Logika prvog reda

Pravila zaključivanja za logiku prvog reda:

Univerzalno instanciranje: Iz premise ∀xP(x) i toga da je c član skupa entiteta na koje primenjujemo univerzalni kvantifikator sledi da važi: P(c).

Univerzalna generalizacija: Iz premise da je P(c) tačno za sve vrednosti c iz skupa entiteta na koje primenjujemo univerzalni kvantifikator, sledi ∀xP(x).

Egzistencijalno instanciranje: Iz premise ∃xP(x) sledi da postoji element c iz skupa entiteta na koje primenjujemo egzistencijalni kvantifikator tako da je P(c) tačno.

Egzistencijalna generalizacija: Iz premise da je P(c) tačno za neko poznato c, zaključujemo da je tačno tvrdjenje ∃xP(x).

Zadatak 1

Objasniti koja su pravila zaključivanja iskorišćena u svakom od koraka:

(a) Milan, student ove grupe, zna da piše programe u Javi. Svako ko zna da piše programe u Javi može da dobije dobro plaćen posao. Stoga neko u ovoj grupi može da dobije dobro plaćen posao.

Rešenje:

Označimo sa c(x) tvrdjenje "x je u ovoj grupi", sa j(x) tvrdjenje "x zna da piše programe u Javi", sa h(x) "x može da dobije dobro plaćen posao".

Onda možemo da zapišemo hipoteze kao:

• H1: c(M) ∧ j(M)
• H2: ∀x(j(x) → h(x))

• a tvrdjenje koje treba da dokažemo je:

• Z: ∃x(c(x) ∧ h(x))

• Dokaz je onda sledećeg oblika:

1. c(M) ∧ j(M) (H1)
2. c(M) (1,pojednostavljivanje)
3. j(M) (1,pojednostavljivanje)
4. ∀x(j(x) → h(x)) (H2)
5. j(M) → h(M) (4, univerzalno instanciranje)
6. h(M) (5,3,MP)
7. c(M) ∧ h(M) (1,6, spajanje)
8. ∃x(c(x) ∧ h(x))

(b) Svako iz Nju Džerzija živi u krugu od 50 milja daleko od okeana. Neko iz Nju Džerzija nikada nije video okean. Stoga neko ko živi u krugu od 50 milja daleko od okeana nikada nije video okean.

Uputstvo: Prvo se osloboditi egzistencijalnog kvantifikatora, pa tek onda univerzalnog kvantifikatora.

Zadatak 2

Objasniti koje se pravilo zaključivanja koristi u svakom od koraka: Neko u ovoj grupi uživa da gleda tenis. Svaka osoba koja uživa da gleda tenis, voli da se bavi sportom. Stoga u ovoj grupi postoji osoba koja voli da se bavi sportom.

Zadatak 3

Objasniti koje se pravilo zaključivanja koristi u svakom od koraka: Marija, student četvrte godine, je bila u Parizu. Svako ko ode u Pariz ode da poseti Luvr. Svako ko poseti Luvr vidi poznatu sliku Mona Liza. Stoga, postoji student četvrte godine koji je video sliku Mona Liza.