ℝ^{r}} |f_{y}(x)| dm_{r}, ∫_{ℝ^{r}} dm_{r} ∫_{ℝ^{s}} |f^{x}(y)| dm_{s}

konačan, tada f ∈ L(ℝ^{r+s}).

Upustvo: Primeniti Teoremu 2.2 na funkciju |f|.

Teorema 2.4. Neka je f 𝔐_{r+s}-merljiva funkcija i f ∈ L(ℝ^{r+s}). Tada

1. Funkcije I i J definisane su s.s. i I ∈ L(ℝ^{s}), J ∈ L(ℝ^{r}) i

2. važi jednakost (2.13)

Uputstvo: Jasno, dovoljno je dokazati Teoremu ako je f realna funkcija; kompleksan slučaj onda sledi na uobičajen način. Ako je f realna funkcija primeniti dokazano (Teoremu 2.2) na f^{+} i f^{−}.

Iz Teorema 2.3 i 2.4, sledi da pri uslovima Teoreme 2.3 važi jednakost (2.13). Na sličan način se pokazuje da Fubinijeve teoreme važe i za σ-konačne prostore

sa apstraktnom merom.

Značaj Fubinijevih teorema je npr. što daju dovoljne uslove za izmenu poretka dva ponovljena integrala.

O primenama Fubinijeve teoreme na konvoluciju v. [Ru].

Primer 2.5. Neka je Q = [−1, 1]^{2} i

f(x, y) = \frac{xy}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

za x^{2} + y^{2} > 0 i f(0, 0) = 0. Pokazati da su ponovljeni integrali 0, a da Lebegov integral po kvadratu ne postoji.

Uputstvo:

∫_{−1}^{1} ∫_{−1}^{1} |f(x, y)|dx dy ≥ ∫_{0}^{1} dr ∫_{0}^{2π} \frac{| sin φ cos φ|}{r} dφ = 2 ∫_{0}^{1} \frac{dr}{r} = +∞

Primer 2.6. Neka je f = (x^{2} − y^{2})(x^{2} + y^{2})^{−2}, J(x) = ∫_{0}^{1} f(x, y)dy i I(y) = ∫_{0}^{1} f(x, y)dx. Dokazati da je ∫_{0}^{1} Jdx = π/4 i ∫_{0}^{1} Idy = −π/4. Da li je to u kontradikciji sa Fubinijevom teoremem ?

Uputstvo: Neka je F = y(x^{2} + y^{2})^{−1}; tada je ∂_{2}F = f i otuda J = arctan; I = −J = − arctan. Neka je D = {(x, y) : 0 < x, y < 1, x^{2} + y^{2} < 1}. Koristeći polarne kordinate pokazati da integral ∫_{D} |f|dxdy = +∞; ?? divergira; f nije Lebeg integrabilna na [0, 1] × [0, 1].

2.1.3. Apstraktna mera. *

Definicija 2.3. Neka je X proizvoljan skup i 𝔐 σ-algebra u X. Par (X, 𝔐) naziva se merljiv prostor.

Elementi skupa 𝔐 nazivaju se merljivi skupovi. Nenegativna funkcija skupa μ koja je definisana na 𝔐, uzima vrednosti u [0, ∞] i koja je σ-aditivna naziva se mera na 𝔐. Kompleksna (realna) funkcija skupa μ koja je definisana na 𝔐, i koja je σ-aditivna naziva se respektivno kompleksna (realna) mera na 𝔐.

Ova definicija mere se razlikuje od Definicije 1.4, u tome što je ovde definiciono područje σ-algebra. Dalje ćemo koristiti Definiciju 2.3.

Definicija 2.4. Neka je (X, 𝔐) merljiv prostor i neka f preslikava X u ℝ^{∗}. Ako je skup {f < c} merljiv za svako realno c, kažemo da je f merljiva funkcija na X.

Definicija 2.5. (X, 𝔐, μ) naziva se prostor sa merom.

Zamenjujući Lebeg-ovu meru m merom μ uvesti odgovarajuće definicije i dokazati odgovarajuće stavove. Ako je P(X) = μ(X) = 1 odgovarajuća uredjena trojka (obično se koriste oznake (Ω, 𝔉, P)) naziva se prostor verovatnoća. Slučajna promenljiva ξ je merljiva (𝔉-merljiva) finitna(znači sa vrednostima u ℝ) funkcija koja Ω preslikava u realnu pravu ℝ. Odavde sledi da je, na primer, inverzna slika poluotvorenog intervala [a, b) takodje u 𝔉. Dalje, s obzirom da je 𝔉 σ-polje, inverzna slika svakog Borel-ovog skupa je element iz 𝔉. Dakle u teoriji verovatnoće obično se koristi oznaka Ω za okvirni prostor (skup elementarnih dogadjaja). ?? ^{0}U konteksu kursa kompleksne analize Ω obično označava otvorene skupove!

Primer 2.7. Pretpostavimo da je μ pozitivna mera na X, f : X → [0, ∞] merljiva funkcija, ∫_{X} fdμ = c, gde je 0 < c < ∞, i α pozitivna konstanta. Dokazati da je

lim_{n→∞} ∫_{X} n ln[1 + (f/n)^{α}]dμ

∞ ako je 0 < α < 1; c ako je α = 1; 0 ako je 1 < α < ∞.

Uputstvo: Neka je ξ(x) = ln(1 + x^{α}). Ako je α ≥ 1, tada je ξ′(x) ≤ α i stoga ln(1 + x^{α}) ≤ αx, x ≥ 0; Dakle, n ln[1 + (f/n)^{α}] ≤ nαf/n) = αf i otuda integrand se majorira sa αf. Ako je α < 1, može se primeniti Fatuova lema. Naime, u tačkama gde f(x) konačno, ln[1 + (f/n)^{α}] ∼ (f/n)^{α}, kada n → +∞, tako da n ln[1 + (f/n)^{α}] → +∞, kada n → +∞.

Definicija 2.6. (Lebeg- Stieltjesova mera) Neka je α ∈ NBV_{d} (NBV neprekidne sa desne strane), tj. α neopadajuća funkcija na ℝ neprekidna sa desne strane. Intervalu (a, b), korespondiramo

m_{α}([a, b]) = α(b) − α(a_{−}),
m_{α}([a, b)) = α(b_{−}) − α(a_{−}),
m_{α}((a, b]) = α(b) − α(a),
m_{α}((a, b)) = α(b_{−}) − α(a).

Definisati funkciju m_{α}^{∗}, koja je analogon spoljne mere m^{∗}, i konstrusati σ-prsten 𝔐(m_{α}). Ako je α ∈ NBV (ponovimo NBV su neprekidne sa leve strane) neopadajuća funkcija, može se postupiti i na sledeći način: Dodelimo svakoj tački x ∈ ℝ skup Φ[x]: ako je α neprekidna u x, Φ[x] je tačka α(x); ako je α(x_{+}) > α(x), tada Φ[x] je interval [α(x), α(x_{+})]. Ako E ⊂ ℝ, neka Φ[E] označava skup svih Φ[x], za x ∈ E; i neka je

(2.16)  m_{α}(E) = m(Φ[E])

Otuda

Teorema 2.5. (a) Ako je μ kompleksna Borel-ova mera na ℝ i ako je

(2.17)  f(x) = μ((−∞, x)) (x ∈ ℝ),

tada f ∈ NBV.

(b) Suprotno, svakom f ∈ NBV odgovara jedinstvena kompleksna Borel-ova mera μ tako da važi (2.17).

(c) Ako važi (2.17), f je neprekidno tačno u onim tačkama x u kojima je μ({x}) = 0

Vežba 2.1. Ako α ∈ NBV_{d}, formulisati analogon prethodne teoreme.

2.1.4. Diferenciranje Monotone funkcije.

Definicija 2.7. Neka f preslikava R u R^{∗} i definišimo

D(x, h) = \frac{f(x + h) − f(x)}{h}

Kada h → ±0 svakom fiksiranom x odgovaraju

lim sup_{h→+0} D(x, h), lim inf_{h→+0} D(x, h), lim sup_{h→−0} D(x, h), lim inf_{h→−0} D(x, h).

Nazivamo ih izvodima-gornji desni, donji desni, gornji levi i donji levi funkcije f u tački x i označavamo sa D^{+}f, D_{+}f, D^{−}f, D_{−}f. Sa Df označavamo bilo kojo od njih. ako su sva četri izvoda jednaka i konačna, funkcija f ima izvod f′ u tački x. *Kompleksna Borelova mera μ na ℝ^{m} ima izvod Dμ s.s [m], Dμ ∈ L(ℝ^{m}) i razlaže se na singularni i apsolutno neprekidni deo (na ovom osnovnom stavu baziraju se dokazi u [Ru]; ovaj pristup je apstraktan). ? Ponoviti sledeće svojstvo monotonih funkcija ? ( [Ka-Ad ]):

Teorema A. (Neprekidnost monotone funkcije) Monotona funkcija može imati samo prekida prve vrste. Skup prekide prve vrste je konačan ili prebrojiv.

Teorema B. (Integrabilnost monotone funkcije) Svaka monotona funkcija na zatvorenom razmaku [a, b] je merljiva i ograničena, i stoga, integrabilna.

Dokaz: Neka je f monotono neopadajuća funkcija. Tada je, na osnovu definicije monotonosti, f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) za x ∈ [a, b]. Za proizvolnu konstatu c skup A_{c} = {x : f(x) < c} je ili segment, poluinterval ili prazan.

Zaista, pretpostavimo da postoji tačka x_{0} u kojoj je f(x_{0}) < c i neka je d supremum takvih tačaka. Tada je A_{c} ili razmak [a, d] ili [a, d). □

Sledeći rezultat, koji tvrdi da monotona funkcija ima konačan izvod s.s, zahteva složeniju tehniku u odnosu na dokaze Teoreme A i B. Podvucimo da je to obično slučaj sa tvrdjenijma koja važe s.s.

Teorema 2.6 (Lebeg, Monotona funkcija ima konačan izvod s.s.). Monotona funkcija na [a, b] ima konačan izvod s.s. na [a, b].

Studeti ponekad povezuju (pa i poistovećuju) ovu teoremu sa Teoremom A.

f ima konačan izvod u tački x_{0} ako i samo ako

su svi izvodi funkije f konačni i jednaki. Otuda toremu Lebega možemo preformulisati: za monotonu funkciju na [a, b]

−∞ < D_{−}f = D^{−}f = D_{+}f = D^{+}f < ∞

skoro svuda na [a, b].

Primenom Vital-jevih stavova (v. [Alj], klasični pristup) može se dokazati ovaj osnovni rezultat. Autoru izgleda pogodno da se primeni kocept nevidljivih tačaka i izbegnu Vitalijevi stavovi.

Tačka x_{0} naziva se ”nevidljiva” sdesna (respektivno sleva) za g, ako postoji ξ, x_{0} < ξ (res. x_{0} > ξ) tako da je g(x_{0}) < g(ξ).

Ideja dokaza: Za dokazivanje stavova ovog tipa pogodno je primeniti kocept nevidljivih tačaka, koji omogućuje da radimo sa otvorenim skupovima i stoga intervalima.

?? Pretpostavimo prvo da je f neprekidna neopadajuća funkcija.

Neka su c i C par racionalnih brojeva, za koje je 0 < c < C < ∞ i s = c/C. Označimo sa E_{c,C} skup tačaka u kojima je D_{−}f(x) < c < C < D^{+}f(x).

Za proizvoljni interval (α, β) ⊂ [a, b], dokažimo osnovnu nejednakost:

m(E_{c,C} ∩ (α, β)) ≤ s(β − α) .

Otuda na osnovu Leme 2.3 sledi da je m(E_{c,C}) = 0.

Razmotrimo skup E_{c} tačaka x ∈ (α, β), za koje je D_{−}f(x) < c. S obzirom na definiciju D_{−}f(x), za svako takvo x postoji h < 0 tako da je

D(x, h) = \frac{f(x + h) − f(x)}{h} < c,

tj. f(x + h) − f(x) > ch. Neka je t = x + h; tada je f(t) − f(x) > c(t − x); dakle postoji t < x tako da je f(t) − ct > f(x) − cx. Otuda x je ? ”nevidljiva” sleva za funkciju f(x) − cx i po lemi Risa skup V_{c} takvih x predstavlja se ? kao unija najviše prebrojive familije disjunktnih intervala (α_{k}, β_{k}) ⊂ (α, β), pri čemu je

f(α_{k}) − cα_{k} ≥ f(β_{k}) − cβ_{k}, tj.

(2.18)  f(β_{k}) − f(α_{k}) ≤ c(β_{k} − α_{k}).

Zatim u svakom od intervala (α_{k}, β_{k}) razmotrimo skup G_{k} tačaka za koje D^{+}f > C. Slično kao gore, dokazje se da je svaka tačka x ∈ G_{k} ? ”nevidljiva” sdesna za funkciju f(x) − Cx. Ponovo, po lemi Risa, skup V_{k}^{C} tačaka u intervalu (α_{k}, β_{k}) ”nevidljiva” sdesna za funkciju f(x) − Cx (preciznije restrikciju ove funkcije na interval (α_{k}, β_{k})) se predstavlja kao unija najvše prebrojive familije disjunktnih intervala (α_{kj}, β_{kj}); i

(2.19)  (β_{kj} − α_{kj}) ≤ \frac{1}{C} [f(β_{kj}) − f(α_{kj})].

Otuda, sledi ∑_{kj}(β_{kj} − α_{kj}) ≤ s(β − α). (za detalje videti nejednakost (2.23)??) Jasno je da sistem intervala (α_{kj}, β_{kj}) pokriva skup E_{c,C} ∩ (α, β) i to dokazuje osnovnu nejednakost.

Sada dajemo kompletniji dokaz.

Dokaz:Neka je prvo f neprekidna i monotono raste na [a, b].

Dokaz teoreme Lebega se bazira na:

1^{∘}. Skup S tačaka u kojima je D^{+}f(x) = +∞ ima meru nula. 2^{∘}. Skup T tačaka u kojima je D^{+}f(x) > D_{−}f(x) ima meru nula; tj. D_{−}f ≥ D^{+}f skoro svuda.

Funkcija f^{∗}(x) = −f(−x) monotono raste na [−b, −a]; jednosrtavno se proverava da D^{+}f^{∗} = D^{−}f, D_{−}f^{∗} = D_{+}f u odgovarajućim tačkama; primenom 2^{∘}. na f^{∗} dobija se D_{−}f^{∗}(x) ≥ D^{+}f^{∗}(x) i stoga D_{+}f(x) ≥ D^{−}f(x) skoro svuda i otuda

D^{+}f ≤ D_{−}f ≤ D^{−}f ≤ D_{+}f ≤ D^{+}f,

što znači D_{−}f = D_{+}f = D^{−}f = D^{+}f. Dakle postoji izvod f′ skoro svuda.

Neka je g neprekidna funkcija definisana na [a, b].

Lema 2.2 (Risova lema). Za proizvoljnu neprekidnu funkciju g, skup tačaka ”nevidljiva” sdesna, otvoren je na [a, b] i otuda, unija konačne ili prebrojive familije intervala (a_{k}, b_{k}) (moguće poluintervala koji sadrže tačku a). Na krajevima tih intervala, važi g(a_{k}) ≤ g(b_{k}); ako je a_{k} ≠ a, tada je g(a_{k}) = g(b_{k}).

Koncept ”nevidljivih” tačaka (sdesna i sleva) primenjuje sa na izvode ? monotonih funkcija, preko Risove leme.

Vežba 2.2. Ako je f neprekidna na [α, β], ima izvod na (α, β) i f′ < c na intervalu [α, β], tada je na osnovu Lagranžove teoreme f(β) − f(α) ≤ c(β − α). Prirodno je očekivati da se ovo tvrdjenje važi ako samo pretpostavimo da je f neprekidna na [α, β] i D_{−}f(x) < c za x ∈ [α, β] i da očekujemo da D^{+}f > C na [α, β] povlači f(β) − f(α) ≥ C(β − α); da li to sledi iz specijalnog slučaja Risove leme ? Uporediti sa Stavom 6, str. 174 [Alj]. ?? Neka je V^{C} = ∪_{k}V_{k}^{C} i V_{c}^{C} = V_{c} ∩ V^{C}. Podvucimo da je E_{c,C} ⊂ V_{c}^{C}. Da li iz dokaza sledi da je skup V_{c}^{C} mere nula ako je c < C.

Neka je V^{C} skup tačaka ”nevidljiva” sdesna za funkciju f(x) − Cx i V_{c,C} = V_{c} ∩ V^{C}. Podvucimo da je E_{c,C} ⊂ V_{c,C} i da iz dokaza ne ?? sledi da je skup V_{c,C} mere nula ako je c < C.

Dokaz 1^{∘} (pomoću Risove leme).

Dokaz. Razmotrimo skup E tačaka x ∈ (a, b), za koje je D^{+}f(x) = ∞. Neka x_{0} ∈ E. S obzirom na definiciju D^{+}f(x_{0}), za proizvoljno C > 0 postoji h > 0 tako da je

D(x_{0}, h) = \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h} > C,

tj. f(x_{0} + h) − f(x_{0}) > Ch. Neka je t = x_{0} + h; tada je f(t) − f(x_{0}) > C(t − x_{0}); dakle postoji t > x_{0} tako da je

f(t) − Ct > f(x_{0}) − Cx_{0}. Otuda x_{0} je ? ”nevidljiva” sdesna za funkciju g(x) = f(x)−Cx i po lemi Risa skup takvih x predstavlja se ? kao unija najviše prebrojive familije disjunktnih intervala (a_{k}, b_{k}) ⊂ (a, b), pri čemu je

f(a_{k}) − Ca_{k} ≤ f(b_{k}) − Cb_{k}

tj.

(2.20)  f(b_{k}) − f(a_{k}) ≥ C(b_{k} − a_{k}).

Ovde C možemo izabrati proizvoljno veliko. Deleći sa C i sumirajući dobijenu nejednakost po svim intervalima (a_{k}, b_{k}), dobija se

∑_{k} b_{k} − a_{k} ≤ ∑_{k} \frac{f(b_{k}) − f(a_{k})}{C} ≤ \frac{f(b) − f(a)}{C} .

Dakle skup E može se pokriti intervalima čija je suma dužina proizvoljno mala i stoga m(E) = 0.

Sličan postupak povezan sa Risovom lemom pokazuje da je D_{−}f ≥ D^{+}f skoro svuda; sada se lema primenjuje dva puta.

Dokažimo 2^{∘} (pomoću Risove leme).?

Neka su c i C par racionalnih brojeva, za koje je 0 < c < C < ∞ i s = c/C. Označimo sa E_{c,C} skup tačaka x u kojima je D_{−}f(x) < c < C < D^{+}f(x). Ako dokažemo da E_{c,C} ima meru nula, onda otuda sledi, da je D_{−}f ≥ D^{+}f s.s, jer se skup T = {x : D^{+}f(x) > D_{−}f(x)} suma ne više od prebrojive familije skupova oblika E_{c,C}.

Ustanovimo sada osnovnu nejednakost: Neka je 0 < c < C < ∞ i s = c/C. Za proizvoljan interval (α, β) ⊂ [a, b]

m(E_{c,C} ∩ (α, β)) ≤ s(β − α).

Dokaz. Razmotrimo skup E_{c} tačaka x ∈ (α, β), za koje je D_{−}f(x) < c. Za svako takvo x postoji t < x tako da je f(t) − ct > f(x) − cx. Otuda x je ? ”nevidljiva” sleva za funkciju f(x) − cx i po lemi Risa skup takvih x predstavlja se ? kao unija najviše prebrojive familije disjunktnih intervala (α_{k}, β_{k}) ⊂ (α, β), pri čemu je

(2.21)  f(β_{k}) − f(α_{k}) ≤ c(β_{k} − α_{k}).

Zatim u svakom od intervala (α_{k}, β_{k}) razmotrimo skup G_{k} tačaka za koje D^{+}f > C. Slično kao gore, dokazje se da svaka je svaka tačka x ∈ G_{k} ? ”nevidljiva” sdesna za funkciju f(x) − Cx. Ponovo, po lemi Risa, skup tačaka u intervalu (α_{k}, β_{k}) ”nevidljiva” sdesna za funkciju f(x)−Cx se predstavlja kao unija najvše prebrojive familije disjunktnih intervala (α_{kj}, β_{kj}) i

(2.22)  β_{kj} − α_{kj} ≤ \frac{1}{C} [f(β_{kj}) − f(α_{kj})].

Jasno je da sistem intervala (α_{kj}, β_{kj}) pokriva skup E_{c,C} ∩(α, β), i otuda na osnovu (2.21) i (2.22), nalazimo

∑_{k,j}(β_{kj} − α_{kj}) ≤ \frac{1}{C} ∑_{k,j}[f(β_{kj}) − f(α_{kj})] ≤ (2.23)

\frac{1}{C} ∑_{k}[f(β_{k}) − f(α_{k})] ≤ \frac{c}{C} ∑_{k}(β_{k} − α_{k}) ≤ s(β − α), (2.24)

i osnovna nejednakost je dokazana. □

Sada je jednostavno dokazati, da je m(E_{c,C} = 0). U dokazu se koristi samo svojstvo skupa E_{c,C}, koje opisuje osnovna nejednakost.

Lema 2.3. Neka je A merljiv skup na [a, b] tako da za proizvoljan interval (α, β) ⊂ [a, b], važi m(A ∩ (α, β)) ≤ s(β − α), gde je 0 < s < 1. Tada m(A) = 0.

Dokaz: Neka je τ = m(A). Za proizvoljno ε > 0 postoji otvoren skup G, koji je unija prebrojive familije disjunktnih intervala (a_{m}, b_{m}) tako da je A ⊂ G i ∑_{m}(b_{m} − a_{m}) < τ + ε. Definišimo τ_{m} = m(A ∩ (a_{m}, b_{m})). Jasno je τ = ∑_{m} τ_{m}. Po uslovu Leme, τ_{m} ≤ s(b_{m} − a_{m}). Otuda, τ ≤ s ∑_{m}(b_{m} − a_{m}) < s(τ + ε), i kako je ε > 0 proizvoljno, to je τ ≤ sτ. Kako je 0 < s < 1, sledi τ = 0. □

Isto razmatranje se prenosi i na prekidne monotone funkcije pomoću uopštene leme Risa za funkcije sa prekidima prve vrste.

Neka funkcija g definisana na [a, b] ima samo prekide prve vrste. Tačka x_{0} naziva se ”nevidljiva” sdesna (respektivno sleva) za g, ako postoji ξ, x_{0} < ξ (res. x_{0} > ξ) tako da je

max[g(x_{0} − 0), g(x_{0}), g(x_{0} + 0)] < g(ξ).

?? Skup tačaka ”nevidljiva” sdesna za funkciju g, otvoren je na [a, b] i otuda, unija konačne ili prebrojive familije intervala (a_{k}, b_{k}) (moguće poluintervala koji sadrže tačku a). Na krajevima tih intervala, važi g(a_{k}) ≤ g(b_{k}); ako je a_{k} ≠ a, tada je g(a_{k}) = g(b_{k}).

Dokaz 1^{∘} (pomoću Vitali-jevog stav): Pretpostavimo da je m^{∗}(S) = k > 0. Tada svakom x ∈ S može koordinirati niz zatvorenih razmaka čija dužina teži nuli tako da

Δf > KΔx,

gde K može biti proizvoljno veliko. Nizovi ovih razmaka kada x prolazi skup S, obrazuju Vitalijevo pokrivanje {I} skupa S, pa je moguće odabrati konačno mnogo disjunktnih intervala totalne dužine veće od k/2. Sumirajući diferencije funkcija preko ovih disjunktnih intervala dobija se

∑ Δf > K ∑ Δx > \frac{kK}{2} .

Kako f raste, otuda je f(b)−f(a) > \frac{kK}{2} , što je nemoguće ako je k > 0 i K dovoljno veliki broj.

Definicija 2.8. Neka je E ⊂ ℝ i neka je {I} kolekcija zatvorenih razmaka pozitivne dužine. Kolekcija {I} pokriva u Vitalijevom smislu skup E ako svakom x ∈ E odgovara niz razmaka iz {I} čije dužine teže nuli i koji sadrže tačku x.

Teorema 2.7 (Vitalijev stav). Neka je m^{∗}(E) < +∞ i δ > 0 proizvoljan broj. Tada se iz svakog Vitalijevog pokrivanja {I} skupa E može izdvojiti konačno mnogo disjunktnih razmaka I_{1}, I_{2}, …, I_{n}, tako da skup tačaka iz E koje ne pripadaju ∪I_{k} ima spoljnu meru manju od δ.

?? Umesto, Vitalije teoreme kao što smo pokazali može se koristiti Risova lema.

Vežba 2.3. Dokazati 2^{∘} pomoću Vitali-jevog stava.

Teorema 2.8 (Izvod monotone funkcije je integrabilan). Ako f neopada na [a, b], tada je f′ integrabilna na [a, b] i

(2.25)  ∫_{a}^{b} f′(x)dx ≤ f(b) − f(a).

Za f(x) = [x] na [0, 1] važi ∫_{0}^{1} f′(x)dx = 0 < 1 = f(1) − f(0).

Uputstvo: Za x > b definišimo f sa f(b). Neka niz brojeva h_{n} → 0_{+} kada n → ∞ i neka je

φ_{n}(x) = \frac{f(x + h_{n}) − f(x)}{h_{n}}.

Na osnovu Teoreme 2.6, sledi φ_{n}(x) → f′(x) s.s. na [a, b]. Primenom Fatu-ove leme na φ_{n}, dobija

(2.26)  ∫_{a}^{b} f′(x)dx ≤ lim inf_{n→∞} J_{n},

dge je J_{n} = ∫_{a}^{b} φ_{n}(x)dx. Kako je

J_{n} = \frac{1}{h_{n}} (∫_{a+h_{n}}^{b+h_{n}} f dx − ∫_{a}^{b} f dx)

= \frac{1}{h_{n}} (∫_{b}^{b+h_{n}} f dx − ∫_{a}^{a+h_{n}} f dx) ,

sledi J_{n} = J_{n}(b)−J_{n}(a), gde je J_{n}(b) = \frac{1}{h_{n}} ∫_{b}^{b+h_{n}} f dx = f(b) i J_{n}(a) = \frac{1}{h_{n}} ∫_{a}^{a+h_{n}} f dx. Kako f ne opada, J_{n}(a) ≥ f(a), i stoga

J_{n} ≤ f(b) − f(a).

Otuda, na osnovu (2.26), sledi tvrdjenje.

Primer 2.8. (Primer Kantor-ova funkcija) Definišimo Kantorovu funkciju k_{s} na Katorovom skupu K_{s} ( videti Primer 1.23). Neka je k_{s} jednako \frac{1}{2} na intervalu izbačenom u prvom koraku; respektivno \frac{1}{4}, \frac{3}{4} na intervalima izbačenim u drugom koraku; \frac{1}{2^{n}}, \frac{3}{2^{n}},..., \frac{2^{n}−1}{2^{n}} na intervalima izbačenim u n-tom koraku. Definišimo k(0) = 0 i k(1) = 1, a u tački x u kojoj k nije definisana prethodnim postupkom k(x) = sup k(t), gde se supremum uzima po svim tačkama t koje su manje od x. Funkcija k_{s} naziva se Kantor-ova funkcija. Umesto k_{1} pišemo kratko k. Dokazati a. k_{s} je monotona i neprekidna funkcija na [0, 1]. b. k′(x) = 0 s.s. na [0, 1]. c. Izraziti ∫_{0}^{1} k_{s} dx. d. Neka je f(x) = \frac{x+k(x)}{2}. Pokazati da je f strogo monotona i neprekidna funkcija na [0, 1]. Da li f preslikava skupove pozitivne mere na skupove pozitivne mere?

Rešene za d (homeomorfizam f preslikava skup mere 0 na skup pozitvne mere !): ?? Funkcija f preslikava [0, 1] na sebe. Neka je E = [0, 1] \ K. Skup E se sastoji od ”izbačenih” intervala I = (α, β). Kako je f(β) − f(α) = (β − α)/2 i f(I) = (f(α), f(β)), sledi m(f(I)) = (β − α)/2 i otuda je prvo m(f(E)) = 1/2 i stoga m(f(K)) = 1/2 . Dakle, homeomorfizam f preslikava skup K mere 0 na skup pozitvne mere !

Put γ_{s} definisan sa γ_{s}(x) = x + ik_{s}(x), 0 ≤ x ≤ 1, nazivamo Katorovog put. Pišemo γ umesto γ_{1}.

Primer 2.9 ( dužina Kantorov puta). ^{∗} Da li je dužina Kantorov puta γ jednaka 2?

a) Da li je γ′ = 1 s.s na [0, 1].

b) Da li važi formula za dužinu: |γ| = ∫_{0}^{1} |γ′(x)|dx = 1?

Uputstvoza a) : Neka podela P_{n} definisana krajevima intervalima izbačenim u prvih n-tom koraku i P_{n} odgovarajuća poligonalna linija ”upisana” u Kantorov put γ. Poligonalna linija se sastoji od 2^{n} podudarnih intervala nagiba 3^{n}/2^{n}; i 2^{n} − 1 horizontalnih intervala.

Kako je k(1/3^{n}) = 1/2^{n}, dužina nehorizontalnih intervala je

l_{n} = \sqrt{(\frac{1}{3^{n}} )^{2} + (\frac{1}{2^{n}} )^{2}} .

Otuda ukupna dužina nehorizontalnih intervala s_{n} = 2^{n}l_{n} → 1, kada n → ∞. Za dokaz je dovoljno primetiti da je s_{n} ≥ 1. Stoga, s obzirom da ukupna dužina horizontalnih intervala s_{n}^{h} → 1, sledi da |P_{n}| → 2. S druge strane, dužina proizvoljne poliginonalne linije ”upisane” u γ nije veća od zbira dužina projekcija na koordinatne ose, tj. od 2, i stoga |γ| ≤ 2, i otuda |γ| = 2.

b) Ne (Objasniti!).

Primer 2.10. * Neka je u : [0, 1] → [0, 1] nepadajuća funkcija i put γ definisan sa γ(x) = x + iu(x), 0 ≤ x ≤ 1. Dokazati da je

a) |γ| ≤ 2

b) |γ| = 2 akko u(0) = 0, u(1) = 1 i u je singularna funkcija.

Uputstvo za b): Neka je 0 < α < β < π/2 and q_{0} = sin α + cos β > 1 i A = A(α, β) = {x : tan α < u′(x) < tan β}. Neka je 0 ≤ x ≤ 1, h > 0, r = |γ(x+h)−γ(x)|, l dužina puta γ i l_{1} = l_{1}(h) = s(x; h) dužina puta koji odgovara odsečku [x, x + h]. Na osnovu, polarne reprezentacije, γ(x + h) − γ(x) = re^{iφ} i otuda, na osnovu pretpostavki u tački b), l_{1} = r cos φ + r sin φ = qr, gde je q = cos φ + sin φ. Neka je A_{1} skup tačaka x tako da važi

(2.27)  s(x; h) > q_{0}r

za dovoljno malo h. Dakle, A ⊂ A_{1}. S druge strane za svako ε = 1/n postoji δ = δ_{n} tako ako je maximum podele P intervala [0, 1] manji od δ, tada je l − l_{n} ≤ 1/n, gde je l_{n} dužina odgovarajuće poligonalna linije. Pretpostavimo da je m(A_{1}) = k > 0. Koristićemo Vitalijevo pokrivanje skupa A_{1} odgovarajuím intervalima I_{k}, dužine manje od δ_{n}, tj. 0 < h < δ_{n}; za koje važi formula (2.27). Iz ovog pokrivanja može se izdvojiti konačno mnogo disjunktnih razmaka čija je totalna dužina veća od k/2. Neka je S_{n} zbir dužina puta koji odgovara ovim razmacima. Tada je prvo S_{n} ≥ k/2 i sumirajaći po ovim razmacima, na osnovu formule (2.27), dobija se S_{n} = ∑ s_{k} ≥ q_{0}R_{n}, gde je R_{n} := ∑ r_{k}. Otuda je R_{n} ≥ S_{n} − 1/n i stoga S_{n} = q_{0} R_{n} ≥ q_{0}(S_{n} − 1/n) i kada n → +∞ sledi m(A_{1}) = 0. Skup A = {x : 0 < u′(x) < +∞} je prebrojiva unija skupova oblika A(α, β). Napomena :prvobitna ideja autora za b): koristiti Vitalijevo pokrivanje ili Risovu lemu kao u dokazu teoreme o postojanju izvoda s.s monotone funkcije ! Formula (2.27) ima važnu ulogu!

2.1.5. Apsolutna neprekidnost, diferenciranje i integracija. * Osnovno pravilo Diferencijalnog i Integralnog računa: (A) Ako je f integrabilna na [a, b], integral

F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt

ima izvod i F′ = f na [a, b].

(B) Ako je G ima izvod G′ = g na [a, b], tada

∫_{a}^{x} g(t)dt = G(x) − G(a) (a ≤ x ≤ b)

G je primitivna funkcija od g.

? Ako razmtramo Rimanov integral, iskazi (A) i (B) važe ako su npr. f i g neprekidne funkcije.

? Ako razmtramo Lebegov integral, iskaz (A) važi u smislu da je F′ = f s.s. na [a, b].

? Ako je f integrabilna na [a, b], njen integral F je kako neprekidna, tako i funkcija ograničine varijacije. Da je F ograničine varijacije na [a, b] sledi neposredno iz

F (x) = ∫_{a}^{x} f^{+}(t)dt − ∫_{a}^{x} f^{−}(t)dt,

jer, kako je f^{+} ≥ 0 i f^{−} ≥ 0, integrali na desnoj strani su neopadujuće funkcije.

Teorema 2.9. (Diferenciranje integrala) Neka je f integrabilna na [a, b] i neka je F njen integral. Tada a. F ima konačan izvod s.s. na [a, b] i F′ = f s.s. na [a, b]

▷ Kako je F ograničene varijacije, F ima konačan izvod s.s. na [a, b]. Neka je

φ_{n}(x) = \frac{F (x + h_{n}) − F (x)}{h_{n}},

gde h_{n} → 0_{+} kada n → +∞. Neka je c ∈ [a, b] i J_{n} = ∫_{a}^{c} φ_{n}(x)dx.

Tada je J_{n} = \frac{1}{h_{n}} ∫_{a}^{c}[F (x + h_{n}) − F (x)]dx = J_{n}(c) − J_{n}(a) = \frac{1}{h_{n}} ∫_{c}^{c+h_{n}} F (x)dx −

\frac{1}{h_{n}} ∫_{a}^{a+h_{n}} F (x)dx, gde je J_{n}(c) = \frac{1}{h_{n}} ∫_{c}^{c+h_{n}} F (x)dx i J_{n}(a) = \frac{1}{h_{n}} ∫_{a}^{a+h_{n}} F (x)dx.

Otuda, kako je F neprekidna funkcija,

(2.28)  J_{n} = ∫_{a}^{c} φ_{n}(x)dx → F (c) − F (a),

kada n → +∞( proveriti !). Pretpostavimo prvo da je |f| ≤ M na [a, b]. Kako φ_{n}(x) → F′(x) s.s. na [a, b] i

|φ_{n}(x)| ≤ \frac{1}{h_{n}} ∫_{h_{n}}^{x+h_{n}} |f(t)| dt ≤ M,

na osnovu (2.28), primenom Lebegovog stava o dominantnoj konvergenciji, sledi

∫_{a}^{c} F′(x)dx = F (c) − F (a) = ∫_{a}^{c} f(x)dx.

Dakle

∫_{a}^{c}[F′(x) − f(x)] dx = 0

za svako c ∈ [a, b] i otuda, na osnovu Propozicije 1.45 ( sledeće Leme, Stav 5.16, [Alj]) F′ = f s.s. na [a, b].

Lema 2.4. Neka je f integrabilna na ℝ i neka je ∫_{−∞}^{x} f dm = 0 za svako x ∈ ℝ. Tada je f = 0 s.s. na ℝ.

? Da bismo opisali funkcije za koje važi iskaz (B), uvodimo sledeću definiciju (apsolutno neprekidne funkcije). ? Ako je G apsolutno neprekidna funkcija važi iskaz (B). Drugim rečima apsolutno neprekidna funkcija je integral svog izvoda na konačnim intervalima(? mada to nije jasno iz definicije koja sledi).

Definicija 2.9. Neka je f definisana na [a, b] (respektivno ℝ) i neka su [x_{ν}, x_{ν} +h_{ν}] (h_{ν} > 0, ν = 1, 2, ..., n) medjusobno disjunktni razmaci(segmenti) koji pripadaju [a, b] (respektivno ℝ). Ako svakom ε > 0 odgovara broj δ > 0 tako da je

Σ_{ν=1}^{n}|f(x_{ν} + h_{ν}) − f(x_{ν})| < ε

za svaki izbor podsegmenata [x_{ν}, x_{ν} + h_{ν}], čija je totalna dužina Σ_{ν=1}^{n}h_{ν} < δ, kažemo da je f apsolutno neprekidna funkcija na [a, b](respektivno ℝ).

U ovom tekstu kada kažemo samo f je apsolutno neprekidna, to se odnosi na ograničen zatvoren interval ( segment). Npr. fukcija f(x) = x^{2} je apsolutne neprekidne na svakom ograničenom intervalu, ali nije ℝ.

Svaka apsolutno neprekidna funkcija je ravnomerno neprekidna i restrikcija apsolutne neprekidne na ograničenim intervalima je funkcija ograničene varijacije. Ipak, ako je f(x) = sinx, ili f(x) = x + |x| na ℝ, tada f je apsolutno neprekidna, ali f ∉ BV. Ako je f apsolutno neprekidna realna funkcija, tada f preslikava skupove mere 0 u skupove mere 0. Kantorova funkcija ne zadovoljava ovo svojstvo: Kantorova funkcija preslikava Kantorov skup mere 0 na skup mere 1.

Propozicija 2.3. Restrikcija apsolutne neprekidne funkcije f na ograničenim intervalima je funkcija ograničene varijacije.

Neka je ograničeni interval [a, b]. Ako je data podela P razmaka [a, b], možemo, dodajući eventualno nove podeone tačke, sve podrazmake tako dobivene sukcesivne podele P′ razvrstati u grupe podrazmaka, tako da je totalna dužina podrazmaka iz iste grupe jednaka polovini broja δ iz Definicije 2.9 (za neko fiksirano ε = ε_{0}).

Takvih grupa podrazmaka ima najviše n_{0} = [\frac{2(b − a)}{δ}] + 1. Proveriti da je V_{a}^{b}(f) ≤ n_{0} ε_{0}.

Propozicija 2.4 (Integral je apsolutno neprekidna funkcija). Neka je f integrabilna na [a, b] i neka je F njen integral. Tada

1. F je apsolutno neprekidna funkcija na [a, b].

2. F je ograničene varijacije i

(2.29)  V (F) ≤ ∫_{a}^{b} |f(t)|dt.

Apsolutna neprekidnost funkcije F je neposredna posledica apsolutne neprekidnosti Lebeg-ovog integrala. Dokaz. Označimo sa E uniju disjunktnih podrazmaka [x_{ν}, x_{ν} + h_{ν}] iz [a, b]. Kako je sa f i |f| je integrabilna na [a, b], na osnovu Teoreme o apsolutnoj neprekidnosti m-integrala, izraz

∑ |F (x_{ν} + h_{ν}) − F (x_{ν})| = ∑ | ∫_{x_{ν}}^{x_{ν}+h_{ν}} f(t)dt| ≤ (2.30)

∑ ∫_{x_{ν}}^{x_{ν}+h_{ν}} |f(t)|dt = ∫_{E} |f(t)|dt

je proizvolno mali ako je m(E) = ∑ h_{ν} dovolno malo. Nejednakost (2.29) sledi iz nejednakost (2.30) □

Lema 2.5. Ako je f apsolutno neprekidna na [a, b] i f′ = 0 s.s. na [a, b], tada je f = konst na [a, b].

Uputstvo: ? Neka je E = {x : f′(x) = 0} i ε > 0. Kako je f apsolutno neprekidna, postoji δ > 0 tako da

(2.31)  ∑ |Δf| < ε.

Za svako x ∈ E, postoji niz razmaka [x, x + h_{n}], h_{n} → 0 tako da

(2.32)  |f(x + h_{n}) − f(x)| < ε h_{n}.

Kolekcija ovih razmaka, kada x prolazi E, pokriva E u Vitalijevom smislu. S obzirom da je mera skupa E jednaka b−a, otuda postoji konačno mnogo medjusobno disjunktnih razmaka {I}, koji pokrivaju E, tako da je ukupna dužina ( zbir dužina) svih komplementarnih razmaka {J} u [a, b], manja od δ.

Iz (2.31) i (2.32), sledi

|f(b) − f(a)| ≤ ∑_{{I}} |Δf| + ∑_{{J}} |Δf| < ε(b − a) + ε.

Otuda sledi f(b) = f(a) jer ε možemo birati proizvoljno malo. □

Dokaz prethodne teoreme moze se bazirati i na lemi Risa. Neka x_{0} ∈ E. Tada, na osnovu (2.32), sledi postoji x > x_{0} tako da je εx_{0} −f(x_{0}) < εx−f(x); dakle, tačka x_{0} je nevidljiva s desna za funkciju g(x) = εx−f(x) i po lemi Risa skup takvih x predstavlja se kao unija najviše prebrojive familije disjunktnih intervala (α_{k}, β_{k}, pri čemu je

(2.33)  f(β_{k}) − f(α_{k}) ≤ ε(β_{k} − α_{k}),

i otuda

(2.34)  ∑_{k}(f(β_{k}) − f(α_{k})) ≤ ε ∑_{k}(β_{k} − α_{k}) ≤ ε(b − a).

Dakle, f(E) je pokriveno sistemom intervala , čija je suma dužina manja od ε. Kako je ε proizvoljno sledi da je m(f(E)) = 0. Neka je Z = [a, b] \ E. Kako je m(f(E)) = 0, i [f(a), f(b)] unija skupova f(E) i f(Z), otuda je dužina razmaka [f(a), f(b)] jednaka nuli i stoga f(x) = konst.

Teorema 2.10 (Lebeg, Osnovno svojstvo apsolutno neprekidnih funkcija). Neka je f apsolutno neprekidna funkcija na [a, b]. Tada a. f ima s.s. na [a, b] konačan integrabilan izvod b. ∫_{a}^{x} f′(t)dt = f(x) − f(a), (a ≤ x ≤ b).

Uputstvo. f je ograničene varijacije i otuda razlika dve monotone funkcije. Kako monotona funkcija ima s.s. konačan i integrabilan izvod, sledi f′ ∈ L(a, b). Specijalno, sledi a. Neka je F (x) = ∫_{a}^{x} f′(t)dt. Kako je f′ integrabilna funkcija, na osnovu Propozicije 2.4 ( Integral je apsolutno neprekidna funkcija), prvo funkcija F je apsolutno neprekidna funkcija na [a, b] i stoga

(2.35)  s(x) = f(x) − ∫_{a}^{x} f′(t)dt

je apsolutno neprekidna funkcija na [a, b], jer je zbir dve takve funkcije. Na osnovu Teoreme o diferenciranju integrala, prvo sledi F′ = f′ s.s. i stoga s′(x) = f′(x) − F′(x) = f′(x)−f′(x) = 0 s.s. na [a, b], a zatim, na osnovu Leme 2.5, s = const. = c na [a, b], tj.

f(x) − ∫_{a}^{x} f′(t)dt = c, x ∈ [a, b].

Otuda, za x = a, sledi c = f(a); i na osnovu (2.35) sledi b.

Primer 2.11. Pokazati da f može imati konačan izvod f′ na [a, b], koji nije integrabilan. Uputstvo. Funkcija f, definisana sa f(x) = x^{2} sin x^{−2} za 0 < x ≤ 1 i f(0) = 0, ima izvod na [0, 1]: f′(x) = 2x sin x^{−2} − x^{−1} cos x^{−2} za 0 < x ≤ 1, f′(0) = 0; koji nije integrabilan na [0, 1].

Definicija 2.10. Funkcija f koja je neprekidna i ograničene varijacije na [a, b] i čiji je izvod skoro svuda jednak nuli naziva se singularna funkcija.

Primer 2.12 (Kantorove merdevine- djavolje merdevine). Kantorova funkcija k = k_{1} je singularna.

Kako je Kantorova funkcija k konstantna na izbačenim intervalima i ukupna mera izbačenih intervala 1, to je k′ = 0 s.s na [0, 1]. ?? Ova funkcija ima dodatna interesantna svojstva(koja opravdavaju naziv djavolje merdevine): k monotone raste na [0, 1] i preslikava [0, 1] na sebe. Kantorova funkcija k = k_{1} nije integral svog izvoda i dakle nije apsolutno integrabilna. Kantorova funkcija k = k_{1} prelikava skup mere 1 na preborijiv skup, a Kantorov skup mere 0 na skup mere 1.

Teorema 2.11. Funkcija f koja je neprekidna i ograničene varijacije na [a, b] može se jednoznačno predstaviti

(2.36)  f = g + h,

gde je g apsolutno neprekidna, g(a) = f(a) i h singularna funkcija ili identički jednaka nuli.

2.1.6. Osobine Lebegovog integrala na ℝ.

Teorema 2.12. Neka je f neprekidna, a g apsolutno neprekidna funkcija na [a, b]. Tada je

(2.37)  ∫_{a}^{b} fdg = ∫_{a}^{b} f g′ dx.

Neka je f ograničene varijacije, a g apsolutno neprekidna funkcija na [a, b], tada takodje važi (2.37).

Neka je P : a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = b podela razmaka [a, b] i σ odgovarajuća suma koja dovodi do Riman-Stiltesovog integrala. Iz apsolutne neprekidnosti funkcije g, sledi

(2.38)  g(x_{ν}) − g(x_{ν−1}) = ∫_{x_{ν−1}}^{x_{ν}} g′(x)dx (ν = 1, 2, ..., n).

Iz ove formule, sledi

σ(P) = σ(f, g; P) = ∑_{ν=1}^{n} f(ξ_{ν})[g(x_{ν}) − g(x_{ν−1})]

= ∑_{ν=1}^{n} f(ξ_{ν}) ∫_{x_{ν−1}}^{x_{ν}} g′(x)dx = ∑_{ν=1}^{n} ∫_{x_{ν−1}}^{x_{ν}} f(ξ_{ν}) g′(x)dx. (2.39)

Otuda je

(2.40)  ϵ = |σ − ∫_{a}^{b} fg′dx| = | ∑_{ν=1}^{n} ∫_{x_{ν−1}}^{x_{ν}}[f(ξ_{ν}) − f(x)] g′(x) dx|.

Kako je g′ integrabilna, I_{0} = ∫_{a}^{b} |g′|dx < +∞. Neka je (ε, δ) par iz definicije uniformne neprekidnosti funkcije f na [a, b]. Ako je podela P takva da je m(P) < δ, tada je |f(ξ_{ν}) − f(x)| ≤ ε za x_{ν−1} ≤ x ≤ x_{ν}, i na osnovu (2.40), sledi

ϵ ≤ ∑_{ν=1}^{n} ∫_{x_{ν−1}}^{x_{ν}} |f(ξ_{ν}) − f(x)| |g′(x)| dx

≤ ∑_{ν=1}^{n} ∫_{x_{ν−1}}^{x_{ν}} ε |g′(x)| dx ≤ ε ∑_{ν=1}^{n} ∫_{x_{ν−1}}^{x_{ν}} |g′(x)| dx.

Otuda, sledi ϵ < εI_{0}. Kako ε možemo birati proizvoljno malo, sledi da je ϵ = 0, tj. tvrdjenje.

Teorema 2.13. Ako su f i g apsolutno neprekidne na [a, b], tada važi formula za parcijalnu integraciju.

Sledi iz Teoreme 2.12 i formule za parcijalnu integraciju Riman-Stiltesovog integrala. □

2.2. L_{p}-prostori.

Definicija 2.11. Merljiva funkcija f na (a, b) pripada L_{p} = L_{p}(a, b) (p ≥ 1; −∞ ≤ a, b ≤ +∞) ako je

||f||_{p} = (∫_{a}^{b} |f|^{p}dm)^{\frac{1}{p}} < +∞.

Na ovaj način definisana je norma u L_{p}, koja definiše metriku na uobičajen način d(f, g) = ||f − g||_{p}. Skup A je gust u skupu B ako je B ⊂ \overline{A}.

Teorema 2.14. Skup neprekidnih funkcija je gust u L_{p}(a, b).

Ponovimo

Definicija 2.12. Neka je μ pozitivna mera na σ-algebri 𝔐 na skupu X i neka je E ⊂ X merljiv skup i neka je f nenegativna merljiva funkcija na E. Lebeg-ov integral funkcije f na merljivom skupu E definisan je sa

∫_{E} fdm = sup ∫_{E} jdm,

gde se supremum uzima preko svih jednostavnih merljivih funkcija j za koje je 0 ≤ j(x) ≤ f(x) na E.

Dati analogne definicje zamenjujući Lebegovu meru m pozitivnom merom μ i dokazati odgovarajuće rezultate. Ako je μ pozitivna mera na σ-algebri 𝔐 na skupu X, analogno se definiše L_{p}(μ): ako je f kompleksna merljiva funkcija na skupu X, definišimo

||f||_{p} = (∫_{X} |f|^{p}dμ)^{\frac{1}{p}}

i neka se L_{p}(μ) sastoji od funkcija f za koje je

||f||_{p} < +∞.

? Za f, g ∈ L_{p}(μ) definiše se rastojanje d(f, g) = ||f − g||_{p}.

Teorema 2.15. Prostor L_{p}(a, b) je kompletan.

Teorema 2.18, koja sledi, uopštava ovaj rezultat: ako je μ pozitivna mera i 1 ≤ p < ∞, tada je prostor L_{p}(μ) kompletan.

Definicija 2.13. Realna funkcija φ definisana na intervalu (a, b), gde je −∞ ≤ a, b ≤ ∞, naziva se konveksna ako nejednakost

(2.41)  φ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)φ(x) + λφ(y)

važi za svako a < x, y < b, i svako 0 ≤ λ ≤ 1.

Kažemo da je prava L definisana sa L(s) = φ(t_{0}) + β(s − t_{0}) (a < s < b) prava oslonca za konveksnu funkciju φ u tački A = (t_{0}, φ(t_{0})) ako je φ(s) ≥ L(s) za a < s < b. Dakle prava oslonca L ”prolazi” kroz taču A i nema tačaka iznad grafika funkcije φ. Npr. za funkciju f(x) = |x|, svaka prava L(x) = kx, gde je |k| ≤ 1, je prava oslonca u tački A = (0, 0).

Teorema 2.16. (Jensen-ova nejednakost) Neka je μ pozitivna mera na σalgebri 𝔐 u jednom skupu Ω, tako da je μ(Ω) = 1. Ako je f realna funkcija u prostoru L_{1}(μ), a < f(x) < b za sve x ∈ Ω, i ako je φ konveksna na (a, b), tada je

(2.42)  φ(∫_{Ω} f dμ) ≤ ∫_{Ω}(φ ∘ f) dμ.

Neka je t_{0} = ∫_{Ω} f dμ. Iz pretpostavke a < f(x) < b za sve x ∈ Ω, sledi ∫_{Ω} a dμ < ∫_{Ω} f(x)dμ < ∫_{Ω} b dμ. Kako je μ(Ω) = 1, otuda nalzimo a < t_{0} < b. Kako je φ konveksna na (a, b), postoji prava oslonca u tački (t_{0}, φ(t_{0})). Ako sa β označimo koeficijent pravca te prave, tada je

(2.43)  φ(s) ≥ φ(t_{0}) + β(s − t_{0}) (a < s < b).

Ako zamenimo s = f(x) u prethodnu nejednakost

(2.44)  φ(f(x)) ≥ φ(t_{0}) + β(f(x) − t_{0}) (a < s < b).

i integralimo

(2.45)  ∫_{Ω} φ(f(x))dμ ≥ ∫_{Ω} φ(t_{0})dμ + β ∫_{Ω}(f(x) − t_{0}) dμ.

Kako je μ(Ω) = 1, dobijamo prvo ∫_{Ω} φ(t_{0})dμ = φ(t_{0}) μ(Ω) = φ(t_{0}), ∫_{Ω}(f(x) − t_{0}) dμ = ∫_{Ω} f(x)dμ − ∫_{Ω} t_{0} dμ = t_{0} − t_{0} = 0 i stoga (2.42).

Neka je φ(x) = e^{x}. Tada (2.42) postaje

(2.46)  exp(∫_{Ω} f dμ) ≤ ∫_{Ω} e^{f} dμ.

Ako je Ω konačan skup, koji se sastoji od tačaka p_{1}, ...p_{n} i ako μ{p_{k}} = α_{k} > 0, f(p_{k}) = x_{k}, y_{k} = e^{x_{k}}, gde je ∑ α_{k} = 1, dobija se

(2.47)  y_{1}^{α_{1}}y_{2}^{α_{2}} ⋯ y_{n}^{α_{n}} ≤ α_{1}y_{1} + α_{2}y_{2} + ... + α_{n}y_{n}.

Neka su p i q konjugovani eksponenti, 1 < p < ∞, i a, b ≥ 0. Tada je

(2.48)  ab ≤ p^{−1} a^{p} + q^{−1} b^{q}.

▷ Neka je a = e^{s/p} i b = e^{t/q}. Kako je 1/p + 1/q = 1, i kako je exp konveksna funkcija, dobija se

(2.49)  e^{s/p+t/q} ≤ p^{−1} e^{s} + q^{−1} e^{t}.

Videti Vežbu 2.4 za geometrijsku interpretaciju ove nejednakosti. Alternatvni dokaz: Podelom sa b^{q} i uvodjenjem smene x = a^{p}/b^{q}, kako je tada ab^{q−1} = x^{α}, gde je α = 1/p, nejednakost (2.54) se svodi na x^{α} ≤ 1 + α(x − 1) za x ≥ 0 i 0 < α < 1. Funkcija y = x^{α} konveksna je prema gore za x ≥ 0; ordinate njene tangente u x = 1 nisu manje od odgovarajućih ordinata funkcije.

Ponoviti Holder-ovu i Minkowski-evu nejednakost:

Teorema 2.17. (Holder-ova i Minkowski-eva nejednakost) Neka su p i q konjugovani eksponenti, 1 < p < ∞. Neka je (X, μ) prostor sa merom. Neka su f i g merljive funkcije na X sa vrednostima u [0, ∞]. Tada je

(2.50)  ∫_{X} fg dμ ≤ {∫_{X} f^{p} dμ}^{1/p}{∫_{X} g^{q} dμ}^{1/q}

(2.51)  {∫_{X}(f + g)^{p} dμ}^{1/p} ≤ {∫_{X} f^{p} dμ}^{1/p} + {∫_{X} g^{p} dμ}^{1/p}.

Nejednakost (2.50) naziva se Holder-ova; a (2.51) nejednakost Minkowski. Ako je p = q = 2, (2.50) je poznato kao Schwarz-ova nejednakost. ▷ Neka su A i B dva faktora na desnoj strani nejednakosti (2.50) i F = \frac{f}{A}, G = \frac{g}{B}. Ovo daje ∫_{X} F^{p} dμ = ∫_{X} G^{q} dμ = 1.

Integracija nejednakosti F (x)G(x) ≤ p^{−1}F (x)^{p} + q^{−1}G(x)^{q}, (x ∈ X), daje

∫_{X} F G dμ ≤ p^{−1} + q^{−1} = 1

Za dokaz nejednakosti (2.51), primeniti Holder-ovu nejednakost na proizvod f(f + g)^{p−1} i g(f + g)^{p−1}.

(2.52)  ∫_{X} f(f + g)^{p−1} dμ ≤ {∫_{X} f^{p} dμ}^{1/p} · {∫_{X}(f + g)^{(p−1)q} dμ}^{1/q}.

Neka je D = ∫_{X}(f + g)^{p} dμ i C = D^{1/p}. Kako je (p − 1)q = p,

(2.53)  ∫_{X} f(f + g)^{p−1} dμ ≤ A · D^{1/q}.

Neka je (2.53’) nejednakost (2.53) sa g umesto f. Sabiranjem (2.53) i (2.53’), sledi

D ≤ (A + B) · D^{1/q},

i otuda C ≤ A + B.

Vežba 2.4 (Jang-Helderova nejednakost, geometrijska interpretacija). Neka su p i q konjugovani eksponenti, 1 < p < ∞, i a, b ≥ 0. Tada je

(2.54)  ab ≤ p^{−1} a^{p} + q^{−1} b^{q}.

Neka je y = f(x) = x^{p−1} i x = g(y) = y^{q−1}. Kako je (p − 1)(q − 1) = 1, g = f^{−1} inverzna funkcija funkcije f i

∫_{0}^{a} f dx = \frac{a^{p}}{p} , ∫_{0}^{b} g dy = \frac{b^{q}}{q} ,

suma površina na sl. XX koje odgovaraju ovim integralima nije manja od površine ab pravougaonika XX. Za uobičajen dokaz videti [Ka-Ad ]: Neka je u(x) = αx − x^{α} + β, x ≥ 0, gde je 0 < α < 1 i β = 1 − α. Funkcija u ima strogi minimum x = 1, pa je x^{α} ≤ αx + β. Zameniti x = a/b ili x = A/B, gde je A = a^{p} i B = b^{q} u prethodnu nejednakost.

Teorema 2.18 (*). Neka je μ pozitivna mera i 1 ≤ p < ∞. Prostor L_{p}(μ) je kompletan.

Neka je {f_{n}} Cauchy-jev niz u L_{p}(μ). Tada postoji podniz {f_{n_{k}}} tako da je

(2.55)  ||f_{n_{k+1}} − f_{n_{k}}|| < 2^{−k}.

Definišimo

(2.56)  s_{n}^{+} = ∑_{k=1}^{n} |f_{n_{k+1}} − f_{n_{k}}|, S^{+} = ∑_{k=1}^{∞} |f_{n_{k+1}} − f_{n_{k}}|.

Iz (2.55), primenom nejednakosti Minkowsk-og, sledi ||s_{n}^{+}||_{p} ≤ 1. Otuda, primenom Fatou-ove leme na niz {(s_{n}^{+})^{p}}, nalazimo ||S^{+}||_{p} ≤ 1. Specijalno, S^{+}(x) < ∞ s.s., tako da red

(2.57)  f(x) = f_{n_{1}}(x) + ∑_{k=1}^{∞} (f_{n_{k+1}}(x) − f_{n_{k}}(x) )

konvergira za skoro svako x ∈ X. *Otuda, dokazati da f_{n_{k}}(x) konvergira s.s. ka f(x); i stoga, primenom Fatuove leme na integral

∫_{X} |f_{n_{k}} − f_{m}|^{p}dμ

pokazati da je f L_{p}- limit niza {f_{n}}. Slučaj L^{∞}(μ) je jednostavniji. Prethodni dokaz sadrži sledeći rezultat.

Teorema 2.19. Ako je 1 ≤ p ≤ ∞ i niz {f_{n}} konvergira ka f u L^{p}(μ) ( tj. konvergira u srednjem), tada {f_{n}} ima podniz koji konvergira s.s. ka f(x).

Teorema 2.20. Neka je A merljiv skup u R^{n}. Jednostavne funkcije (respektivno neprekidne) su guste u ??L^{p}(A, m) (opštije u L^{p}(μ)), 1 ≤ p < ∞.

Uputstvo: ? Pretpostavimo da je f ≥ 0. Postoji niz {s_{n}} kao u Bepo-Levi-jevom stavu (aproksimacija jednostavnim funkcijama). Kako je 0 ≤ s_{n} ≤ f i otuda |f − s_{n}|^{p} ≤ |f|^{p}, na osnovu teoreme o dominantnoj konvergenciji, sledi ∥f − s_{n}∥_{p} → 0 kada n → ∞. *Pokazati da se merljivi skupovi aproksimiraju elementarnim i otuda da se jednostavne funkcije aproksimiraju (u L^{p}-metrici, 1 ≤ p < ∞) jednostavnim funkcijama definisanim pomoću intervala. U realnoj analizi pokazuje se da se jednostavne funkcije definisane pomoću intervala dobro aproksimiraju neprekidnim funkcijama. Opšti slučaj (f kompleksna) sledi iz ovog.

?? *Pokazati da se merljivi skupovi aproksimiraju elementarnim i otuda da se jednostavne funkcije aproksimiraju (u L^{p}-metrici, 1 ≤ p < ∞) jednostavnim funkcijama definisanim pomoću intervala.

Neka su α_{ν} medjusobno različite vrednosti jednostavne merljive funkcije i neka je A_{ν} = {x : j(x) = α_{ν}}.

Pravolinijski se proverava

j(x) = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν}K_{A_{ν}} .

Neka je k ∈ N. Za svako ε > 0 postoje elementarni skupovi E_{ν} tako da je m^{∗}(E_{ν}ΔA_{ν}) ≤ ε/k.

Definišimo

I(x) = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν}K_{E_{ν}} ,

B_{ν} = E_{ν} ∪ A_{ν}, r_{ν} = α_{ν}(K_{E_{ν}} − K_{A_{ν}}) i r = I − j.

Jednostavno se proverava ∫_{B_{ν}} |r_{ν}|^{p}dm ≤ |α_{ν}|^{p}m^{∗}(E_{ν}ΔA_{ν}).

Da li teorema važi za L^{∞} ? ne

3. Hilbertovi prostori

3.1. Osnovne osobine Hilbertovih prostora.

Definicija 3.1. Kompleksan vektorski prostor H je prostor sa skalarnim proizvodom (ili unitarni prostor) ako je svakom uredjenom paru vektora x i y ∈ H pridružen kompleksan broj (x, y) (koristi se i oznaka < x, y >), koji nazivamo skalarni proizvod vektora x i y tako da važe sledeće osobine:

(a) (y, x) = \overline{(x, y)}.

(b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ako x, y i z ∈ H.

(c) (αx, y) = α(x, y) ako x i y ∈ H i α ∈ ℂ je kompleksan skalar.

(d) (x, x) ≥ 0 za sve x ∈ H.

(e) (x, x) = 0 ⇔ x = 0.

Sa (d) definišemo ||x||, normu vektora x kao nenegativni koren od (x, x). Dakle

||x||^{2} = (x, x).

Kompleksan vektorski prostor sa skalarnim proizvodom u ovom tekstu obično označavamo sa H a skalarni proizvod sa (x, y) ili sa < x, y >. Specijalno u kontekstu, gde (x, y) označava uredjen par, za skalarni proizvod koristi se oznaka < x, y >.

O osnovnim svojstvima vektorskih prostora sa skalarnim proizvodom videti npr. u [Ka-Ad ] [Zo],[Alj]. Primer 1. E^{n} = ℝ^{n}, ℂ^{n}, R_{2}([a, b], ℂ), C_{2}([a, b], ℝ). Skup ℂ^{n} n-torki ζ = (ζ_{1}, ⋯, ζ_{n}), gde su ζ_{1}, ⋯, ζ_{n} kompleksni brojevi, je Hilbertov prostor ako sabiranje i množenje skalarom definišemo po kordinatama, i skalrni proizvod definišemo

(ζ, η) = ∑_{j=1}^{n} ζ_{j} \overline{η_{j}}.

U vektorski prostor R_{2}([a, b], ℂ) lokalno integrabilnih funkcija na [a, b] koje imaju integrabilan kvadrat (u svojstvenom ili nesvojstvenom smislu), skalarni proizvod se definiše sa

(1)  (f, g) = ∫_{a}^{b} f \overline{g} dt.

Ako razmatramo realne funkcije, u odgovarajućem prostoru R_{2}([a, b], ℝ), relacija (1) se svodi na

(2)  (f, g) = ∫_{a}^{b} f g dt.

Specijalno je interesantan R_{2}([−π, π], ℂ). Sa C_{2}[a, b] označavamo potprostor R_{2}([a, b] ), koji se sastoji od neprekidnih funkcija na [a, b] sa skalarnim proizvodom

(f, g) = ∫_{a}^{b} f \overline{g} dt.

U daljem smatramo da je skalarni proizvod funkcija definisan u smislu jednakosti (1) i (2).

Vežba 3.1. Proveriti

(3.1)  ∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + 2 Re (x, y) + ∥y∥^{2},
(3.2)  ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2 (∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}) .

(3.1) nazivamo kosinusna teorema u Hilbertovim prostorima. (3.2) je poznato kao pravilo paralelograma: ako interpretiramo ||x|| kao dužinu vektora, (3.2) tvrdi suma kvadrata dijagonala parlelograma jednaka je sumi kvadrata stranica. Kako je (x, x+y) = (x, x)+(x, y) i (y, x+y) = (y, x)+(y, y), dobija se ? ||x+y||^{2} = (x + y, x + y) = (x, x + y) + (y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) i otuda, kako je na osnovu svojstvo (a) (iz definicije skalarnog proizvoda) (y, x) = \overline{(x, y)}, sledi (3.1). Primetimo da (3.1), mozemo pisati i u obliku

(3.3)  ∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} − 2 Re (x, y) + ∥y∥^{2} .

Sabiranjem ove verzije sa (3.1), dobija se (3.2).

Vežba 3.2. Dokazati

4(x, y) = ∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2} + i ∥x + i y∥^{2} − i ∥x − i y∥^{2} .

Vežba 3.3. Za proizvoljne vektore x = ∑_{1}^{n} α_{k} x_{k} i y = ∑_{1}^{n} β_{k} y_{k}, važi

(x, y) = ∑_{k,j=1}^{n} α_{k} \overline{β_{j}} (x_{k}, y_{j}).

Schwarz-ova nejednakost Za svako x i y ∈ H, važi

|(x, y)| ≤ ∥x∥ ∥y∥.

◁ Neka je ω = (x, y). Pretpostavimo da je ∥x∥ = ∥y∥ = 1. Tada je

A = A(ζ) = ∥x − ζy∥^{2} = 1 − 2 Re \overline{ζ} ω + |ζ|^{2}.

Za ζ = ω, dobija se A(ω) = 1 − |ω|^{2} ≥ 0 i otuda |ω| = |(x, y)| ≤ 1. Ako su x i y ∈ H proizvoljni vektori primeniti dokazanu nejednakost na vektore a = x/||x|| i b = y/||y||. alternativni postupak ▷. Neka je ζ = re^{iφ}, ω = |ω| e^{iα}. Tada je

∥x − re^{iφ}y∥^{2} = 1 − 2r Re \overline{e^{iφ}} ω + r^{2}.

? Nejednakost trougla. Za x ∈ H i y ∈ H,

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Na osnovu Schwarz nejednakosti,

∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + 2 Re (x, y) + ∥y∥^{2} ≤ ∥x∥^{2} + 2||x||||y|| + ∥y∥^{2} = (||x|| + ||y||)^{2}.

□

Ako je (x, y) = 0 kažemo x je ortogonalan na y, i ponekad pišemo x⊥y. Kako (x, y) = 0 povlači (y, x) = 0, relacija ⊥ je simetrična.

Lema 3.1. (Pitagor-ina teorema). Ako su vektori x i y ortogonalni i z = x + y, tada je

∥z∥^{2} = ∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}

▷ dokaz sledi iz

∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + 2 Re (x, y) + ∥y∥^{2}.

Neka x^{⊥} označava skup svih y ∈ H koji su ortogonalni na x; i ako je je M podskup H, neka je M^{⊥} skup svih y ∈ H koji su ortogonalni na svako x ∈ M. Proveriti

a) x^{⊥} je zatvoren

b) M^{⊥} je zatvoren

Furi-jeovi koeficijenti Skup vektora {e_{k}} naziva se ortonormiran ako je (e_{i}, e_{j}) = δ_{i,j}; Neka je {e_{k}} ortonormiran sistem vektora. Brojevi x̂_{k} = (x, e_{k}) nazivaju se Fourier-ovi koeficijenti vektora x u ortonormiranom sistemu {e_{k}}. Sa geometrijske tačke gledišta Furi-jeov koeficijent x̂_{k} vektora x je projekcija vektora na pravac jediničnog vektora e_{k}. U slučaju prostora E^{3} sa zadanim u njemu ortonormiranim reperom e_{1}, e_{2}, e_{3} Furi -jeovi koeficijenti x^{k} = x̂_{k} su koordinate x u bazisu e_{1}, e_{2}, e_{3} u razlaganju x = x^{1} e_{1} + x^{2}e_{2} + x^{3}e_{3}. Ako umesto tri vektora e_{1}, e_{2}, e_{3} razmatramo dva e_{1}, e_{2} to razlaganje x = x^{1} e_{1} + x^{2}e_{2} ne važi za sve x ∈ E^{3}. Koeficijenti Furi x^{k} = x̂_{k}, k = 1, 2, definisani su i u ovom slučaju i vektor x_{e} = P x = x^{1} e_{1} + x^{2}e_{2} je ortogonalna projekcija vektora x na ravan L vektora e_{1}, e_{2}. Medju svim vektorima ravni L vektor x_{e} je najbliži vektoru x u smislu da je ∥x − y∥ ≥ ∥x − x_{e}∥ za sve y ∈ L. Analogno svojstvo za koeficijente Furi važi i u opštem slučaju.

3.2. Projekcija na potprostor i dalja svojstva. *

3.2.1. Projekcija na potprostor. Kažemo da je skup E u vektorskom prostoru konveksan ako ima sledeće svojstvo: kadgod x ∈ E, y ∈ E i 0 < t < 1, tačka (1 − t)x + ty pripada E. Ako svaki Koši-jev niz konvergira u H kažemo da je H Hilbert-ov prostor. Dakle Hilbert-ov prostor je kompletan.

Teorema 3.1. Svaki neprazan, zatvoren, konveksan skup E u Hilbertovom prostoru sadrži jedinstven element najmanje norme.

Drugim rečima, postoji jedno i samo jedno x_{0} ∈ E tako da je ∥x_{0}∥ ≤ ∥x∥ za svako x ∈ E. ▷ Na osnovu relacije paralelograma , za svako x, y ∈ H,

∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2 (∥x∥^{2} + ∥y∥^{2})

i otuda

(1)  ∥\frac{x + y}{2} ∥^{2} + \frac{1}{4} ∥x − y∥^{2} = \frac{1}{2} (∥x∥^{2} + ∥y∥^{2})

Neka je δ = inf {∥x∥ : x ∈ E}. Specijalno ako x, y ∈ E, s obzirom da je E konveksan, \frac{x+y}{2} ∈ E, i na osnovu (1) i definicije δ, sledi

δ^{2} + \frac{1}{4} ∥x − y∥^{2} ≤ \frac{1}{2} (∥x∥^{2} + ∥y∥^{2})

i otuda

(2)  ∥x − y∥^{2} ≤ 2 ∥x∥^{2} + 2 ∥y∥^{2} − 4 δ^{2}.

Ako je ∥x∥ = ∥y∥ = δ iz (2) sledi x = y; što dokazuje jedinstvenost elementa najmanje norme. Iz definicije δ sledi da postoji {x_{n}} u E tako da ∥x_{n}∥ → δ kada n → ∞. Primenom nejednakosti (2) za x = x_{n} i y = x_{m} pokazuje se da je niz {x_{n}} Košijev i otuda konvergira ka x_{0} ∈ H. Kako x_{n} ∈ E i E je zatvoren, x_{0} ∈ E. Kako je norma neprekidna funkcija na H, sledi

∥x_{0}∥ = lim_{n→∞} ∥x_{n}∥ = δ.

□

U konačno dimenzionom Hilbertovom prostoru važi sledeća verzija prethodne teoreme (bez pretpostavke da je skup E konveksan).

Vežba 3.4. Svaki neprazan, zatvoren skup E u konačno dimenzionom Hilbertovom prostoru sadrži element najmanje norme (nije jedinstven u opštem slučaju).

Da element najmanje norme nije jedinstven u opštem slučaju pokazuje primer: sfera S = {||x|| = 1} u prostoru ℝ^{m}. Sledeći primer pokazuje da u svakom beskonačno dimenzionom Hilbertovom prostoru, postoje zatvoreni skupovi koji ne sadrži element najmanje norme.

Primer 3.1. Neka je (e_{k})_{k=1}^{∞} prebrojiv orto-normiran sistem vektora u Hilbertovom prostoru H, λ_{k} = 1 + \frac{1}{k} i E = \{λ_{1}e_{1}, λ_{2}e_{2}, ..., λ_{n}e_{n}, ...\}. Proveriti da je E zatvoren skup, ali da nema element najmanje norme. Konkretno neka je H = L^{2}(T) i e_{k} = e^{ikt}.

Skup A je gust (svuda gust) u B ako je B ⊂ \overline{A}.

Primer 3.2. Skup polinoma P je potprostor prostora C_{2}[a, b]. Na osnovu Vajerštrasovog stava skup polinoma P je je gust u prostoru neprekidnih funkcija C[a, b] (sa max normom). Kako je ||f||_{2} ≤ max |f|, skup polinoma P nije zatvoren u C_{2}[a, b].

Za dalje rezulte u vezi ovog primera videti, u daljem tekstu, Teorema 4.1: Jednostavne funkcije (respektivno neprekidne) su guste u L^{p}, 1 ≤ p < ∞. Ovde napomenimo samo da je konačni dimenzioni potprostor nekog prostora uvek zatvoren; tako da se pretpostavka da je potpotprostor zatvoren u teoremi koja sledi, suštinski odnosi na beskonačno dimenzioni slučaj.

Teorema 3.2. * Neka je M zatvoren potprostor Hilbert-ovog prostora H. Tada postoji jedinstven par preslikavanja P i Q tako da P preslikava H u M, Q preslikava H u M^{⊥}, i

(1)  x = P x + Qx

za sve x ∈ H. Ova preslikavanja imaju sledeća svojstva :

(2) ako x ∈ M, tada P x = x, Qx = 0; ako x ∈ M^{⊥}, tada P x = 0, Qx = x

(3)  ∥x − P x∥^{2} = inf{∥x − y∥ : y ∈ M}

ako je x ∈ H.

(4)  ∥x∥^{2} = ∥P x∥^{2} + ∥Qx∥^{2}

(5)  P i Q su linearna preslikavanja.

Posledica 3.1. Neka je M zatvoren potprostor Hilbert-ovog prostora H. Tada postoji vektor z ∈ H, z ≠ 0, tako da je z ⊥ M.

Posle kratkog razmatranja dajemo skicu dokaza ove teoreme (za kompletan dokaz Teoreme 3.2 v. Rudin [Ru]). U ovom tekstu razmatramo separabilne vektorske prostore (sa skalarnim proizvodom), tj. prostore koji imaju najviše prebrojiv gust skup vektora (što je dovoljno za primene). Pomoću Lema 3.1-3.6 sistematski razvijamo geometrijski pristup. Teorema 3.5- [ Projekcija na prebrojiv ortonorminan sistem] (v. takodje Lema 3.3 (ekstremalno svojstvo) Lema 3.6 zamenjuje Teoremu 3.2; a Posledica 3.3 Teoremu 3.1. Projekcija na vektor Iz pedagoških razloga, razmotrimo prvo specijalne slučajeve Teorema 3.1 i 3.2 (odnosno Leme 3.6). Neka su x, a ∈ H. Odredimo skalar λ tako da je x − λ a ortogonalan na vektor a. Dobijamo :

(x − λ a, a) = (x, a) − λ(a, a) = (x, a) − λ||a||^{2} = 0 i otuda λ = λ_{0} = \frac{(x, a)}{∥a∥^{2}} ;

definišimo P x = P_{a}x = λ_{0}a i neka je Qx = x − P x. Kako je Qx = x − P x ortogonalno na a, na osnovu Pitagorine teoreme,

∥x∥^{2} = ∥P x∥^{2} + ∥Qx∥^{2}.

Otuda je

(1) ∥P x∥ ≤ ∥x∥.

Vežba 3.5. (geometrijski dokaz Schwarz-ove nejednakosti)

(a) Proveriti da

||P x|| = ||P_{y}x|| = \frac{|(x, y)|}{||y||}.

(b) Proveriti da iz (1) i (a) sledi Schwarz -ova nejednakost.

? Iz (1) i (a), sledi \frac{|(x, y)|}{||y||} ≤ ||x|| i otuda Schwarz -ova nejednakost: |(x, y)| ≤

||x||||y||.

Skicirajmo,sada, dokaz Teoreme 3.2.

Skica dokaza Teoreme 3.2

▷ Za svako x ∈ H, skup x + M = {x + y : y ∈ M} je zatvoren i konveksan; definišimo z = Qx kao element najmanje norme u x + M. Neka je P_{1}z = P_{y}z i h = z − P_{1}z. Kako h = z − P_{1}z = (x − P x − P_{y}z) ∈ x + M, s obzirom na definiciju z, ∥z∥ ≤ ∥h∥ i Pitagor-inu teoremu ∥z∥^{2} = ∥P_{y}z∥^{2} + ∥h∥^{2}, sledi P_{y}z = 0. ♢

Primer 3.3. Neka je M zatvoren potprostor Hilbert-ovog prostora H. Tada je M^{⊥} potprostor i M = M^{⊥^{⊥}}.

?? Up. Neka x ∈ M^{⊥^{⊥}}. Na osnovu, Teoreme o Projekciji, x = P x + Qx, gde P x ∈ M i Qx ∈ M^{⊥}. Otuda < x, Qx >= 0 i stoga < Qx, Qx >= 0, tj. Qx = 0. Dakle x ∈ M.

Ako je H = L^{2}(0, 1) i M = P skup polinoma. Tada je P gust u H = L^{2}(0, 1). Da li je P^{⊥} = {0} ?

3.2.2. Linearna funkcionela na Hilbertovom prostoru. * Linearna funkcionela je linearni operator sa vrednostima u ℝ ili ℂ. Linearna funkcionela Λ definisana na normiranom vektorskom prostoru V je ograničena ako postoji nenegativna konstanta M tako da je |Λ(x)| ≤ M||x|| za svako x ∈ V. Dokazati da je linearna funkcionela ograničena na v.p. V ako i samo ako je neprekidna V.

Vežba 3.6. Dokazati da je svaka linearna funkcionela na konačno dimenzionom normiranom vektorskom prostoru ograničena.

Primer 3.4. Vektorski prostor C_{2}[−1, 1] neprekidnih funkcija na [−1, 1] sa skalarnim proizvodom

(f, g) = ∫_{−1}^{1} f \overline{g} dt

jeste prostor sa skalarnim proizvodom (ili unitarni prostor); ali nije Hilbert-ov prostor. Linearna funkcionela Λ definisana na C_{2}[−1, 1], sa Λ(f) = f(0), nije ograničena.

Vežba 3.7. Opisati linearne funkcionele na ℝ^{3}.

Neka je Λ linearna funkcionela na ℝ^{3} i a_{k} = Λ(e_{k}). Tada je Λ(x) = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} i otuda Λ(x) = (x, n), gde je n = (a_{1}, a_{2}, a_{3}). Definišimo ravan M = {x : a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = 0}; tada je n ortogonalno na M. Ovo razmatranje daje motivaciju za dokaz sledeće teoreme.

Teorema 3.3 (Reprezentacija linearne funkc. na Hilbert-ovom prost). Ako je Λ ograničena linearna funkcionela na Hilbert-ovom prostoru H, tada postoji jedinstven y ∈ H tako da

(1)  Λx = (x, y) (x ∈ H).

▷ Ako je Λx = 0 za sve x, stavimo y = 0. Neka je M = {x : Λx = 0}. Na osnovu linearnosti Λ, sledi M je potprostor, a koristeći neprekidnost Λ pokazuje se da je M zatvoren. Otuda, na osnovu Posledice 1, postoji z_{0} ∈ M^{⊥}, ∥z_{0}∥ = 1. Za x ∈ H odredimo α = α_{x} tako da (x − αz_{0}) ∈ M; Λ(x − αz_{0}) = 0 Λx = αΛz_{0}; α = \frac{Λx}{Λz_{0}} . Otuda, kako je z_{0} ⊥ M, dobija se (x − αz_{0}, z_{0}) = 0, tj. (x, z_{0}) = α = α_{x}. Kako je Λx = αΛz_{0} = Λz_{0} (x, z_{0}), sledi da (1) važi za y = \overline{Λz_{0}} z_{0}. Jedinost se jednostavno dokazuje.

3.2.3. Ekstremalno svojstvo i Beselova nejednakost. Skup vektora e_{k} naziva se ortonormiran ako je (e_{i}, e_{j}) = δ_{i,j}. Definišimo Fourier koeficijent vektora x sa x̂_{k} = (x, e_{k}). Podvucimo da pretpostavka:

Neka je skup vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} ortonormiran u H u opštem slučaju ne znači da je skup vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} kompletan u H.

Lema 3.2. Neka je skup vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} ortonormiran u H, x ∈ H i x_{e} = ∑_{1}^{n} x̂_{k} e_{k}. Tada je

a) vektor h = x − x_{e} ortogonalan na ravni vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}.

b) ∥x_{e}∥ ≤ ∥x∥.

?? b) je Beselova nejednakost i ima geometrijsku interpretaciju ”dužina katete nije veća od dužine hipotenuze”.

◁ Dovoljno je dokazati da je (h, e_{j}) = 0 za proizvoljni vektor e_{j} datog sistema. Na osnovu definicije skalarnog proizvoda, sledi (h, e_{j}) = (x − x_{e}, e_{j}) = (x, e_{j}) − (x_{e}, e_{j}) = x̂_{j} − (x_{e}, e_{j}) i (x_{e}, e_{j}) = ∑_{k=1}^{n} x̂_{k} (e_{k}, e_{j}) = x̂_{j} i otuda (h, e_{j}) = 0. Kako je h = x−x_{e} ortogonalan na x_{e}, na osnovu Pitagorine teoreme, sledi ∥x∥^{2} = ∥x − x_{e}∥^{2} + ∥x_{e}∥^{2} i otuda ∥x_{e}∥ ≤ ∥x∥.

Lema 3.3. (ekstremalno svojstvo) Neka je skup vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} ortonormiran u H. Za proizvoljan vektor y = ∑_{1}^{n} α_{k} e_{k}, tada je

(3.4)  ∥x − ∑_{1}^{n} x̂_{k} e_{k}∥ ≤ ∥x − y∥.

Dakle, ako je M podprostor razapet nad vektorima e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, nejednakost (3.4) važi za svako y ∈ M. ◁ Kako je x − y = (x_{e} − y) + h, gde je h ortogonalan na vektor x_{e} − y, koji pripada ravni vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, na osnovu Pitagorine teoreme,

∥x − y∥^{2} = ∥x_{e} − y∥^{2} + ∥h∥^{2} = ∥x_{e} − y∥^{2} + ∥x − x_{e}∥^{2} ≥ ∥x − x_{e}∥^{2}.
□

Lema 3.4. a) ako su vektori x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} uzajamno ortogonalni i x = x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}, tada je

∥x∥^{2} = ∥x_{1}∥^{2} + ∥x_{2}∥^{2} + ... + ∥x_{n}∥^{2} .

b)ako je sistem vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} ortonormiran i x = ∑_{1}^{n} α_{k} e_{k}, tada je

∥x∥^{2} = |α_{1}|^{2} + |α_{2}|^{2} + ... + |α_{n}|^{2} .

c) ako je sistem vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} ortonormiran, tada je

∥x − ∑_{1}^{n} x̂_{k} e_{k}∥^{2} = ∥x∥^{2} − ∑_{1}^{n} |x̂_{k}|^{2} .

◁ Prvo tvrdjenje uopštava Pitagor -inu teoremu i sledi iz V 3.

Drugo tvrdjenje sledi iz Vežbe 3.3, ili iz prvog jer je ∥α_{k} e_{k}∥^{2} = (α_{k} e_{k}, α_{k} e_{k}) = α_{k} \overline{α_{k}}(e_{k}, e_{k}) = |α_{k}|^{2} Kao u dokazu Leme 2 dobija se ∥x∥^{2} = ∥x − x_{e}∥^{2} + ∥x_{e}∥^{2}. Otuda, kako je, na osnovu b) (drugo tvrdjenje), ∥x_{e}∥^{2} = ∑_{1}^{n} |x̂_{k}|^{2}, sledi c).

Iz c) sledi Besel-ova nejednakost.

Besel-ova nejednakost Neka je skup vektora e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} ortonormiran u H. Tada, za svaki x ∈ H,

(3.5)  ∑_{1}^{n} |x̂_{k}|^{2} ≤ ∥x∥^{2}.

Neka je e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, ...- konačan ili prebrojiv ortonormiran sistem u H. Tada, za svaki x ∈ H,

∑_{1}^{∞} |x̂_{k}|^{2} ≤ ∥x∥^{2}.

Ova nejednakost se dobija na osnovu 3.5 kada n → ∞.

Vežba 3.8. Izvesti formulu za rastojanje tačke od ravni u euklidskom prostoru E^{n}.

▷ Neka je data tačka X_{0}; i neka je jednačina hiper-ravni L data sa (X, n_{0}) = s, gde je n_{0} jedinčni vektor normale. Odrediti presek prave X = X_{0} + t n_{0}, t ∈ ℝ sa ravni L : (X, n_{0}) = (X_{0}, n_{0}) + t (n_{0}, n_{0}) = s. Otuda je t = t_{0} = s − (X_{0}, n_{0}). Dakle, rastojanje tačke X_{0} od ravni L je : |t_{0}| = |s − (X_{0}, n_{0})|. alt Tačka s n_{0} pripada ravni L. λ = (X_{0}, n_{0}) je projekcija vektora X_{0} na vektor n_{0}. Dakle, rastojanje tačke X_{0} od ravni L je : d = |sn_{0} − (X_{0}, n_{0})n_{0}| = |(s − λ) n_{0}| = |t_{0}|.

Vežba 3.9. Neka data tačka A i glatka površ S u ℝ.

a) Ako postoji tačka B na površi S najbliža tački A. Dokazati da je AB ortogonalna na S.

b) Ako je površ S kompaktna, dokazati da postoji tačka B na površ S najbliža tački A.

U praksi često se pojavljuju ortogonalni sistemi, koji nisu ortonormirani, ℓ_{1}, ℓ_{2}, ..., ℓ_{n}. Brojevi \frac{(x,ℓ_{k})}{(ℓ_{k},ℓ_{k})} nazivaju se Fourier koeficijenti vektora x u odnosu na sistem ℓ_{1}, ℓ_{2}, ..., ℓ_{n}.

Primer 3.5. U R_{2}([−π, π], ℂ) razmotriti sistem { e^{i kx}; k ∈ ℤ}

Fourier koeficijenti funkcije f u odnosu na { e^{i kx} } izražava se formulom

c_{k} = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(x) e^{i kx} dx.

Iz Besel -ove nejednakosti, dobija se

∑_{−n}^{n} |c_{k}|^{2} ≤ \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} |f|^{2}(x) dx.

3.3. Kompletni sistemi.

Lema 3.5. Lema 5 (o neprekidnosti skalarnog proizvoda)

a) (x, y) → < x, y > (preslikavanje koje uredjen par (x, y) preslikava u skalarni proizvod < x, y >) je neprekidno

b) ako je x = ∑_{1}^{∞} x_{k}, to je < x, y >= ∑_{1}^{∞} < x_{k}, y >

c) ako je e_{1}, e_{2}, ...- ortonormiran sistem u H i x = ∑_{1}^{∞} x^{k}e_{k}, y = ∑_{1}^{∞} y^{k}e_{k}, to je < x, y >= ∑_{1}^{∞} x^{k}\overline{y^{k}}

▷ a) Kako je < x, y > − < x_{0}, y_{0} >=< x − x_{0}, y > + < x_{0}, y − y_{0} >, na osnovu Schwarz-ove nejednakosti, sledi

| < x, y > − < x_{0}, y_{0} > | ≤ ∥x − x_{0}∥ ∥y∥ + ∥x_{0}∥ ∥y − y_{0}∥.

alternativni postupak: a) sledi iz Schwarz-ove nejednakost

|(x − x_{0}, y − y_{0})| ≤ ∥x − x_{0}∥ ∥y − y_{0}∥.

b) Kako je < x, y > = ∑_{1}^{n} < x_{k}, y > + < ∑_{n}^{∞} x_{k}, y >, a suma ∑_{n}^{∞} x_{k} → 0 kada n → ∞, iz a) sledi b).

c) sledi uzastopnom primenom b) s obzirom na < x, y >= \overline{< y, x >}. □ Kompletni sistemi Skup vektora {x_{α}} je kompletan u odnosu na skup E ⊂ H ako se svaki vektor x ∈ E može proizvoljno dobro aproksimirati konačnom linearnom kombinacijom elemenata datog sistema.

Primer 3.6. Ako je H = E^{3}, a e_{1}, e_{2}, e_{3} - baza u E^{3}, to je sistem {e_{1}, e_{2}, e_{3}} kompletan u H, a sistem {e_{1}, e_{2}} nije kompletan u H.

Na osnovu Vajerštras -ove teoreme 1, sledi

Primer 3.7. Niz funkcija 1, x, x^{2}, ... je kompletan u C_{2}[a, b].

Primer 3.8. Neka je T_{n}(x) = ∑_{1}^{n}(a_{k}coskx + b_{k}sinkx)

a) ∥1 − T_{n}∥ ≥ \sqrt{2 π}

b) sistem { coskx, sinkx; k ∈ ℕ} nije kompletan u R_{2}([−π, π], ℂ)

Teorema 3.4 (kompletnost ortonormiranog sistema). Neka je e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, ...- konačan ili prebrojiv ortonormiran sistem u H. Tada su sledeći uslovi ekvivalentni :

a) sistem {e_{k}} je kompletan u odnosu na skup E

b) za svako x ∈ E važi razlaganje (Fourier red )

x = ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k}

c) za svako x ∈ E važi Parsevalova formula

∥x∥^{2} = ∑_{1}^{∞} |x̂_{k}|^{2}

▷ a) ⇒ b) Ako važi a) za dato x ∈ E i ε > 0 postoji y = ∑_{1}^{n} α_{k} e_{k} tako da je ∥x−y∥ < ε, gde su e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} ortonormirani vektori u E. Na osnovu ekstremalnog svojstva Fourier-ovih koeficijenata (Lema 3),

∥x − ∑_{1}^{n} x̂_{k} e_{k}∥ ≤ ∥x − y∥ < ε,

što znači da red ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k} konvergira i ima sumu x.

b) ⇒ c) Sledi iz Leme 5 c).

c) ⇒ a) Kako je,

∥x − ∑_{1}^{n} x̂_{k} e_{k}∥^{2} = ∥x∥^{2} − ∑_{1}^{n} |x̂_{k}|^{2} → 0,

kada n → ∞, iz c) sledi a). Podvucimo da se, u Teoremi 3.4, ne pretpostavlja da je H Hilbert-ov prostor.

Sistem linearno nezavisnih vektora x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}, ... linearnog normiranog prostora X naziva se bazis prostora X ako se svaki vektor x ∈ X može predstaviti u obliku x = ∑_{1}^{∞} α_{k} x_{k}, gde su α_{k} - koeficijenti iz polja skalara prostora X.

Primer 6. a) C_{2}[a, b] nije kompletan

b) Niz funkcija 1, x, x^{2}, ... je kompletan u C_{2}[a, b] (videti Primer 4) ali nije njegov bazis.

c) Sistem 1, x, x^{2}, ... nije ortogonalan i ne važi razlaganje iz Teoreme 4 b).

Lema 3.6 (Lema o projekcija na prebrojiv ortonormiran sistem ). Neka je e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, ...- konačan ili prebrojiv ortonormiran sistem u Hilbert-ovom prostoru H. Tada

a) Za svako x ∈ H, red Furi vektora x ∼ ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k} konvergira ka nekom vektoru x_{e} = P x ∈ H

b) Za svako x ∈ H x = x_{e} + h, gde je h ortogonalan na linearni omotač vektora sistema.

◁ a) Za red Furi x ∼ ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k} ispunjeni su uslovi Koši-jevog kriterijuma : Kako je

∥ ∑_{m}^{n} x̂_{k} e_{k}∥^{2} = ∑_{m}^{n} |x̂_{k}|^{2},

a na osnovu Besel-ove nejednakosti, red

∥x∥^{2} = ∑_{1}^{∞} |x̂_{k}|^{2}

konvergira. Otuda, s obzirom da je H kompletan, sledi da red ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k} konvergira. Na osnovu osobina skalarnog proizvoda ( Lema 3.5 b)), za proizvoljni vektor e_{k} datog sistema dobija se (h, e_{k}) = (x, e_{k}) − (x_{e}, e_{k}) = x̂_{k} − x̂_{k} = 0. □ Iz dokaza dela a) Leme 3.6, sledi :

Posledica 3.2. Neka je e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, ...- konačan ili prebrojiv ortonormiran sistem u H. Za svako x ∈ H, niz parcijalnih suma ∑_{1}^{n} x̂_{k} e_{k} je Koši-jev niz .

Teorema 3.5 (Projekcija prebrojiv ortonormiran sistem). Neka je e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, ...- konačan ili prebrojiv ortonormiran sistem u Hilbert-ovom prostoru H i M = \overline{L}, gde je L({e_{k}}) potprostor razapet nad e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}, .... Tada, za svako x ∈ H,

a) red Furi vektora x ∼ ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k} konvergira ka nekom vektoru x_{e} = P x ∈ M

b) x = x_{e} + h, gde je h ortogonalan na M = \overline{L} i specijalno na linearni omotač vektora sistema.

c) vektor x_{e} = P x = ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k} je najbliži vektor u M, vektoru x.

◁ a) Kako s_{n} = ∑_{1}^{n} x̂_{k} e_{k} ∈ L i s_{n}, na osnovu Leme 6 a), konvergira ka nekom elementu x_{e}, sledi da x_{e} ∈ M.

b) Neka y ∈ M; jasno je da postoji niz y_{n} ∈ L tako da y_{n} → y. Kako je h ⊥ y_{n}, a na osnovu Leme 5 (h, y_{n}) → (h, y), sledi (h, y) = 0, tj. h ⊥ M.

c) Neka je ponovo y ∈ M proizvoljan vektor. Kako je x − x_{e} = (x − y) + (y − x_{e}) i, s obzirom na b, (x − x_{e})⊥(y − x_{e}), na osnovu Pitagorine teoreme,

(1)  ∥x − x_{e}∥ ≤ ∥x − y∥.

Posledica 3.3 (najmanja norma-prebojiv sistem ). Neka su ispunjeni uslovi Posledice 3.2 i neka je M_{x} = M + x. Tada u M_{x} postoji vektor h = Qx = x − P x najmanje norme.

◁ Kako je M potprostor, iz nejednakosti (1), sledi ∥x − x_{e}∥ ≤ ∥x + y∥ za svako y ∈ M. Teorema 5 i Posledica 2 su dovoljna zamena za Teoreme 1 i 2.

Primer 3.9. [R_{2} nije kompletan; L_{2} je kompletan.] Proveriti

a) vektorski prostor C_{2}[a, b] neprekidnih funkcija na [a, b] sa skalarnim proizvodom

(f, g) = ∫_{a}^{b} f \overline{g} dt

nije Hilbert-ov prostor.

b) C_{2}[a, b] nije zatvoren potprostor u R_{2}[a, b].

c) vektorski prostor C[a, b] neprekidnih funkcija na [a, b] je kompletan u odnosu na max normu.

d) R_{2}[a, b] nije kompletan.

e) L_{2}[a, b] je kompletan.

▷ a)Primer : f_{n}(x) = −1, za − 1 ≤ x ≤ −\frac{1}{n} , f_{n}(x) = n x, za − \frac{1}{n} < x < \frac{1}{n} i f_{n}(x) = 1, za \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1 ; pokazuje da C_{2}[a, b] nije Hilbert-ov prostor.

d) Neka je 0 < s < \frac{1}{3} i neka je G_{1} = (\frac{1}{2} − \frac{s}{2}, \frac{1}{2} + \frac{s}{2}) interval dužine s, tj. srednji deo segmenta I = [0, 1] i F_{1} = [0, 1]\G_{1}. Skup F_{1} sastoji se od dva segmenta;iz svakog od njih odstranimo srednji deo dužine s \frac{1}{3} i tako dobijeni skup označimo sa F_{1}. Itd. u n-tom koraku odstranimo 2^{n−1} intervala dužine s \frac{1}{3^{n−1}} i neka je G_{n} skup tačaka odstranjenih posle prvih n koraka i F_{n} skup preostalih tačaka, tj. F_{n} = [0, 1] \ G_{n}. Skup 𝕂 = 𝕂_{s} = ⋂_{1}^{∞} F_{k} naziva se Kantor-ov skup . Kako je dužina odstranjenih intervala jednaka

s + s \frac{2}{3} + s \frac{4}{3^{2}} + ⋯ + s (\frac{2}{3})^{n} + ⋯ = 3 s

i 0 < s < \frac{1}{3}, to Kantor-ov skup 𝕂 = 𝕂_{s} ima pozitivne mere 1 − 3 s > 0. Neka je f_{n} karakteristična funkcija skupa F_{n}; niz f_{n} je Koši-jev niz u R_{2}[a, b]. Pretpostavimo da f_{n} konvergira nekom f ∈ R_{2}[0, 1]. Tada je f s.s. jednako karakterističnoj funkciji skupa 𝕂 i otuda f je prekidna s.s. na 𝕂; tako da, na osnovu Lebeg-ovog kriterijuma , sledi f ∉ R_{2}[0, 1]. Dakle , R_{2}[a, b] nije kompletan. ♢

Primer 3.10. U C_{2}[−π, π] i R_{2}([−π, π], ℂ) razmotriti sistem { e_{k}(x) = e^{i k x}; k ∈ ℤ}.

Ako f ∈ R_{2} \ C_{2} tada u C_{2} ne postoji najbliža funkcija funkciji f. Napomena Ovaj primer pokazuje da je pretpostavka da je prostor Hilbert -ov bitna u Lemi 3.6 i Teoremi 3.5 ???; ako je f ∈ R_{2}([−π, π]) prekidna funkcija, tada red Furi vektora f ∼ ∑_{1}^{∞} f̂_{k} e_{k} konvergira u R_{2}([−π, π]), ali ne konvergira u C_{2}[−π, π].

Propozicija 3.1. Neka je {x_{k}} sistem linearno nezavisnih vektora u H. Da bi sistem {x_{k}} bio kompletan u H :

a) neophodno je, da u H ne postoji različit od nule vektor h ortogonalan na svim vektorima sistema {x_{k}} b)u slučaju da je H Hilbertov prostor , dovoljno je, da u H ne postoji različit od nule vektor h ortogonalan na svim vektorima sistema {x_{k}}

◁ a) Ako je vektor h ≠ 0 ortogonalan na vektorima sistema {x_{k}}, tada je za proizvoljnu linearnu kombinaciju y = ∑_{1}^{n} α_{k} x_{k}, na osnovu Pitagorine teoreme,

∥h − y∥^{2} = ∥h∥^{2} + ∥y∥^{2} ≥ ∥h∥^{2} > 0

i, znači, vektoru h ne može se približiti više od veličine ∥h∥ > 0 linearnom kombinacijom vektora sistema.

b) ortogonalizacijom sistema {x_{k}} dobija se ortonormiran sistem {e_{k}} Neka je x ∈ H. S obzirom na b) Lema 7, razvijajući vektor x u Furi red po sistemu {e_{k}}, dobija se x = x_{e}+h gde je x = ∑_{1}^{∞} x̂_{k} e_{k} , a vektor h ortogonalan na L{e_{k}}. Iz L{e_{k}} = L{x_{k}}, sledi h = 0.

Vežba 3.10. Da li b) Propozicija 3.1 važi za pred-Hilbert-ove prostore ?

▷ Svaki pred-Hilbert-ov prostor se može ” kompletirati”. Npr. ” kompletiranjem ” prostora C_{2}[a, b], R_{2}[a, b] dobija se L_{2}[a, b].♢

4. Trigonometrijski redovi i Integral Furi*

4.1. Trigonometrijski redovi. U ovoj pod-sekciji razmatramo prirodna proširenja rezultata sa ℝ na ℂ. U realnoj analizi razmatraju se Fourier-ovi koeficijenti u odnosu na trigonometrijski sistem . Analogno, možemo definisati Fourier-ove koeficijente u odnosu na sistem { e_{k}(x) = e^{i kx} }. Fourier-ovi koeficijenti funkcije f ∈ R([−π, π] ) u odnosu na sistem { e_{k}(x) = e^{i kx}; k ∈ ℤ} izražavaju se formulom

(1)  c_{k} = f̂_{k} = (f, e_{k}) = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(x) e^{−i kx} dx.

Fourier-ov red funkcije f je

(2)  ∑_{−∞}^{∞} f̂(k) e^{i kx},

i njegove parcijalne sume su

(3)  S_{n}(x) = ∑_{−n}^{n} f̂(k) e^{i kx} (n = 0, 1, 2, ...).

Definišimo Dirihle-ovo jezgro, preciznije, n -to Dirihle-ovo jezgro D_{n} :

D_{n}(t) = ∑_{−n}^{n} e^{i kt} = \frac{sin(n + \frac{1}{2})t}{sin\frac{1}{2}t}.

Jednostavno se proverava (u kursevima analize) da je

S_{n}(x) = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(t) D_{n}(x − t) dt.

Ponovimo da sa T označavamo jeiničnu kružnicu T = {z ∈ ℂ : |z| = 1}. Ako je F funkcija definisana na T i f definisana na ℝ sa

(4)  f(t) = F (e^{i t}),

tada je f periodična funkcija sa periodom 2 π. Ovo znači da je f(t) = f(t + 2 π). Suprotno, ako je f periodična funkcija sa periodom 2 π, tada postoji F tako da važi (4). Dakle, možemo identifikovati funkcije na T sa 2 π -periodičnim funkcijama na ℝ; i, ponekad,da uprostimo notaciju, pišemo f(t) umesto f(e^{i t}), čak ako je f definisana na T. L^{p}(T) je klasa kompleksnih, Lebeg merljivih, 2 π - periodičnih funkcija na ℝ

∥f∥_{p} = \{\frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} |f(t)|^{p} dt\}^{\frac{1}{p}} .

Umesto L^{p}(T), ponekad, pišemo i kratko L^{p}. Ponovimo, za f ∈ L^{1}(T), Fourier-ovi koeficijenti funkcije f u odnosu na { e^{i kx}, k ∈ ℤ} definišu se formulama

(1)  c_{k} = f̂(k) = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(x) e^{−i kx} dx ( k ∈ ℤ).

Iz Besel -ove nejednakosti dobija se : ako f ∈ L^{2}(T) , tada

∑_{−n}^{n} |c_{k}|^{2} ≤ \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} |f|^{2}(x) dx.

Trigonometrijski polinom je konačna suma oblika

T_{n}(x) = a_{0} + ∑_{1}^{n}(a_{k}coskx + b_{k}sinkx).

Na osnovu Ojler-ove formule, može se pokazati da je

T_{n}(x) = ∑_{−n}^{n} c_{k} e^{i kx}

Definišimo

e_{k}(t) = e^{i kt}.

Skalarni proizvod u L^{2}(T) se definiše sa :

(f, g) = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(t) \overline{g(t)} dt.

Proveriti da { e_{k}; k ∈ ℤ} ortonormiran skup u L^{2}(T); obično se naziva trigonometrijski sistem . Kompletnost trigonometrijskog sistema * Skup A je gust (svuda gust) u B ako je B ⊂ \overline{A}.

Teorema 4.1. Jednostavne funkcije (respektivno neprekidne) na T su guste u L^{p}, 1 ≤ p < ∞.

Uputstvo: Videti Teoremu 2.20. Pretpostavimo da je f ≥ 0. Postoji niz {s_{n}} kao u Bepo-Levi-jevom stavu (aproksimacija jednostavnim funkcijama). Kako je 0 ≤ s_{n} ≤ f i otuda |f − s_{n}|^{p} ≤ |f|^{p}, na osnovu teoreme o dominantnoj konvergenciji, sledi ∥f − s_{n}∥_{p} → 0 kada n → ∞. *Pokazati da se merljivi skupovi aproksimiraju elementarnim i otuda da se jednostavne funkcije aproksimiraju (u L^{p}-metrici, 1 ≤ p < ∞) jednostavnim funkcijama definisanim pomoću intervala. U realnoj analizi pokazuje se da se jednostavne funkcije definisane pomoću intervala dobro aproksimiraju neprekidnim funkcijama. Opšti slučaj (f kompleksna) sledi iz ovog.

Da li teorema važi za L^{∞} ? ne

Primer 4.1. Primer oblasti nemerjive u Žordanovom smislu. Neka je, 0 < ε < 1/2, r_{k}, k ≥ 1 niz racionalnih brojeva iz (0, 1) i

J_{k} = (r_{k} − ε2^{−k−1}, r_{k} + ε2^{−k−1}) ∩ (0, 1), R_{k} = J_{k} × (0, 1), R_{0} = (0, 1) × (0, ε) i Ω = ∪_{k=1}^{∞}R_{k}.

Proveriti da je

∑ |J_{k}| ≤ ∑ ε 2^{−k} = ε

i otuda m(Ω) ≤ ε,

\overline{Ω} = I^{2}, ∂Ω = I^{2} \ Ω

i otuda ∂Ω ima pozitivnu Lebegovu meru.

?? Neka je J = ∪_{k=1}^{∞}J_{k}. Proveriti da se karakt funkcija K_{J} ne može aproksimirati u L^{∞} sa jednostavnim interval funkcijama.

Teorema 4.2. Sistem

{e_{k}(t) = e^{i kt}, k ∈ ℤ}

je kompletan u L^{p}, 1 ≤ p < ∞.

▷ S obzirom na drugi Vajerštras-ov stav (videti [Ka-Ad ], Teorema 8.3.1), trigonometrijski polinomi su gusti u C(T). Otuda teorema sledi iz Teoreme 4.1. ? Ponovimo, za f ∈ L^{1}(T), Fourier-ovi koeficijenti funkcije f u odnosu na { e^{i kx} } izražavaju se formulama

(1)  f̂(k) = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(x) e^{−i kx} dx ( k ∈ ℤ).

Dakle, svakom f ∈ L^{1}(T) pridružuje se funkcija f̂ na ℤ. Fourier-ov red funkcije f je

(2)  ∑_{−∞}^{∞} f̂(k) e^{i kx},

i njegove parcijalne sume su

(3)  S_{n}(x) = ∑_{−n}^{n} f̂(k) e^{i kx} (n = 0, 1, 2, ...).

Kako L^{2}(T) ⊂ L^{1}(T), (1) je definisano za svako f ∈ L^{1}(T). Na osnovu Parseval-ove formule,

(4)  (f, g) = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(t) \overline{g(t)} dt = ∑_{−∞}^{∞} f̂(k) \overline{ĝ(k)}

za svako f, g ∈ L^{2}(T); red na desnoj strani formule (4) konvergira apsolutno; i ako je S_{n} definisano kao u (3), tada

(5)  lim_{n→∞} ∥f − S_{n}∥_{2} = 0

jer, na osnovu specijalnog slučaja formule (4), nalazimo

(6)  ∥f − S_{n}∥_{2}^{2} = ∑_{|k|>n} |f̂_{k}|^{2}.

Podvucimo da, na osnovu formule (5), sledi : svako f ∈ L^{2}(T) je L^{2}-granica parcijalnih suma svog Furi reda; tj. Furi red funkcije f konvergira u L^{2} -smislu. Konvergencija tačka po tačka je teži problem (v. [Ru], [Zo]). Primer 9. Ako je A ⊂ [0, 2 π] i A merljiv, tada ∫_{A} cosnx dx teži nuli kada n teži ∞. Lema Rimana*. Neka je f :]a, b[→ ℝ apsolutno integrabilna (bar u nesvojstvenom smislu ) i I(λ) = ∫_{a}^{b} f(x) e^{i λ x} dx, λ ∈ ℝ. Tada I(λ) teži nuli kada λ teži ∞, λ ∈ ℝ. Upustvo*. Pomoću parcijalne integracije dokazati lemu ako je f glatka funkcija. Integrabilne funkcije aproksimirati neprekidnim, a neprekidne polinomima. Za kompletan dokaz v. Zoric [Zo]. Ako je poznato da f ∈ R_{2}([−π, π] ) tada, na osnovu Beselove-ove nejednakosti, sledi

∫_{−π}^{π} f(x) e^{i n x} dx → 0

kada n → ∞, n ∈ ℤ. Ova diskretna varijanta Leme Rimana je u osnovi početnih ispitivanja klasičnih Furi-jeovi redova.

Vežba 4.1. Da li Lema Rimana važi ako f ∈ L^{1}(a, b) ?

Teorema Fejera *

Ponovimo parcijalna suma Furi-jeovog reda funkcije f sa Furi-jevim koeficijentima c_{k} definiše se sa :

S_{n}(x) = ∑_{−n}^{n} c_{k} e^{ikx}.

Razmotrimo niz aritmetičkih sredina parcijalnih suma :

σ_{n}(x) = \frac{S_{0}(x) + ... + S_{n}(x)}{n + 1} .

Proveriti

F_{n}(t) = \frac{D_{0}(t) + ... + D_{n}(t)}{n + 1} = \frac{sin^{2}(n + \frac{1}{2})t}{(n + 1)sin^{2} \frac{1}{2}t}

i

σ_{n}(x) = \frac{1}{2 π} ∫_{−π}^{π} f(x − t) F_{n}(t) dt.

Funkcije F_{n} nazivaju se Fejer -ovo jezgro. Otuda se dobija

Teorema 4.3. (Teorema Fejera). Ako je f ∈ C(ℝ, ℂ) - 2 π - periodična funkcija, tada σ_{n}(x) ravnomerno konvergira ka f.

Za dokaz Fejer -ove teoreme videti Zoric [Zo]. Posledica Fejer -ove teoreme je Vajerštrasova teorema (o aproksimaciji trigonometrijskim polinomima) Interesantano je da se Vajerštras-ova teorema može dokazati, pomoću rešenja Dirihleovog zadataka na krugu (videti dodatnu sekciju koja sledi).

4.2. Integral Furi*. Funkcija

f̂(λ) = F[f](λ) = v.p. \frac{1}{2 π} ∫_{−∞}^{∞} f(x) e^{−i λ x} dx, (λ ∈ ℝ)

naziva se Furi-jeva transformacija funkcije f : ℝ → ℂ. Pogodno je uvesti oznaku

(4.1)  c̃(x) = F [c](x) = v.p. ∫_{−∞}^{∞} c(t) e^{i t x} dt

Integral Furi se definiše na sledeći način : Ako je c(t) = f̂(t) - Furi-jeva transformacija funkcije f : ℝ → ℂ. Integral dodeljen funkciji f

f(x) ∼ c̃(x) = v.p. ∫_{−∞}^{∞} c(t) e^{i t x} dt,

naziva se Furi-jeov integral funkcije f. C_{0}(ℝ) je potklasa klase C(ℝ) za koju f(x) → 0 kada |x| → ∞. Ako za neko ε > 0 apsolutno konvrgiraju integrali

∫_{0}^{ε} \frac{f(x − u) − f(x_{−})}{u} du ∫_{0}^{ε} \frac{f(x + u) − f(x_{+})}{u} du,

kažemo da f zadovoljava Dinijev uslov u tački x.

Teorema 4.4. (Inverzna Teorema, o predstavljanju funkcije integralom Furi)

a) Ako f ∈ L^{1} i f̂ ∈ L^{1}, i ako je

f_{∗}(x) = F [f̂](x) = ∫_{−∞}^{∞} f̂(t) e^{i x t} dm(t) (x ∈ ℝ),

tada f_{∗} ∈ C_{0} i f_{∗} = f s.s.

b) Neka je f : ℝ → ℂ lokalno deo po deo neprekidna i apsolutno integrabilna na ℝ. Ako f zadovoljava Dini -jev uslov u tački x tada integral Furi konvergira u toj tački ka vrednosti \frac{1}{2}[f(x_{−}) + f(x_{+})].

Za dokaz dela a) ove teoreme videti npr. Rudin [Ru]; a za dokaz dela b) Zoric [Zo]. Dakle, deo a) Teoerme o inverziji tvrdi: ako f ∈ L^{1} i f̂ ∈ L^{1}, tada

(4.2)  F [F[f]] = F[F [f]] = f s.s.

Imajući u vidu ovu vezu, transformacija definisana sa (4.1) se često naziva inverzna transformacija Furi i umesto F piše se F^{−1}, a jednakost (4.2) formula o predstavljanju funkcije integralom Furi.

Posledica 4.1. Neka je f : ℝ → ℂ neprekidna, u svakoj tački x ∈ ℝ ima levi idesni izvod i apsolutno integrabilna na ℝ. Tada je f predstavljiva svojim integralom Furi na ℝ.

Vežba 4.2. Ako je f_{−}(x) = f(−x) tada je F[f_{−}] = (f̂)_{−}.

Vežba 4.3. Neka je f(x) = e^{−a x} za x > 0 i f(x) = 0 za x ≤ 0; tada je

f̂(t) = \frac{1}{2 π} \frac{1}{a + i t}.

Vežba 4.4. a) Neka je f kao u Vežbi 4.3 i φ(x) = e^{−a |x|} = f(x) + f(−x). Tada je

F[φ](t) = \frac{1}{π} \frac{a}{a^{2} + t^{2}} .

b) Neka je ψ(x) = f(x) − f(−x) neparno proširenje funkcije f, x > 0, na ℝ. Na osnovu teoreme o predstavljanju funkcije integralom Furi (Teorema 20), dokazati da je

f(x) = \frac{1}{2 π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{i x t}}{a + i t} dt = \{ \begin{matrix}e^{−ax}, & ako x > 0, \\ \frac{1}{2}, & ako x = 0, \\ 0, & ako x < 0, \end{matrix}

φ(x) = e^{−a |x|} = \frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{a e^{i x t}}{a^{2} + t^{2}} dt,

ψ(x) = \frac{i}{π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{t e^{i x t}}{a^{2} + t^{2}} dt = \{ \begin{matrix}e^{−ax}, & ako x > 0, \\ 0, & ako x = 0, \\ −e^{ax}, & ako x < 0. \end{matrix}

gde je f(0) = \frac{1}{2} i ψ(0) = 0.

c) Proveriti dobijene rezultate pomoću teoreme o sumi reziduma .

Vežba 4.5. Izdvajajući u dva poslednja integrala realni i imaginarni deo, izračunati Laplas-ove integrale :

L_{1}(x) = ∫_{0}^{∞} \frac{cos x t}{a^{2} + t^{2}} dt = \frac{π}{2 a} e^{−a |x|}

i

L_{2}(x) = ∫_{0}^{∞} \frac{t sin x t}{a^{2} + t^{2}} dt = \frac{π}{2} sgn x e^{−a |x|}.

Vežba 4.6. a) Razviti cos α x u Furi red.

b) Zamenjujući x = π u dobijenom razvoju, otuda izvesti :

ctgπα − \frac{1}{π α} = \frac{2 α}{π} ∑_{1}^{∞} \frac{1}{α^{2} − n^{2}} ; i

\frac{sinπ x}{π x} = ∏_{1}^{∞} (1 − \frac{x^{2}}{k^{2}} )

za |x| < 1.

Vežba 4.7. Dokazati da je

π ctgπz = \frac{1}{z} + ∑_{1}^{∞} \frac{2 z}{z^{2} − n^{2}}

za z ∉ ℤ.

Vežba 4.8. Dokazati da je

sinπ z = π z ∏_{1}^{∞} (1 − \frac{z^{2}}{k^{2}} )

i da proizvod uniformno konvergira na kompaktnim podskupovima ℂ.

Za Vežbe 4.7- 4.8 v. npr. Conway [Co].

O primenama Furi i Laplas-ove transformacije na rešavanje parcijalnih jednačina (v. npr. Šabat - Lavrentijev [Ša-La])

5. Primena apstraktne mere u verovatnoći*

U ovoj sekciji samo skiciramo osnovne pojmove i dokaze osnovnih tvrdjenja teorije verovatnoće (za detalje v. Kolmogorov, Fomin [Ko-Fo]; Ivković, Uvod u teoriju verovatnoće, Beograd ??). Ponovimo definiciju Apstraktne mere i verovatnoće.

5.1. Osnovna svojstva.

Definicija 5.1. Neka je X proizvoljan skup i 𝔐 σ-algebra u X. Par (X, 𝔐) naziva se merljiv prostor.

Elementi skupa 𝔐 nazivaju se merljivi skupovi. Nenegativna funkcija skupa μ koja je definisana na 𝔐, uzima vrednosti u [0, ∞] i koja je σ-aditivna naziva se mera na 𝔐.

Ova definicija mere se razlikuje od Definicije 2.4 XX, u tome što je ovde definiciono područje σ-algebra. Dalje ćemo korititi Definiciju 5.1.

Definicija 5.2. Neka je (X, 𝔐) merljiv prostor i neka f preslikava X u ℝ^{∗}. Ako je skup {f < c} merljiv za svako realno c, kažemo da je f merljiva funkcija na X.

Definicija 5.3. (X, 𝔐, μ) naziva se prostor sa merom.

Zamenjući Lebeg-ovu meru m merom μ uvesti odgovarajuće definicije i dokazati odgovarajuće stavove. Ako je (X, 𝔐, μ) prostor sa merom i μ normalizovana mera, tj. μ(X) = 1, trojka (X, 𝔐, μ) naziva se prostor verovatnoća. U teoriji verovatnoće obično se koriste oznaka (Ω, 𝔉, P)) za prostor verovatnoća.

Ponovimo, ako je P(X) = μ(X) = 1 odgovarajuća uredjena trojka (obično se koriste oznake (Ω, 𝔉, P)) naziva se prostor verovatnoća.

Napomenimo da je u aksiomatskom zasnivanju teorije verovatnoće osnovni pojam koji se ne definiše pojam elementarnog dogadjaja. Elementarne dogadjaje označavamo sa ω, a skup svih elementarnih dogadjaja sa Ω.

Dakle u teoriji verovatnoće obično se koristi oznaka Ω za okvirni prostor (skup elementarnih dogadjaja). ^{0}U kontekstu kursa kompleksne analize Ω obično označava otvorene skupove! Slučajna promenljiva ξ je merljiva (𝔉-merljiva) finitna (uzima samo konačne vrednosti) funkcija koja Ω preslikava u realnu pravu ℝ. Odavde sledi da je, na primer, inverzna slika poluotvorenog intervala [a, b) takodje u 𝔉. dalje, s obzirom da je 𝔉 σ-polje, inverzna slika svakog Borel-ovog skupa je element iz 𝔉. ??

Za verovatnoću P zadatu na skupu dogadjaja 𝔏 postoji proširenje na minimalno σ-prsten koji sadrži 𝔏. Ako je ξ slučajna promenljiva definiše se funkcija raspodele F_{ξ} na realnoj osi sa F_{ξ}(x) = P(ξ < x) i mera P_{ξ} na realnoj pravoj sa P_{ξ}([x, y)) = F_{ξ}(y) − F_{ξ}(x). Ako je ξ slučajna promenljiva, tada funkcija raspodele F = F_{ξ} ∈ NBV_{l}. Funkcija F je funkcija raspodele slučajne promenljive ξ akko je neopadajuća, neprekidna sa leve strane i F (−∞) = 0, F (+∞) = 1. Slučajna promenljiva ξ je apsulutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna funkcija φ tako da je F (x) = ∫_{−∞}^{x} φ(t)dt, x ∈ ℝ; funkcija φ naziva se gustina raspodele F.

Vežba 5.1. Definisati višedimenzionu slučajnu promenljivu i funkciju raspodele.

Matematičko očekivanje definišemo kao Lebeg-ov integral

Eξ = ∫_{Ω} ξ(ω)dP (ω).

Dokazati

Eξ = ∫ xdF (x).

Karakteristična fukcija f slučajne promenljive ξ definiše se

f(t) = Ee^{i t ξ} = ∫ e^{i t x} dF (x), t ∈ ℝ,

gde je F funkcija raspodele slučajne promenljive ξ.

Niz funkcija raspodele F_{1}, F_{2}, ..., slabo konvergira ka neopadajućoj funkciji F, onaka F_{n} →^{s} F ako konvergira u svakoj tački x neprekidnosti funkcije F ka F (x). Ako dodatno F_{n}(±∞) → F (±∞) kažemo F_{1}, F_{2}, ..., kompletno konvergira ka neopadajućoj funkciji F, onaka F_{n} →^{k} F. U slučaju kompletne konvergencije granična funkcija je funkcija raspodele.

Niz realnih funkcija {f_{m}} je uniformno ograničen na ℝ ako postoji M > 0 tako da je f_{m}(ℝ) ⊂ (−M, M) za svako m.

Dijagonalni postupak: Neka je {f_{m}} niz uniformno ograničenih funkcija na ℝ i E = {x_{1}, x_{2}, ...} svuda gust skup u ℝ. Kako je {f_{m}(x)} ograničen za svako x ∈ ℝ, {f_{m}} ima podniz {f_{m,1}} koji konvergira u x_{1} ka f(x_{1}). Iz {f_{m,1}} može se izdvojiti jedan podniz {f_{m,2}} koji konvergira u x_{2} ka f(x_{2}). Nastavljajući na ovaj način dobija se nizovi {f_{m,k}} koji konvergira u x_{k} ka f(x_{k}) takvi da je {f_{m,k}} podniz {f_{m,k−1}}. ”Dijagonalni niz” {f_{m,m}} konvergira u svakoj tački skupa E.

Ponovimo za detalje o teoriji verovatnoće videti [Iv].

Teorema 5.1. Svaki skup funkcija raspodele je slabo kompaktan, tj. svaki niz funkcija raspodele F_{1}, F_{2}, ..., sadrži podniz F_{n_{1}}, F_{n_{2}}, ..., koji slabo konvergira ka neopadajućoj funkciji F.

Uputstvo :Neka je D = {x_{1}, x_{2}, ...} svuda gust skup u ℝ, koristeći poznati dijagonalni postupak definisati podniz i graničnu funkciju F na D. Kako je F neopdajuća može se po neprekidnosti sa leve strane dodefinisati na ℝ; proveriti da je svako x ∈ ℝ

F (x − 0) ≤ lim inf F_{n}(x) ≤ lim sup F_{n}(x) ≤ F (x + 0).

Ako je F neprekidna u x, sledi F (x − 0) = F (x + 0) i stoga lim inf F_{n}(x) = lim sup F_{n}(x); otuda lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x). □

Iz slabe konvergencije niza funkcija raspodele sledi da je granična funkcija samo neopadjuća.

Primer 5.1.

F_{n} = \{ \begin{matrix}0 & ako & x ≤ −n \\ 1/2 & ako & −n < x ≤ n \\ 1 & ako & x > n \end{matrix}

F_{n}(x) →^{s} 1/2 kada n → ∞; dakle granična funkcija nije funkcija raspodele.

Teorema 5.2 (Lema Helly-Braya). Neka je g neprekidna na [a, b]. Neka niz funkcija raspodele F_{k} slabo konvergira ka neopadajućoj funkciji F i a, b ∈ C(F). Tada

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} g(x) dF_{n}(x) = ∫_{a}^{b} g(x) dF (x).

karakteristične funkcije ??

5.2. Vrste konvergencije u teorije verovatnoće. U teoriji verovatnoće razmatraju se uglavnom četiri vrste konvergencije slučajnih promenljivih ξ_{n} ka slučajnoj promenljivoj ξ: u verovatnoći (označavamo ξ_{n}→^{v}ξ), skoro izvesno (označavamo ξ_{n}→^{s.i.}ξ), u srednjem kvadratnom (označavamo ξ_{n}→^{s.k.}ξ), i u zakonu raspodele (označavamo ξ_{n}→^{z}ξ).

A. Niz slučajnih promenljivih ξ_{n} konvergira u verovatnoći ka slučajnoj promenljivoj ξ ako za svako ε > 0, P{|ξ_{n} − ξ| ≥ ε} → 0, kada n → ∞.

B. Niz slučajnih promenljivih ξ_{n} konvergira skoro izvesno (označavamo ξ_{n}→^{s.i.}ξ) ka slučajnoj promenljivoj ξ ako je P{ξ_{n} → ξ, kad n → ∞} = 1. Sa gledišta teorije mere skoro izvesna konvergencija ekvivalentna je skoro svuda konvergenciji u odnosu na P -meru.

C. Niz slučajnih promenljivih ξ_{n} konvergira u srednjem kvadratnom ka slučajnoj promenljivoj ξ, ako

(5.1)  Eξ_{n}^{2} < ∞, n = 1, 2, ..., i E|ξ_{n} − ξ|^{2} → 0, kada n → ∞.

D. Niz slučajnih promenljivih ξ_{n} konvergira u zakonu raspodele ka slučajnoj promenljivoj ξ, ako niz odgovarajućih funkcija raspodele kompletno konvergira ka funkciji raspodele za ξ.

Motivaciju za ovu definiciju daje primer: neka je F_{n} definisano sa F_{n}(x) = x^{n} na [0, 1], F_{n}(x) = 1 za x > 1 i F_{n}(x) = 0 za x < 0. Granična funkcija je karakteristična funkcija intervala [1, ∞] i prekidna je sa leve strane u 1, dakle nije funkcija raspodele.

Neka je ε_{n}^{+} = sup_{k≥n} |ξ_{ν} − ξ|, S(n, k) = \{ε_{n}^{+} < \frac{1}{k} \}, S^{c}(n, k) = \{ε_{n}^{+} ≥ \frac{1}{k} \} i A_{k} =

∪_{n=1}^{∞}S(n, k). Proveriti a. Skup tačaka {ω : ξ_{n}(ω) → ξ(ω)} može se predstaviti u obliku A = ∩_{k=1}^{∞}A_{k}. b. Ako ξ_{n}→^{s.i.} ξ, onda (za fiksirano k) P(S(n, k)) → 1 i P(S^{c}(n, k)) → 0, kada n teži ∞. Ponoviti

1. Ako ξ_{n}→^{s.i.} ξ, onda ξ_{n}→^{v}ξ. Uputstvo. Neka je η_{n} = ξ_{n} − ξ. Uslov skoro izvesne konvergencije ekvivalentan

je P{sup_{k≥n} |η_{k}| ≥ ε} → 0.

Dokaz se može bazirati i na Teoremi Egorova. Za dato ε > 0, postoji podniz n_{k} tako da ξ_{n} konvergira ravnomerno na skupu E = ∩S(n_{k}, k), i da je P(E) ≤ ε.♢

2. Ako ξ_{n}→^{s.k.} ξ, onda ξ_{n}→^{v}ξ. Dokaz sledi neposredno iz nejednakosti Čebiševa

ε^{2} P {|η_{n}| ≥ ε} ≤ E|η_{n}|^{2}

3. Ako ξ_{n}→^{v}ξ, onda ξ_{n}→^{z}ξ. Za svako t ∈ ℝ, e^{itξ_{n}}→^{v}e^{itξ} i na osnovu Lebegove teoreme o dominantnoj konvergenciji(Ivković, str. 52 ??) E e^{itξ_{n}} → E e^{itξ}. Neka je ζ_{n} = e^{itξ_{n}} − e^{itξ} i A_{n} = {|ζ_{n}| ≥ ε}. Kako je |ζ_{n}| ≤ 1, dobija se |E e^{itξ_{n}} − E e^{itξ}| ≤ P(A_{n}) + ε.

4. Ako ξ_{n}→^{s.i.} ξ, onda ξ_{n}→^{z}ξ.

5. Ako ξ_{n}→^{z}c,c = const skoro svuda, onda ξ_{n}→^{v}c.

Neka je χ_{n}^{k} karakteristična funkcija intervala [\frac{k − 1}{n}, \frac{k}{n}). Ako se ove funkcije nu-

merišu χ_{1}^{1}, χ_{1}^{2}, χ_{2}^{2}, ..., onda ovaj niz konvergira po m-meri, ali ne konvergira s.s. na [0, 1).

Dodatak za Analizu 2, Memo neki komentari o kursu Analiza 2; u prilogu je samo skica

6. Dodatak

6.1. Pitanja. osnovni pojmovi: granična vrednost, neprekidnost, ravnomerna konvergencija redova i nesvojstveni integrala, svojstva n-integrala, parcijalni izvodi,

Stepeni redovi, Limes sume reda, Abel-Dirihleov kriterijum, Navesti primer niza za koji razmena limesa i integrala daje netačan rezultat.

Diferencijabilnost, Teorema o srednjoj vrednosti, Tejlorova formula za f ∈ C^{(3)}(D; ℝ), D ⊂ ℝ^{2} oblast, Lokalni ekstremumi,

Implicitne funkcije sa realnim vrednostima, Tangentna ravan i normala površi Primena n-integrala, zapremine u R^{3}, Svodjenje n-integrala na n-trostruki integral Nesvojstveni integral, Krivolinijski integral prve i druge vrste, Površinski integral prve i druge vrste, Nezavisnost integrala od puta, Formula Stoksa i Gausa-Ostrogradskog, Navesti primer krivoinijskog integrala

druge vrste za koji primena Stoksove teoreme daje netačan rezultat.

Navesti primer dif vektorskog polja v = (P, Q, R) u okolini proste glatke zatvorene površi tako da primena Teoreme Gausa-Ostrogradskog daje netačan rezultat.

Funkcionalna svojstva parametarskog integrala, I′(y) Ojlerovi integrali, Obična konvergencije trigonmetrijskog Furijeovog reda, Uslovi ravnomerne konvergencije trigonmetrijskog Furijeovog reda Promena poretka graničnih prelaza*, Teorema o inverznoj funkciji*,Implicitne

funkcije sa vektorskim vrednostima i torema o rangu* , Uslovni ekstremum*, Teorema o smeni promenljivih*, Potpunost trigonometrijskog sistema *, Parsevalova jednakost*, Navesti primer reda za koji integracija reda ”član po član” daje netačan rezultat* Navesti primer za svako pitanje. Sa * su označena teža pitanja.

Neka je A = (1, 0), B = (0, 1), C = (−1, 0) i D = (0, −1). Proveriti da je otvren kvadrat Q = ABCD jedinična lopta u d_{1} metrici u R^{2} i

da je ∂Q = {x : |x_{1}| + |x_{2}| = 1} jedinična sfera.

Neka je A = (1, −1), B = (1, 1), C = (−1, 1) i D = (−1, −1). Proveriti da je otvren kvadrat ABCD jedinična lopta u d_{∞} metrici u R^{2}.

Propozicija 6.1 (Kantorov stav). Ako X kompletam mp, F_{n} ⊂ X, F_{1} ⊃ F_{2} ⊃ … F_{n} ⊃ … i d(F_{n}) → 0, tada postoji jedinstveno a ∈ ∩_{1}^{∞}F_{n}.

up neka x_{n} ∈ F_{n}; kako je x_{n} Košijev niz, post a ∈ X td x_{n} → a. Pretpostavimo suprotno da postoji F_{k} td a ∉ F_{k}; otuda postoji lopta B[a, r) td B[a, r) ∩ F_{k} = ? i B[a, r) ∩ F_{n} = ? za n ≥ k; stoga x_{n} ∉ B[a, r); kontradikcija Naosnovu Prop dokazati

Propozicija 6.2. Segment I = [a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × … [a_{n}, b_{n}] u ℝ^{n} je kompaktan. Skup K je kompaktan ako i samo ako je zatvoren i ograničen.

Neka je {G_{α} : α ∈ A} pokrivač skupa I otv podskupovima prostora ℝ^{n}. Pretpostavimo suprotno da se ne može izdvojiti konačan potpokrivač. Podelimo svaki segment [a_{i}, b_{i}] tačkama \frac{a_{i}+b_{i}}{2} na dva jednaka dela - skup I = I^{1}

na 2^{n} delova. Prema pret bar jedan od tih delova ne može se pokriti sa konačano mnogo skupova G_{α}- označimo taj segment sa I^{2}.

Ponavlj ovaj postupak dobijamo niz segmenata

I^{1} ⊃ I^{2} ⊃ … I^{k} ⊃ …

Prema Kantorovom stavu postoji tačka ξ koja pripada svim segmentima I^{k}. Kako ξ ∈ I, to ξ ∈ G_{α} za neko α ∈ A; u otv skupu G_{α} post kugla B[ξ, r) i za dovoljno veliko k, I^{k} ⊂ B[ξ, r) ⊂ G_{α}; kontradikcija \overline{ℝ}^{n} = ℝ^{n} ∪ \{∞\}-kompaktifikacija ℝ^{n} jednom tačkom refleksija u odnosu na jediničnu sferu

(6.1)  x ↦ x^{∗} = Jx = x/|x|^{2} (J0 = ∞, J∞ = 0)

Neka je a ∈ ℝ^{n}, S = S[a, r) sfera refleksija u odnosu na sfery R(x) = R_{S}(x) = a + r^{2}J(x − a) = a + r^{2} \frac{x−a}{|x−a|^{2}} Secijalno refleksija u odnosu na sferu 𝕊[e_{n+1}, 1) ⊂ ℝ^{n+1} :

f(x) = e_{n+1} + \frac{x − e_{n+1}}{|x − e_{n+1}|^{2}} .

Ako tačke x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) identifikujemo sa tačkama x̂ = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, 0), ℝ^{n} identifikujemo kao podskup ℝ^{n+1} .

Neka je

s(x) = e_{n+1} + \frac{x̂ − e_{n+1}}{|x̂ − e_{n+1}|^{2}} .

i 𝕊^{0} = 𝕊^{n}(e_{n+1}/2, 1/2), tada je s : ℝ^{n} → 𝕊^{n}(e_{n+1}/2, 1/2) stereografska projekcija; može se identifikovati sa refleksijom u odnosu na sferu 𝕊[e_{n+1}, 1) ⊂ ℝ^{n+1}.

Sferno rastjanje izmedju tačaka X, Y ∈ \overline{ℝ}^{n} je

q(X, Y) = |s(X) − s(X)| .

Ako je X, Y ∈ ℝ^{n}

q(X, Y) = |s(X) − s(Y)| = |X − Y |(1 + |X|^{2})^{−1/2}(1 + |Y |^{2})^{−1/2} ,

i

q(X, ∞) = (1 + |X|^{2})^{−1/2} .

q(X, Y) ≤ |X − Y | i q(X, Y) ≤ 1.

Neka je f(t) = cos t + i sin t i I = [0, 2π). f je 1 − 1 neprekidno na I i f(I) = 𝕋 jed kružnica. Inverzno presl je prekidno

na 𝕋 u tački (1, 0).

Ako su Ω i Ω^{∗} oblasti u ℝ^{2} i f : Ω → Ω^{∗} neprekidna bijekcija. Da li je f^{−1} neprekidno na Ω^{∗} ?

Up z_{0} ∈ Ω, w_{0} = f(z_{0}), B[z_{0}, r] ⊂ Ω, c_{r} poz orij gr B[z_{0}, r] i γ = f ∘ c_{r} kako je f 1 − 1 i neprekidno, r_{0} = min{|w − w_{0}| : w ∈ γ} > 0; kako je Ind

konstantna fun na ℝ^{2} \ γ, f(B[z_{0}, r)) ⊃ B[w_{0}, r_{0}); f je otvoreno pres

lin operator L : ℝ^{n} → ℝ^{m} lin operator L = (L^{1}, …, L^{m}) L(h) = L(h^{i}e_{i}) = h^{i}L(e_{i}) = h^{i}a_{i}^{j}ẽ_{j} = a_{i}^{j}h^{i}ẽ_{j} = L^{j}(h)ẽ_{j} L^{j}(h) = a_{i}^{j}h^{i}

(6.2)  L(h) = [ \begin{matrix}a_{1}^{1} & … & a_{n}^{1} \\ … \\ a_{1}^{m} & … & a_{n}^{m} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}h^{1} \\ … \\ h^{n} \end{matrix} ]

L^{j}(h) = a_{i}^{j}h^{i}

L^{j}(h)^{2} = (a_{i}^{j}h^{i})^{2} ≤ ∑_{i}(a{j \atop i})^{2} |h|^{2}

Otuda

|L(h)|^{2} = ∑_{j} L^{j}(h)^{2} ≤ ∑_{i,j}(a{j \atop i})^{2} |h|^{2}

Ako je A = [a_{ij}] matrica tipa m × n, def lin operator L = L_{A} : ℝ^{n} → ℝ^{m} kao u (6.2). L(ℝ^{n}) je vec potprostor u ℝ^{m}; negova dim je rang matrice A = [a_{ij}].

Funkcija data sa f(0, 0) = 0 i

f(x, y) = (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}} , za (x, y) ≠ (0, 0)

ima u ok (0, 0) parcijalne izvode koji su prekidni u (0, 0), ali ipak f je dif u (0, 0). ∂_{1}f(0, 0) = ∂_{2}f(0, 0) = 0; f(x, y) − f(0, 0) = o(\sqrt{x^{2} + y^{2}}) .

Ω ⊂ ℝ^{n} je oblast ako je otvoren skup i ako za svake tve tačke u Ω postoji poligonalna linija u Ω koja ih spaja.

Ako je Λ prosta zatvorena poligonalna linija u ℝ^{2}, tada Λ deli ℝ^{2} na dve komponente. Sa IntΛ i ExtΛ označavamo respektivno ograničenu i neograničenu komponentu; ovo je tačno i za prost zatvoren put u ℝ^{2}.

prosto povezane oblasti u ℝ^{2} su krug, polu ravan, IntΛ probušen krug i prsten su dvostruko povezane oblasti vp skup skalara je ℝ ili ℂ ako je skup skalara ℂ kompleksan vp

Primer 6.1. Neka su a, b i c dužine stranica trogla i x , y i z rastojanja tačke M od ovih stranica respektivno;X = (x, y, z), X_{0} = (a, b, c) i d = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = |X|. Naci minimum funkcije d.

Uputstvo: Ako je P površina trougla i tačka M u trouglu, tada je 2P = ax + by + cz. Otuda je 2P ≤ |X||X_{0}|; kako se jednakost dostže u preth nejednakosti, minimum je 2P/|X_{0}|.

Napomena: jednakost važi ako i samo ako je X = sX_{0}, s ∈ ℝ, tj. 2P = s(a^{2} + b^{2} + c^{2}), s = 2P/|X_{0}|^{2}; d = s|X_{0}| = 2P/|X_{0}|.

6.2. Diferencijalni račun. Diferencijabilnost, Teorema o srednjoj vrednosti, Tejlorova formula

f′(x) matrica, df(x) lin operator Primer 6.2. Neka je f ∈ C^{(3)}(D; ℝ), D ⊂ ℝ^{2} oblast, ∂_{111}f, ∂_{211}f, ∂_{221}f i ∂_{222}f postoje i neprekidni su na D i (a, b) ∈ D. Tada

f(a + u, b + v) − f(a, b) = u ∂_{1}f(a, b) + v ∂_{2}f(a, b) +

\frac{1}{2} (u^{2} ∂_{11}f(a, b) + 2u v ∂_{21}f(a, b) + v^{2} ∂_{22}f(a, b)) +

\frac{1}{6} (u^{3}∂_{111}f(a, b) + 3u^{2}v∂_{211}f(a, b) + 3uv^{2}∂_{221}f(a, b) + v^{3}∂_{222}f(a, b) + o())

6.3. Implicitne funkcije, površi. Površina paralelograma razapetog nad vektorima u i v. Neka su u, v ∈ R^{n}. Površina paralelograma razapetog nad vektorima u i v

je P = P (u, v) = |u||v| sin φ = \sqrt{|u|^{2}|v|^{2} − |u|^{2}|v|^{2} cos^{2} φ} = \sqrt{|u|^{2}|v|^{2} − F^{2}}, gde je φ ∈ [0, π] ugao izmedju u i v, a F =< u, v >. Da li se može definisati orijentisan ugao izmedju u i v i orijentisana površina paralelograma razapetog nad vektorima u i v ?

Vektorsi proizvod se definiše sa

u × v = | \begin{matrix}e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} | = Ae_{1} + Be_{2} + Ce_{3}

Proveriti (direktnim računom) da je

P = P (u, v) = (EG − F^{2})^{1/2} = (A^{2} + B^{2} + C^{2})^{1/2} .

Površi

Neka je D ⊂ ℝ^{2} oblast i ϕ : D → ℝ^{3} glatka 2-dim površ; t_{0} ∈ D, x_{0} = ϕ(t_{0}) ϕ(t) − ϕ(t_{0}) = ϕ′(t_{0})(t − t_{0}) + o(t − t_{0}). Ako x ∈ T S_{x_{0}}, tada je vektor x − x_{0} je linearna kombinacija vektora ∂_{1}ϕ(t_{0}) i

∂_{2}ϕ(t_{0}); otuda je

| \begin{matrix}x^{1} − x_{0}^{1} & x^{2} − x_{0}^{2} & x^{3} − x_{0}^{3} \\ ∂_{1}ϕ_{1}(t_{0}) & ∂_{1}ϕ_{2}(t_{0}) & ∂_{1}ϕ_{3}(t_{0}) \\ ∂_{2}ϕ_{1}(t_{0}) & ∂_{2}ϕ_{2}(t_{0}) & ∂_{2}ϕ_{3}(t_{0}) \end{matrix} | = 0 .

Tangentna ravan je A(x^{1} − x_{0}^{1}) + B(x^{2} − x_{0}^{2}) + C(x^{3} − x_{0}^{3}) = 0, gde je

A = \frac{D(ϕ_{2}, ϕ_{2})}{D(t_{1}, t_{2})}, B = \frac{D(ϕ_{3}, ϕ_{1})}{D(t_{1}, t_{2})}, C = \frac{D(ϕ_{1}, ϕ_{2})}{D(t_{1}, t_{2})}

u t_{0}.

Vektor N = (A, B, C) je ortogonalan na tangetnu ravan; neka je n = N/|N| = (A_{0}, B_{0}, C_{0})

3-dim zaremina paralepipeda razapetog nad vektorima ∂_{1}ϕ(t_{0}), ∂_{2}ϕ(t_{0}) i n je

V_{3} = | \begin{matrix}A_{0} & B_{0} & C_{0} \\ ∂_{1}ϕ_{1}(t_{0}) & ∂_{1}ϕ_{2}(t_{0}) & ∂_{1}ϕ_{3}(t_{0}) \\ ∂_{2}ϕ_{1}(t_{0}) & ∂_{2}ϕ_{2}(t_{0}) & ∂_{2}ϕ_{3}(t_{0}) \end{matrix} | = A_{0}A + B_{0}B + C_{0}C =< N, N/|N| >

Otuda V_{3} = |N| = (A^{2} + B^{2} + C^{2})^{1/2}.

Kako je jedinični vektor n ortogonalan na ∂_{1}ϕ(t_{0}) i ∂_{2}ϕ(t_{0}), to je 3-dim zaremina paralepipeda razapetog nad vektorima ∂_{1}ϕ(t_{0}), ∂_{2}ϕ(t_{0}) i n jednaka 2-dim zaremina paralepipeda razapetog nad vektorima ∂_{1}ϕ(t_{0}) i ∂_{2}ϕ(t_{0}). Neka je E =< ∂_{1}ϕ, ∂_{1}ϕ >, F =< ∂_{1}ϕ, ∂_{2}ϕ > i G =< ∂_{2}ϕ, ∂_{2}ϕ > u t_{0}. Proveriti

(EG − F^{2})^{1/2} = (A^{2} + B^{2} + C^{2})^{1/2} .

skup x^{2} − y^{2} = 0 nije 1-dim površ; skup z^{2} = x^{2} + y^{2} nije 2-dim površ

Ruža sa četri lista: x = cos 2t cos t, y = cos 2t sin t, t ∈ ℝ rang=1, nije 1-dim površ

četri cilindra: x = cos 2t cos t, y = cos 2t sin t, z = s, (t, s) ∈ ℝ rang=2, nije 2-dimenziona površ

f^{1}(x, y) = e^{x} cos y, f^{2}(x, y) = e^{x} sin y i f^{3}(x, y) = e^{2x} f^{1} i f^{2} su linearno nezavisne funkcije i f^{3} = (f^{1})^{2} + (f^{2})^{2}.

Neka je V oblast u ℝ^{n} i F ∈ C^{(1)}(V; ℝ) specijalno, u slučaju ℝ^{3}, jed F (x, y, z) = 0 definiše 2-dim površ u okolini nekritične

tačke (x_{0}, y_{0}, z_{0}), koja se pri usovu ∂_{3}F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ≠ 0 lokalno izražava u obliku z = f(x, y).

jednačina ravni tangentne na grafik ove funkcije u tačk (x_{0}, y_{0}, z_{0}),

z − z_{0} = \frac{∂f}{∂x} (x_{0}, y_{0})(x − x_{0}) + \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0})(y − y_{0}).

Na osnovu formule za parcijalne izvode implicitne funkcije,

\frac{∂f}{∂x} (x_{0}, y_{0}) = −\frac{F′_{x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{F′_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}, \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}) = −\frac{F′_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{F′_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})},

i otuda jednačina tangentne ravni je

F′_{x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(x − x_{0}) + F′_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(y − y_{0}) + F′_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(z − z_{0}).

Npr. F (x, y, z) = x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} + z^{2}/c^{2} F = r je prazan za r < 0; tačka pri r = 0; elipsoid

x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} + z^{2}/c^{2} = r

za r > 0. Ako je (x_{0}, y_{0}, z_{0}) tačka na tom elipsoidu

gradF (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (2x_{0}/a^{2}, 2y_{0}/b^{2}, 2z_{0}/c^{2})

ortogonalan na elipsoid u tački (x_{0}, y_{0}, z_{0}), tang ravan u toj tački ima jed x_{0}(x − x_{0})/a^{2} + y_{0}(y − y_{0})/b^{2} + z_{0}(z − z_{0})/c^{2} = r,

koja se s obzirom da tačka (x_{0}, y_{0}, z_{0}) pripada elipsoidu može napisati u obliku xx_{0}/a^{2} + yy_{0}/b^{2} + zz_{0}/c^{2} = r.

Möbiusov list Neka je R = [0, 3/4) × [0, 4π], r = r(ρ, θ) = 1 + ρ cos \frac{θ}{2} i (ρ, θ) → ϕ(ρ, θ) = ((r cos θ, r sin θ, ρ sin \frac{θ}{2})). Za fiksirano θ, neka je l^{θ}(ρ) = ϕ(ρ, θ), ρ ∈ [0, 3/4); putevi l^{θ} su intervali. Opisati ”kretanje” intervala l^{θ} kada θ ↑_{0}^{4π}. Opisati ϕ(R) i izračunati površinu površi ϕ(R).

Glatka povš S je lokalno grafik funkcije g

Ako je x = (x^{1}, …, x^{p}) i y = (y^{1}, …, y^{q}) pogodno je pisati (x, y) = x^{1}, …, x^{p}, y^{1}, …, y^{q}). Za d ≤ n kanonski izomorfizam je i : (x^{1}, …, x^{d}) ↦ (x^{1}, …, x^{d}, 0, …, 0). Slično

kanonski izomorfizam je ℝ^{n} = ℝ^{d} × ℝ^{n−d}.

Ako je g : U → V, U ⊂ ℝ^{k}, V ⊂ ℝ^{p}, def grafik funkcije g, Γ_{g} = Γ_{g}(U) = {(u, g(u)) : u ∈ U}. Glatka povš je lokano grafik neke vekt funkcije.

Skup S ⊂ ℝ^{n} naz se k-dim površ ako za sv x_{0} ∈ S postoji okolina U homemorfna I^{k}, tj. homemorfizam

φ : I^{k} → U ⊂ S. Ako φ ∈ C^{1}(I^{k}, ℝ^{n}), φ je restrikcija difemorfizma φ^{∗} nekog kuba I_{ε}^{n} na I^{k}: postoji ε > 0 i difeomrfizam φ^{∗} : I_{ε}^{n} → ℝ^{n} segmenta I_{ε}^{n} := {t ∈ ℝ^{n} : |t^{i}| < ε, i =

1, …, n} td je φ^{∗} = φ na I^{k} ∩ I_{ε}^{n}.

Up: Pretpostavimo da je det[\frac{∂φ^{i}}{∂t^{j}}](0) ≠ 0, i, j = 1, …, k; neka je u = (x^{1}, …, x^{k}), v = (x^{k+1}, …, x^{n}), y = (t, v) i F : ℝ^{n+k} → ℝ^{n} def sa F (t, x) = F (u, y) = φ(t) − x.

Kako je detF′_{y}(u_{0}, y_{0}) ≠ 0, na osnovu toreme o implicitnoj funk sa vekt vrednostima (t, v) = f(u) = (f_{1}(u), f_{2}(u)) u okol tačke (t_{0}, x_{0}) = (0, φ(0)). Preslikavanje ψ(u, v) = (f_{1}(u), v − f_{2}(u)) je dif neke n-dim ok x_{0} na n-dim ok 0; skalirati; φ^{∗} je inverzna funk funkcije ψ.

Napomena: Zapišimo x = φ(t) u obliku x = (u, v) = (φ_{1}(t), φ_{2}(t). Na osn toreme o inverznj funkciji, funkcija u = φ_{1}(t) ima lokalno inverznu funkciju t = f_{1}(u); otuda je v = φ_{2}(f_{1}(u)) = g(u); dakle S je lokalno grafik funkcije g.

Dakle za glatke površi možemo korisisti sl. ekvivalentnu def Skup S ⊂ ℝ^{n} naz se k-dim glatka površ ako za sv x_{0} ∈ S postoji B[x_{0}, r) i

difeomorfizam ψ : B[x_{0}, r) → I^{n} gde je I^{n} = {t ∈ ℝ^{n} : |t^{i}| < 1, i = 1, …, n} td ψ(B_{S}(x_{0})) = I^{k}, gde je B_{S}(x_{0} = B[x_{0}, r) ∩ S i I^{k} deo k-dim ravni koji leži u I^{n}, zadat jed t^{k+1} = 0, …,

t^{n} = 0.

Stepen glatkosti površi S meri se pomoću glatkosti difeomorfizma φ.

Primer 6.3 (površ zadata sa p- funkcija). Neka je p ≥ 1, F p- vektorska funkcija u nekoj okolini V tačke x_{0} ∈ ℝ^{n},

f ∈ C^{(1)}(V; ℝ) i rangF = p na V, F (x_{0}) = 0, k = n − p. skup

(6.3)  S = {x ∈ V : F (x) = 0}

je glatka k-dim površ.

Proveriti vektori E^{ν} = gradF^{ν}(x_{0}), ν = 1, …, p su linearno nezavisni i ortogonalni na T S_{x_{0}}; kako je rang vrsta jednak rang kolona matrice F′ (v. npr. Drešević str. 203), vektori E^{ν} = gradF^{ν}(x_{0}), ν = 1, …, p su linearno nezavisni akko je rang F = p.

Neka je NS_{x_{0}} ⊂ T ℝ_{x_{0}}^{n} skup vektora koji su ortogonalni na T S_{x_{0}}; dim NS_{x_{0}} je n − k = p i otuda E^{ν} = gradF^{ν}(x_{0}), ν = 1, …, p su baza prostora NS_{x_{0}}.

ako je x ∈ T S_{x_{0}} i h = x − x_{0}, tada postoji gladak put γ : (−1, 1) → S, td γ(0) = x_{0} i γ′(0) = h

kako je F ∘ γ = 0, dobija se F′(x_{0})h = 0 Kako je rang F = p, skup rešenja jed

(6.4)  F′(x_{0})h = 0

je k-dim ravan i otuda jednak sa T S_{x_{0}}. Jed (6.4) se može napisati u obliku p-jed

< E^{ν}, h >= 0, ν = 1, …, p.

Ako je f C^{1} funkcija definisana u nekoj okolini V tačke x_{0} i ima lokalni ekstremum na S u x_{0}, tada je gradf(x_{0}) ∈ NS_{x_{0}}.

Ako je h ∈ T S_{x_{0}}, tada postoji gladak put γ : (−1, 1) → S, td γ(0) = x_{0} i γ′(0) = h

kako je φ = f ∘ γ, ima lok ekst u 0, dob φ′(0) = f′(x_{0})h = 0. Ako je f C^{1} funkcija definisana u nekoj okolini V tačke x_{0} i ima lokalni ek-

stremum na S u x_{0}, i gradf(x_{0}) ≠ 0, tada je T S_{x_{0}} ⊂ T M_{x_{0}}, gde je M = {x ∈ V : f(x) = f(x_{0})}.

Teorema 6.1. Neka je S površ u ℝ^{n} zadata sa (6.3), x_{0} ∈ S, D okolina x_{0} u ℝ^{n}, i

f ∈ C^{(1)}(D; ℝ). Ako f ima uslovni ekstrem na S u x_{0}, tada je x_{0} stacionarna tačka funkcije L(x, λ) = f−λ_{ν}F^{ν}, (x, λ) = (x^{1}, … x^{n}, λ_{1}, …, λ_{m}),

za neki izbor λ_{ν}, tj. gradf(x_{0}) = λ_{ν}gradF^{ν}(x_{0}).

f(x, y) = y, F (x, y) = x^{3} − y = 0 na krivoj S zadatoj jed y = x^{3} veličina y nema ekstrermum u (0, 0), mada ta

kriva tangira nivo površ f(x, y) = y = 0 u toj tački; primetimo da je gardf(0, 0) = (0, 1) ≠ 0 u toj tački.

Ovaj primer ilustruje razliku izmedju potrebnog i dovoljnog uslova.

Teorema 6.2. Neka je D okolina tačke x_{0} u ℝ^{n}, x_{0} ∈ S, S glatka površ u ℝ^{n}, f ∈ C^{(2)}(D; ℝ), x_{0} stacionarna tačka funkcije L(x, λ) = f − λ_{ν}F^{ν} za neki izbor λ_{ν}. Pri uslovu definitnosti forme (6.6), L ima uslovni ekstremum na S i T S; f ima

uslovni ekstremum na S.

Ako je forma (6.6) pozitivno definitna na T S_{x_{0}}, funk f|_{S} ima strogi lok mimimum u tački x_{0}; ako je forma (6.6) negativno definitna na T S_{x_{0}}, funk f|_{S} ima strogi lok minimum u tački x_{0} .

Tejlorov razvoj L u okolini x_{0},

(6.5)  L(x) − L(x_{0}) = \frac{1}{2}a_{ij}(x^{i} − x_{0}^{i})(x^{j} − x_{0}^{j}) + o(|x − x_{0}|^{2}) ,

gde je a_{ij} = ∂_{ij}L(x_{0}).

Postoji glatko preslikavanje, x = x(t), ℝ^{k} ∋ t → x ∈ ℝ^{n}, koje bijektivno preslikava neku okolinu 0 ∈ ℝ^{k} na neku okolinu x_{0} na S, x_{0} = x(0).

Kako je x(t) − x(0) = x′(0)t + o(|t|),t → 0, i x_{0} stacionarna tačka funkcije L(x, λ) = L(x), dobija se L(x) − L(x_{0}) = \frac{1}{2}a_{ij} ∂_{α}x^{i}(0) ∂_{β}x^{j}(0)t^{α} t^{β} + o(|t|^{2}), t → 0. Otuda pri uslovu definitnosti forme

(6.6)  a_{ij} ∂_{α}x^{i}(0) ∂_{β}x^{j}(0)t^{α} t^{β} = a_{ij} h^{i} h^{j},

gde je h^{i} = ∂_{α}x^{i}(0) t^{α} i h^{j} = ∂_{β}x^{j}(0) t^{β}, funkcija L(x(t)) ima za t = 0 eksteremum; L ima uslovni ekstremum na S i T S.

Zamena promenljivih h^{1}, …, h^{p}, koje se iz sistema (6.4) linearno izražavaju preko promenljivih h^{p+1}, …, h^{n}, transformiše (6.5) u

L(x_{0} + h) − L(x_{0}) = l(h^{p+1}, …, h^{n}) + o(|h|^{2}).

Sferne kordinate Za x ∈ ℝ^{n} def X_{ν} = (x_{1}, …, x_{ν}, 0, …, 0) ∈ ℝ^{n} i X_{ν}^{∗} = (x_{1}, …, x_{ν}) . Neka je

ρ = ρ_{k} = |X_{k}| = (x_{1}^{2} + ⋯ + x_{k}^{2})^{1/2} induktivno x ∈ ℝ^{k}, x = ρ Φ(θ_{1}, …, θ_{k−1}), gde je Φ = Φ_{k−1} k-vektorska funkcija k − 1-promenljivih x ∈ ℝ^{k+1}, x = x_{k+1}e_{k+1} + X_{k} neka je θ_{k} ugao iznedju vektora x i e_{k+1} x_{k+1} = ρ cos θ_{k}, |X_{k}| = ρ sin θ_{k} X_{ν}^{∗} = ρ sin θ_{k}Φ(θ_{1}, …, θ_{k−1}) Otuda Φ(θ_{1}, …, θ_{k−1}, θ_{k}) = ( sin θ_{k}Φ(θ_{1}, …, θ_{k−1}), cos θ_{k}) Grubo, ako su date sferne kordinate u ℝ^{k}, onda jednačine za x_{1}, ...,x_{k} množimo

sa sin θ_{k} i dodajemo jednačinu x_{k+1} = ρ cos θ_{k}.

J = J_{n} = ρ^{n−1} sin θ_{2} … sin θ_{n−1}^{n−2}

Neka je A = (x_{1}, …, x_{k}, 0) i r = |A| i C_{A}(θ_{k}) = (sin θ_{k})A + r(cos θ_{k})e_{k+1}, 0 < θ_{k} < π; primetimo da je A = re, gde je e = A/|A|.

C_{A} je otvorena polukružnica poluprečnika r. R_{∗}^{k} = {(x_{1}, …, x_{k}, 0) : x_{ν} ∈ ℝ, 1 ≤ ν ≤ k} Ako A, B ∈ R_{∗}^{k} i A ≠ B,polukružnice C_{A} i C_{B} nemaju zajedničkih tačaka; ??

∪_{A∈R_{∗}^{k}}C_{A}

je R^{k+1} bez x_{k+1} ose.

k-dim zaremina Neka su ξ_{1}, …, ξ_{k} k-vektora u Euklid prost ℝ^{k} i J = (ξ_{i}^{j}) matrica kord ovih vekt u odnosu na neku ort bazu e_{1}, …, e_{k}.

Da li možemo def k-dim zaremina paralepipeda Λ = {∑ λ_{ν}ξ_{ν} : 0 ≤ λ_{ν} ≤ 1} razapetog nad vektorima ξ_{1}, …, ξ_{k} sa

V = V (ξ_{1}, …, ξ_{k}) = det(ξ_{i}^{j}) ova formula je poznata za zaremina paralepipeda u ℝ^{3}. Pokažimo da def ne zavisi od baze. Neka je G = JJ^{∗}, gde J^{∗} transponovana matrica. Tada je G = (g_{ij}), gde je g_{ij} =< ξ_{i}, ξ_{j} >, detG = det(JJ^{∗}) = detJ detJ^{∗} = (detJ)^{2} i stoga (*) V = \sqrt{det < ξ_{i}, ξ_{j} >} Pokažimo induktivno da je def saglasna sa geometriskim intuicijom. Neka je V_{j} = L(ξ_{1}, …, ξ_{j}) pret da (*) važi za k vekt i neka je e′_{1}, …, e′_{k} ort baza u V_{k} i ξ_{k+1}^{∗} = P ξ_{k+1} proj vektora na ξ_{k+1} na V_{k} i h_{k} = ξ_{k+1} − ξ_{k+1}^{∗} i

e′_{k+1} = h_{k}/|h_{k}| h_{k} = (0, …, 0, |h_{k}|) u odnosu na bazu e′_{1}, …, e′_{k}, e′_{k+1} i V_{k+1} = |h_{k}|V_{k}

6.4. n-integral. Neka a, b ∈ ℝ^{n}; segment I_{a,b} = {x ∈ ℝ^{n} : a_{i} ≤ x^{i} ≤ b_{i}, i = 1, …, n; mera segmenta I_{a,b} je mI_{a,b} = ∏_{i=1}^{n}(b_{i} − a_{i}).

Neka je P = {I_{i} : i = 1, …, k}, podela intervala I ⊂ ℝ^{n}, ξ^{i} ∈ I_{i} podela sa ist tačkama (P, ξ) f : I → ℝ integralna suma

(6.7)  σ(f, P, ξ) = ∑_{i=1}^{k} f(ξ^{i}) |I_{i}|

ako postoji

(6.8)  lim_{λ(P)→0} σ(f, P, ξ)

naziva se integr i ozn sa J = ∫_{I} f(x)dx Darbu-ove sume

(6.9)  s(f, P) = ∑_{i=1}^{k} m_{i} |I_{i}|, S(f, P) = ∑_{i=1}^{k} M_{i} |I_{i}|

Ako su P′ i P ” dve podele segmenta I, s(f, P′) ≤ S(f, P ”) donji i gornji Darbu-ov integral \underline{J} = \underline{∫}_{I} fdx = sup_{P} s(f, P), \overline{J} = \overline{∫}_{I} fdx =

inf_{P} S(f, P)

Ako je f integrabilna tada je J = \underline{J} = \overline{J}.

Skup A ⊂ ℝ^{n} ima meru nula ako za svako ε > 0, postje intervali I_{1}, I_{2}, … I_{i}, … td je A ⊂ ∪_{i=1}^{∞}I_{i} i ∑_{i=1}^{∞} I_{i} < ε.

Skup A ⊂ ℝ^{n} ima meru nula u smislu Jordana ako za svako ε > 0, postji konačno intervala I_{1}, I_{2}, … I_{k}, td je A ⊂ ∪_{i=1}^{k}I_{i} i ∑_{i=1}^{k} I_{i} < ε.

U odnosu na meru nula u smislu Lebega ovde se pojavljuje zahtev konačnosti pokrivanja koji sužava Lebegovu klasu skupova mere nula.

Skup racionalnih brojeva ima meru nula u smislu Lebega, ali ne u smislu Jordana! Lebeg-ova teorema: Ogr realna funk def na segmentu I je integrabilna ako i samo

ako je skup tačaka prekida mere nula.

Skup E ⊂ ℝ^{n} naz se dopustiv ako je ogran i ∂E mere nula. Skup E ⊂ ℝ^{n} naz se merljiv u smislu Jordana ako je ogran i ∂E mere nula. Napomwena: Ako je E ograničen skup, ∂E je kompaktatan skup; otuda ako je

E dopstiv sledi da E je merljiv u smislu Jordana.

Unija i presek konačnog broja dopstivih skupova je dopstiv skup; razlika dopstivih skupova je dopstiv skup.

Klasa skupova merljiv u smislu Jordana jednaka je klasi dopustivih skupova. Ako je E dopustiv K_{E} je nep s.s. na ℝ^{n}. fK_{E} označava funk jednaku f(x) za x ∈ E i nula izvan E. Neka je f realna funk def na E

∫_{E} fdx := ∫_{I⊃E} fK_{E} dx,

gde je I proizvoljan interval koji sadrži E.

Merom Jordana skupa E ⊂ ℝ^{n} nazivamo vrednost

|E| := ∫_{E} 1dx

ako integral postoji. ∫_{E} je lin funkcional na ℜ(E). ako f ∈ ℜ(D) i f(x) ≥ s > 0 za sv x ∈ D, tada je 1/f ∈ ℜ(D). Ako je f ∈ ℜ(E), to je |f| ∈ ℜ(E) i

|∫_{E} f(x) dx| ≤ ∫_{E} |f|(x) dx.

Ako je E-povezan dopustiv skup i f : E → ℝ neprekidna, onda postoji ξ ∈ E, td

∫_{E} f(x) dx = f(ξ)|E| .

Izračunavanje zapremine

Neka je D ⊂ R^{2} regularna oblast, f : D → R^{+} ( z = f(x, y), z ≥ 0 ) glatka funkcija i Σ = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 < z < f(x, y)}. Tada je zapremina tela Σ jednaka

V = ∫∫_{D} f(x, y)dxdy.

dvojni pomoću dvostrukog, Fubini

Neka je f integrabilna na I = [a, b] × [c, d]

(6.10) ∫∫_{I} f(x, y)dxdy = ∫_{a}^{b} dx (∫_{c}^{d} f(x, y)dy) = ∫_{c}^{d} dy (∫_{a}^{b} f(x, y)dx)

I(x) = ∫_{c}^{d} f(x, y)dy neki broj izmedju donjieg \underline{I}(x) i gornjeg \overline{I}(x) Darbuov integrala; \underline{I}(x) = \overline{I}(x) za skoro svako x ∈ [a, b].

Propozicija 6.3. Neka je I ⊂ ℝ^{n}, I = I_{x} × I_{y}, I_{x} n − 1-dimenzuoni segment, I_{y} segment i E ⊂ I Žordan merljiv. Tada za skoro svako y_{0} ∈ I_{y} skup E_{y_{0}} = {(x, y ∈ E : y = y_{0}} je Žordan merljiv i

(6.11)  |E| = ∫_{I_{y}} |I_{y}|dy

Primer 6.4. Pokazati da je zapremina n-dim lopte B_{r} jednakaV_{n}(r) = c_{n}r^{n}. Up: za x ∈ [−r, r] ozn sa B_{x} presek lopte B i hiperravni ortogonane na [−r, r]; kako je radijus lopte B_{x}, jednak \sqrt{r^{2} − x^{2}}, to je po indukciji i formuli (6.11),

V_{n} = ∫_{−r}^{r} c_{n−1}(r^{2} − x^{2})^{\frac{n−1}{2}} dx = c_{n−1} (∫_{−π/2}^{π/2} cos^{n} φdφ) r^{n}

smena x = r sin φ ?? I_{m} = ∫_{−π/2}^{π/2} cos^{n} φ; I_{m} = \frac{m−1}{m}I_{m−2}; I_{2} = π/2, I_{1} = 2

V_{2k+1} = 2\frac{(2π)^{k}}{(2k + 1)!!}r^{2k+1}, V_{2k} = 2\frac{(2π)^{k}}{(2k)!!}r^{2k}; V_{n} = 2\frac{(π)^{n/2}}{Γ(n/2)}r^{n}

Zamena promenljivih

Ako je φ : D_{t} → D_{x} dif otv skupa D_{t} ⊂ ℝ^{n} na otv skup D_{x} ⊂ ℝ^{n}, f ∈ ℜ(D_{x}) i supp f- komaktan u D_{x}, tada je f ∘ φ(t)|det φ′(t)| ∈ ℜ(D_{t}) i

(6.12)  ∫_{D_{x}} f(x)dx = ∫_{D_{t}} f ∘ φ(t)|det φ′(t)| dt

Pret prvo da je D_{t} interval. Pr podeli P intervala I na

intervale I_{1}, I_{2}, …, I_{k} odg podela D_{x} na skupove

φ(I_{i}), i = 1, …, k.

(6.13)  ∫_{D_{x}} f(x)dx = ∑_{i=1}^{k} ∫_{φ(I_{i})} f(x)dx

Ako je f nep na D_{x}, po teoremi o srednjem,

(6.14)  ∫_{φ(I_{i})} f(x)dx = f(ξ_{i})|φ(I_{i})|,

gde ξ_{i} ∈ φ(I_{i}). Kako je, f(ξ_{i}) = f(φ(τ_{i})), gde je τ_{i} = φ^{−1}(ξ_{i}), to ostaje da se poveže |φ(I_{i})| sa |I_{i}|.

Ako bi φ bilo linearno, φ(I_{i}) bi bio paralepiped, čija je zapremina |det φ′||I_{i}|. Ali, dif se lokalno aproksimira sa lin preslikavanjem: |φ(I_{i})| ≈ |det φ′(τ_{i})||I_{i}| (

može se pokazti da postoji τ_{i} ∈ I_{i} tako da važi jednakost). Otuda

(6.15)  ∫_{D_{x}} f(x)dx = ∑_{i=1}^{k} ∫_{φ(I_{i})} f(x)dx ≈ ∑_{i=1}^{k} f(φ(τ_{i}))|det φ′(τ_{i})||I_{i}|

Na desnoj strani je integralna suma funkcije f ∘ φ(t)|det φ′(t)| koja odgovara podeli P segmenta I sa istak tačkama τ; kada λ(P) → 0, iz ?? () i (), sledi dobija se formula. Naz put se može proći sa svim detaljima; u literaturi se odustaje od ovog puta u nameri da se izbegnu tehiničke teškoće.

Def

(6.16)  ω(h) = sup_{|ξ−η|<h,i,j=1,...,n} |D_{j}φ^{i}(ξ) − D_{j}φ^{i}(η)|.

Lema 6.1. Neka je kub Q ⊂ I, ivice h, P = φ(Q), tada je

|P | = |J(t_{0})|Q| + O(h^{n}ω(h)),

gde je t_{0} ∈ Q proizvoljna tačka i konstanta u izrazu O(h^{n}ω(h)) ne zavisi od Q ⊂ I.

teoreme o srednjoj vrednosti

(6.17)  φ^{i}(t) − φ^{i}(t_{0}) = dφ^{i}(c_{i})(t − t_{0})

neka je L = φ′(t_{0}), A(t) = φ(t_{0}) + L(t − t_{0})

(6.18)  φ^{i}(t) − φ^{i}(t_{0}) − L^{i}(t − t_{0}) = ∑(D_{k}φ^{i}(c_{i}) − D_{k}φ^{i}(t_{0}))(t^{k} − t_{0}^{k})
(6.19) |φ^{i}(t) − A^{i}(t)| ≤ \sqrt{n} ω(h)|t − t_{0}|, |φ(t) − A(t)| ≤ n ω(h)|t − t_{0}| ≤ n ω(h) h

Neka je C = ∂A(Q), r = nω(h) h, R = ∪_{x∈C}B(x, r).

proveriti

(6.20)  A(Q) \ R ⊂ φ(Q) ⊂ A(Q) ∪ R.

post konstante c_{i}, koje ne zavise od Q ⊂ I tako da je |L(t−t_{0})| ≤ c_{1}h, |C| ≤ c_{2}h^{n−1} i |R| ≤ c_{3}ω(h)h^{n} ??

(6.21)

Neka je E ⊂ ℝ^{n} ograničen skup. Funkcija K_{E} je ℜ-integrabilna na E ako i samo ako skup ∂E ima meru nula (ako i samo ako je E merljiv u Žordanovom smislu).

Postoji primer ograničene oblasti nemerjive u Žordanovom smislu; u prvom čitanju čitalac može uprostiti situaciju i smatrati da u praksi radimo samo sa skupovima koji su merjivi u Žordanovom smislu!

Umesto podela pomoću intervala mogu se razmatrati podele

pomoću ”merljivih” skupova. Postoje izvesne teškoće u vezi definicije ”merljivih” skupova; ilustrujmo to za podskupove ℝ (isto važi i za ℝ^{n}): Svakom intervalu I = (a, b) na realnoj pravoj odgovara merni broj m(I) - dužina b − a. Da li i drugim skupovima A ⊂ ℝ odgovara odredjen realan broj-mera skupa m(A) tako da je

1. m(A) dužina intervala kada je A interval

2. m(A) ima karakteristične osobine dužine intervala: a. m je nenegativna i b. (aditivnost) mera unije disjunktnih skupova jednaka je zbiru mera skupova

Ne postoji funkcija navedenih osobina na P ℝ. Interesantno je odrediti ”maksimalnu” familiju podskupova skupa ℝ (odrediti merljive skupove) na kojoj postoji funkcija navedenih osobina i specijalno ispitati svojstvo aditivnost.

Pomoću merljivih skupova definišu se merljive funkcije i uvodi Lebeg-ov integral, koji uopštava Riemann-ov i ima interesantne (važne) primene. U kursu Analize 2A, ne uvodimo

Lebeg-ov integral i ”radimo” sa skupovima merljivim u Žordanovom smislu.

Nesvojstveni integral

neka je f : E → ℝ. Ako za sve montone pokrivače E_{k} skupa E, koji imaju svj da je f integrabilna na E_{k}, postoji limes

lim_{k→∞} ∫_{E_{k}} fdx

i oval limes ne zavisi od izbora familije E_{k}, nazivamo nesvojstveni integral funkcije f na skupu E i označavamo sa ∫_{E} fdx; ako je ∫_{E} fdx konačan broj kažemo da nesvojstveni integral funkcije f na skupu E konvergira.

Ako je f : E → ℝ nenegativna i bar za jedan monton pokrivač E_{k} skupa E, postoji konačan limes, to nesvojstveni integral funkcije f na skupu E konvergira.

Proveriti

∫_{ℝ^{2}} e^{−(x^{2}+y^{2})}dxdy = π

Da li konvergiraju integrali

∫_{ℝ} sin (x^{2})dx?

∫_{ℝ^{2}} sin (x^{2} + y^{2})dxdy?

Za α < 1,

∫_{x^{2}+y^{2}<1} \frac{dxdy}{(1 − x^{2} − y^{2})^{α}} = \frac{π}{1 − α}

Up: x = r cos φ, y = r sin φ

6.5. Razni primeri; Zordanova mera*. Ograničen skup E ⊂ ℝ^{n} je merljiv u Žordanovom smislu ako je ∂E mere nula.

Neka je E ⊂ ℝ^{n} ograničen skup. Funkcija K_{E} je R-integrabilna na E ako i samo ako je E merljiv u Žordanovom smislu.

Neka je P podela segmenta I koji sadrži E

\underline{ω}_{P} (E) unija svih podsegmenata podele P koji pripadaju E^{∘}, a sa \overline{ω}_{P} (E) unija svih podsegmenata koji sadrže bar jednu tačku skupa E; kako je \overline{ω}_{P} (E) zatvoren skup, E ∪ ∂E ⊂ \overline{ω}_{P} (E). Zbir mera svih podsegmenata iz \underline{ω}_{P} (E) odnosno \overline{ω}_{P} (E) označimo sa |\underline{ω}_{P} (E)|, odnosno |\overline{ω}_{P} (E)|.

ω_{i}(E) := sup_{P} |\underline{ω}_{P} (E)|, ω_{e}(E) := inf_{P} |\overline{ω}_{P} (E)|

E merljiv u Žordanovom smislu ako i samo ako je ω_{i}(E) = ω_{e}(E).

Neka je R = [a, b] × [c, d] pravouganik u ℝ^{2} i A = R \ ℚ × ℚ. Skup ℚ × ℚ je mere nula, ω_{i}(R) = 0, a ω_{e}(R) = (b − a)(d − c). Skupovi mere nula utiču na Žordanovu meru, ali ne na Lebegovu meru.

Propozicija 6.4. Neka je ograničen skup M merljiv u Žordanovom smislu. Tada je M Lebeg merljiv.

Kako su ∂M i \overline{M} zatvoreni i otuda Borelovi skupovi i skup M_{1} = M^{∘} = \overline{M} \∂M je Borelov skup; takodje M^{∘} je otvoren i otuda Borelov skup.

S obzirom da je ∂M mere nula u Žordanovom smislu, skup M_{2} = M ∩ ∂M je mere nula.

Svaka tačka skupa M je unutrašnja ili granična tačka.

Otuda M = M_{1} ∪ M_{2} i M je Lebeg merljiv.

Neka je A ⊂ R^{m}. Skupovi ∂A i \overline{A} zatvoreni i otuda Borelovi skupovi.

\overline{A} = A ∪ ∂A

Da li je A = \overline{A} \ ∂A i otuda A Lebeg merljiv ?

Primer 6.5. Q_{0} = Q∩(0, 1), Q_{0}^{3} je prebrojiv, ∂Q_{0}^{3} = I^{3} nije merljiv u Žordanovom smislu. U opštem slučaju, prebrojiva unija skupova merjivih u Žordanovom smislu nije merjiva u Žordanovom smislu.

Primer 6.6. Primer ograničene oblasti nemerjive u Žordanovom smislu. Neka je, 0 < ε < 1/2, r_{k}, k ≥ 1 niz racionalnih brojeva iz (0, 1) i

J_{k} = (r_{k} − ε2^{−k−1}, r_{k} + ε2^{−k−1}) ∩ (0, 1), R_{k} = J_{k} × (0, 1), R_{0} = (0, 1) × (0, ε) i Ω = ∪_{k=1}^{∞}R_{k}.

Proveriti da je

∑ |J_{k}| ≤ ∑ ε 2^{−k} = ε

i otuda m(Ω) ≤ ε,

\overline{Ω} = I^{2}, ∂Ω = I^{2} \ Ω

i otuda ∂Ω ima pozitivnu Lebegovu meru.

Svaki neprazan otvoren skup G u R^{m} može se prikazati kao najviše prebrojiva unija zatvorenih kocki Q_{k}, koje nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka i čije su strane paralelne koordinatnim ravnima; pri tome je

m(G) = ∑ |Q_{k}|.

Teorema 6.3. Neka je E ⊂ ℝ^{n} ograničen skup merljiv u Žordanovom smislu i f R-inegrabilna na E, tada je f Lebeg integrabilna na E.

Neka je E_{0} skup tačaka prekida funkcije f. Na osnovu teoreme o R-inegrabilnosti, m(E_{0}) = 0.

Neka je c ∈ ℝ i E^{c} = {f > c} ∩ (E \ E_{0}).

Ako x ∈ E^{c}, s obzirom da je f neprekidna u x, tada postoji otvren skup V_{x}, u odnosu na E \ E_{0}, tako da je V_{x} ⊂ E^{c}; i postoji otvoren skup G_{x} u ℝ^{n}, tako da je V_{x} = (E \ E_{0}) ∩ G_{x}.

Neka je V = ∪_{x∈E^{c}}V_{x}, G = ∪_{x∈E^{c}}G_{x}. Tada je E^{c} = (E \ E_{0}) ∩ G. Kako je E \ E_{0} Lebeg merljiv, E^{c} je Lebeg merljiv. Otuda je f merljiva i stoga f Lebeg integrabilna na E.

Primer 6.7. Neka je f jenako 1 na Kantorovom supu K i 0 na K^{c} = [0, 1] \ K. Tada f je neprekidna na K^{c} i stoga Riman integrabilna i ∫_{0}^{1} f(x)dx = 0.

Primer 6.8. Navesti primer funkcije f koja je pozitivna na svuda gustom skupu

u ℝ^{3}, za koju je ∫∫∫_{ℝ^{3}} f(x, y, z) dx dy dz = 0.

Up: ako x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ Q^{3} i x_{k} = m_{k}/n_{k} redukovan razlomak i n = max{n_{1}, n_{2}, n_{3}} definišimo f(x) = 1/n i f(x) = 0 ako x ∉ Q^{3}.

Primer 6.9. Neka je f = (x^{2} − y^{2})(x^{2} + y^{2})^{−2}, J(x) = ∫_{0}^{1} f(x, y)dy i I(y) = ∫_{0}^{1} f(x, y)dx. Dokazati da je ∫_{0}^{1} Jdx = π/4 i ∫_{0}^{1} Idy = −π/4. Da li je to u kontradikciji sa Fubinijevom teoremem ?

Uputstvo: Neka je F = y(x^{2} + y^{2})^{−1}; tada je ∂_{2}F = f i otuda J = arctan; I = −J = − arctan. Neka je D = {(x, y) : 0 < x, y < 1, x^{2} + y^{2} < 1}. Koristeći polarne kordinate pokazati da integral ∫_{D} |f|dxdy = +∞; ?? divergira; f nije Lebeg integrabilna na [0, 1] × [0, 1].

6.6. Funkcionalni redovi. razmena limesa za niz funkcija.

Neka je A ⊂ R, f_{n} : A → R niz i f_{n} rav kon ka f na A, a tač nag skupa A za svako n, post lim_{x→a} f_{n}(x) = b_{n} Tada

lim_{x→a} lim_{n→∞} f_{n}(x) = lim_{n→∞} lim_{x→a} f_{n}(x) .

Navesti primer niza za koji razmena limesa i integrala daje netačan rezultat.

Primer 6.10. Neka je a_{n}(x) = \sqrt{1 + n^{2}x^{2(n−1)}} i L_{n} = ∫_{0}^{1} \sqrt{1 + n^{2}x^{2(n−1)}} dx. Proveriti da je lim_{n→∞} L_{n} = 2 i lim_{n→∞} a_{n}(x) = 1 za 0 ≤ x < 1. Up: neka je f_{n}(x) = x^{n} i γ_{n}(x) = (x, f_{n}(x)), 0 ≤ x ≤ 1; L_{n} je dužina puta γ_{n}. Neka je 0 < s < 1. Tada je s + 1 − s^{n} ≤ L_{n} < 2 i stoga s + 1 ≤ lim inf_{n→∞} L_{n} ≤ 2; otuda kada s → 1_{−}, sledi lim_{n→∞} L_{n} = 2.

Navesti primer reda za koji integracija reda ”član po član” daje netačan rezultat.

Primer 6.11. Neka je f_{k}(x) = (k + 1)x^{k} i a_{k}(x) = f_{k}(x) − f_{k+1}(x).

Tada je a_{k}(x) = ((k + 1)(1 − x) − x)x^{k}, ∫_{0}^{1} f_{k}(x)dx = 1 i otuda ∫_{0}^{1} a_{k}(x)dx = 0, k ≥ 0, s(x) = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}(x) = f_{1}(x) i otuda ∫_{0}^{1} s(x)dx = 1. Integracijom reda ”član po član” dobija se 0.

Primer 6.12. Neka je a_{k}(x) = \frac{coskx}{2^{k}} i s(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(x). Dokazati da je

s(x) = Re\frac{1}{1 − e^{ix}/2} .

Proveriti da li je integral ∫_{0}^{2π} s(x)dx = 2π.

Teorema 6.4. Neka su funkcije a_{k} definisane na A i a tačka nagomilavanja skupa A,

red ∑_{k=1}^{∞} a_{k}(x) ravnomerno konvergira na A i

postoji lim_{x→a} a_{k}(x) = A_{k} za svako k ∈ N.

Tada red ∑_{k=1}^{∞} A_{k} konvergira i

lim_{x→a} ∑_{k=1}^{∞} a_{k}(x) = ∑_{k=1}^{∞} A_{k} .

Primer 6.13. Neka je r_{ν} ograničen niz različitih realnih brojeva, A = {r_{ν} : ν ≥ 1}, B = ℝ \ A, φ_{ν}(x) = |x − r_{ν}| i

f(x) = ∑_{ν=1}^{∞} \frac{φ_{ν}(x)}{2^{ν}}

a) Postoji f′(x) za svako x ∈ B i

b) ne postoji f′(x) za svako x ∈ A.

Up: |φ_{ν}(x) − φ_{ν}(a)| ≤ |x − a| Red

(6.22)  s(x, a) = \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = ∑_{ν=1}^{∞} \frac{φ_{ν}(x) − φ_{ν}(a)}{x − a}2^{−ν}

rk po x u nekoj ok a

(6.23)  S_{n}(x, a) = ∑_{ν=1}^{n} \frac{φ_{ν}(x) − φ_{ν}(a)}{x − a}2^{−ν}

Ako a ∈ B, tada S′_{n}(a) = lim_{x→a} S_{n}(x, a) = ∑_{ν=1}^{n} sgn(a − r_{ν})2^{−ν} Kako S_{n}(x) ravnomerno konvergira ka s(x) kada n → ∞, na osnovu teoreme o

razmeni limesa, postoji lim_{x→a} S(x, a) i jednak je

∑_{ν=1}^{∞} sgn(a − r_{ν})2^{−ν} .

ne postoji za a ∈ A; a = r_{k} Neka je ?? g(x) = f(x) − φ_{k}(x)2^{−k} Na osnovu a) post g′(a). Ako postoji f′(a), onda postoji φ′_{k}(a); kontradikcija. skracene oznake; neka je

(6.24)  s(x, a) = \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = ∑_{ν=1}^{∞} 2^{−ν}Ψ_{ν}(x, a) ,

gde je

Ψ_{ν}(x, a) = \frac{φ_{ν}(x) − φ_{ν}(a)}{x − a}

i ??

s_{1}(x) = ∑_{ν=1}^{∞} Ψ_{ν}(x, a)2^{−ν} − Ψ_{k}(x)2^{−k}

Na osnovu teoreme o razmeni limesa i sume reda sledi ! Dokazati direktno Primer 6.13: uputstvo red 6.22 rav kon konvergira.

6.7. Teorema Stoks i Gausa-Ostrogradskog. Teorema Gausa-Ostrogradskog, Stoks u vektorskom obliku, zapis pomoću determinante

1-forme na R^{n} su linearne funkcije po svakoj promenljivoj, antisimetrične (ako vektori promene mesta forma menja znak).

Ako su L_{1}, … L_{k} ∈ L(R^{n}, R) 1-forme

L_{1} ∧ ⋯ ∧ L_{k} je k-forma, koja se na fam vektora ξ_{1}, …, ξ_{k} ∈ R^{n} def

L_{1} ∧ ⋯ ∧ L_{k}(ξ_{1}, …, ξ_{k}) = | \begin{matrix}L_{1}(ξ_{1}) & … & L_{k}(ξ_{1}) \\ … & … & … \\ L_{1}(ξ_{k}) & … & L_{k}(ξ_{k}) \end{matrix} | = det(L_{j}(ξ_{i})

Neka su u, v ∈ R^{3}

dx ∧ dy(u, v) = | \begin{matrix}u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{matrix} | = det(L_{j}(ξ_{i}) = u_{1}v_{2} − v_{1}u_{2}

površina parelograma razapetog nad vektorima (u_{1}, u_{2}), (v_{1}, v_{2}) ∈ R^{2}.

ω = P dx + Qdy + Rdz, dω = d(P dx + Qdy + Rdz),

npr. dP = ∂_{x}P dx + ∂_{y}P dy + ∂_{z}P dz, d(P dx) = dP ∧ dx = (∂_{y}P dy + ∂_{z}P dz) ∧ dx = ∂_{y}P dy ∧ dx + ∂_{z}P dz ∧ dx. Otuda

dω = | \begin{matrix}dydz & dxdz & dxdy \\ ∂_{x} & ∂_{y} & ∂_{z} \\ P & Q & R \end{matrix} |

Teorema Stoksa: Neka je S orjentisana deo po deo glatka kompaktna dvodimenziona površ sa krajem Γ = ∂S u oblasti G ⊂ R^{3}, u kojoj je zadana glatka 1-forma ω = P dx + Qdy + Rdz.Tada je ∫_{Γ} ω = ∫_{S} dω.

Neka je u prosto povezanoj oblasti zadato neprekidno vektorsko polje v = (P, Q), koje ima neprekidne parcijalne izvode; i neka je ω = P dx+Qdy. Potreban i dovoljan uslov da integral ∫_{AB} ω ne zavisi od puta je ∂_{x}Q = ∂_{y}P.

Da li je

grad arctan \frac{y}{x} = (\frac{−y}{x^{2} + y^{2}} , \frac{x}{x^{2} + y^{2}} ) ?

Navesti primer krivoinijskog integrala druge vrste za koji primena Stoksove teoreme daje netačan rezultat.

Primer 6.14. Neka je z = x + iy, x, y ∈ R, ω = dz/z i γ pozitivno orijentisana jedinična kružnica. Proveriti da je ω = ω_{1} + i ω_{2}, gde je

ω_{1} = \frac{xdx + ydy}{x^{2} + y^{2}} , ω_{2} = \frac{xdy − ydx}{x^{2} + y^{2}} = P dx + Qdy, (6.25)

P = −y(x^{2} + y^{2})^{−1}, Q = x(x^{2} + y^{2})^{−1}, (6.26) ∂_{x}Q = ∂_{y}P = (y^{2} − x^{2})(x^{2} + y^{2})^{−2} (6.27)

∫_{γ} ω_{2} = 2π . (6.28)

x = cos t, y = sin t; xdy − ydx = (cos^{2} t + sin^{2} t)dt = dt.

Objasniti zašto primena Stoksove teoreme daje netačan rezultat; up P i Q su nep dif na D = R^{2} \ {(0, 0}; D nije prosto povezana oblast.

Teorema Gausa: Neka je je S prosta glatka površ koja ograničava oblast V, n spoljašnja normala na površ S i v = (P, Q, R) neprekidno vektorsko polje , koje ima neprekidne parcijalne izvode u \overline{V}. Tada je

∫∫_{S} < v, n > dS = ∫∫∫_{V} div v dV.

Neka je X = (x, y, z) i r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}. Tada je ∂_{x}r = −x/r^{3} i otuda v = grad r = −(x, y, z)/r^{3}, divv = 0 za X ≠ 0 .

Primer 6.15. Integral Gausa

I(x, y, z) = ∫∫_{S} \frac{cos < \overrightarrow{r}, n >}{r^{2}} dS,

gde je S prosta glatka površ koja ograničava oblast V, n spoljašnja normala na površ S u tački X = (ξ, η, ζ), \overrightarrow{r} vektor koji spaja tačke M = (x, y, z) i X, i r = |\overrightarrow{r}|. Ako M ∈ V, tada I(M) = 4π. Ako M ∉ \overline{V}, tada I(M) = 0. up: \frac{cos<\overrightarrow{r},n>}{r^{2}} =< v, n >, gde je v = \overrightarrow{r}/r^{3}; divv = 0 za x ≠ M.

Lucas Let P be a polynomial. The smallest convex polygon that contains the zeros of P also contains the zeros of P′.

In particular, if zeros of P are in the unit disc, then also zeros of P′ are in the unit disc.

(6.29)  \frac{P′(z)}{P (z)} = \frac{1}{z − a_{1}} + ⋯ + \frac{1}{z − a_{n}}

(6.30)  \frac{\overline{P′(z)}}{\overline{P (z)}} = \frac{z − a_{1}}{|z − a_{1}|^{2}} + ⋯ + \frac{z − a_{n}}{|z − a_{n}|^{2}}

Let P′(a) = 0 and A = \frac{1}{|a−a_{1}|^{2}} + ⋯ + \frac{1}{|a−a_{n}|^{2}} . Then

aA = \frac{a_{1}}{|a − a_{1}|^{2}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{|a − a_{n}|^{2}} .

Hence a belongs to convex hull of a_{1}, …, a_{n}. MEMO granična vrednost funkcija Stoks u vekt obliku, zapis pomoću det *Koleginice Vujičić Staša, Jasna Milovanović, Nataša Djurdjevac i kolegae Bojan

Živković i Ognjen Šobjajić pažljivo su pročitali rukopis i dali korisne sugestije.

References

[Ka-Ad ] D. Adnadjević, Z. Kadelburg Matematička analiza II , Beograd, 1991.

[Ah] L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co (1966)

[Alj] S. Aljančić Uvod u realnu i funkcionalnu analizu , Gradjevinska knjiga, Beograd, 1968. [Ar-Do-Jo] Arsenović, Dostanić, Jocić Teorija mere, funkcionalna analiza, teorija operatora,

Beograd, 1998. [Be-G] A. Barenstein, R. Gay, Complex variables, Springer-Verlag, 1991.

[Co] J. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag 1978. [Ch-Br] R.Churchill, J.Brown Complex variables and applications, McGraw-Hill Book Co, 1984.

[Iv] Ivković, Uvod u teoriju verovatnoće, Beograd (??) [Je-Ma ] M. Jevtic, M. Mateljevic,Analiticke funkcije, Beograd, 1986. [Ko-Fo] Kolmogorov, Fomin Elementi teorije funkcija i funkcionalnog analiza, Moskva, 1981 [Ma]

[Ma0] M. Mateljević, Nejednakosti u H^{p} prostorima i njihova ekstremalna svojstva, Magistarski rad, 1976.

[Ma 1] M. Mateljević, Kompleksni brojevi i osnovni stav Algebre, Nastava Matematike, Beograd,

2003. [Ma 6] M. Mateljević, Promena argumenta duž puta i Jordanove teoreme, Nastava Matematike,

Beograd, 2004. [Ma 9] M. Mateljević,Kompleksna analiza, Banja Luka, 2004. [Ma 10] M. Mateljević, Kompleksne funkcije 1 & 2, Beograd, 2006.

[Mi] D. Mitrinovic, Kompleksna analiza , Beograd, 1973.

[Ru] W.Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co, 1966.

[Zo] V. Zorič, Analiza II , Moskva, 1984. [Ša] Šabat, Uvod u Kompleksnu analizu, Moskva, 1976. [Ša-La] Šabat, Lavrentijev, Metodi teorija funkcija kompleksne promenljive , Fizmatgiz, Moskva,

1973.

Faculty of mathematics, University of Belgrade, Studentski Trg 16, Belgrade, Yugoslavia

   E-mail address: miodrag@matf.bg.ac.yu