KONVEKSNA ANALIZA
Beograd, 1990.
V (3+1) PU
Smer: N
- 1.
-
Afini skupovi i hiperravni. Pojam konveksnog skupa i osnovna
svojstva. Relativna unutrašnjost. Teorema o razdvajanju
konveksih skupova. Hiperravan oslonca. Krein-Millmanova teorema.
Teoreme Carathodoryja, Radona, Hellyja, Krasnoseljskog, Junga,
Minkowskog.
- 2.
-
Polarni skupovi. Konveksni konusi i njima polarni konusi.
Teorema Hardy-Littlewood-Polya. Neprekidnost konveksnih funkcija.
Funkcija oslonca i funkcija udaljenosti. Sistemi nejednakosti za
konveksne funkcije. Minimax teorema von Neumanna. Konjugovane
funkcije. Diferencijabilnost konveksnih funkcija. Subdiferencijal.
- 3.
-
Familije konveksnih skupova. Hausdorffova metrika. Blaschkeova
teorema. Aproksimacija konveksinm polinomima. Izoperimetrijski
problem.
- 4.
-
Simpleksi, kompleksi, simplicialne podele. Spernerova lema.
Brouwerova teorema. Kakutanijeva teorema.
KOMPLEKSNE FUNKCIJE
Beograd, 1990.
VII (2+2) PU
Smer: N
- 1.
-
UVOD.
Polje kompleksnih brojeva. Funkcije: konjugovana vrednost, imaginarni i
realni deo, modul, argument (i njihove osobine). Trigonometrijski oblik
kompleksnog broja.
- 2.
-
DIFERENCIJALNI RAČUN.
Limes kompleksne funkcije. Neprekidnost. Izvod. Pojam holomorfnosti.
R-diferencijabilnost i C-diferencijabilnost. Cauchy-Rieman-ovi uslovi.
Konformnost. Neophodan i dovoljan uslov za konformnost. Pregled
elementarnih
funkcija i njihove osobine: linearna funkcija, bilinearna, stepena
(zn), eksponencijalna, trigonometrijske i hiperboličke.
Pojam
analitičke funkcije. Korena funkcija (nÖ{z}), logaritamska i
stepena ( za).
- 3.
-
INTEGRALNI RAČUN.
Pojam putanje i krive. Pojam integrala duž glatke putanje (krive),
važni primeri i osobine. Cauchy-jeva osnovna lema (teorema).
Egzistencija
primitivne funkcije u disku. Primitivna funkcija duž putanje i njena
egzistencija. Newton-Leibnitz-ova formula. Pojam integrala holomorfne
funkcije
duž bilo koje putanje. Cauchy-jeva (velika) teorema i njene prve
posledice.
Cauchy-jeva integralna formula.
- 4.
-
TEORIJA REDOVA.
Stepeni redovi i rekapitulacija osnovnih teorema. Razlaganje holomorfne
funkcije i stepeni red. Holomorfnost sume stepenog reda. Egzistencija
ostalih izvoda holomorfne funkcije. Morerina teorema. Razni pristupi pojmu
holomorfnosti.
Laurent-ovi redovi. Razlaganje holomorfne funkcije u Laurent-ovred.
Cauchy-jeve
nejednakosti. Liuoville-ova teorema. Izolovanost nula holomorfnih
funkcija.
Teoreme o jedinosti.
Singulariteti i njihova klasifikacija. Reziduum i njegovo računanje.
Teorema o reziduumu.
ANALIZA 3
Beograd, 1990.
V (2+2), VI (4+2) PU
Smer: N
- 1.
-
Uvodni pojmovi iz teorije skupova (kardinalni brojevi, aksioma izbora i
sl.).
Topološki prostori (pojam i deskriptivne osobine skupova; potprostori;
koneksnost; separabilost; neprekidnost; topološki proizvod i
kompaktnost;
relacija topoloških i metričkih prostora).
- 2.
-
Osnovi teorije mere (Uvodni pojmovi; Lebegovo produženje mere; merljive
funkcije; Lebegova i Lebeg-Stieltjesova mera na pravoj). Lebegov integral.
Realna mera (Radon Nikodimov stav i slično). Proizvod mera i
Fubinijeva
teorema.
- 3.
-
Linearni prostori (pojam topoloških i vektorskih i lokalno-konveksnih
prostora; normirani vektorski prostor; Hilbertov prostor). Prostori
Lp.
Han-Banahova teorema i posledice. Ograničeni linearni operatori u
normiranim prostorima ( prostor OLO; princip konvergencije i princip
uniformne ograničenosti; otvoreni operatori; zatvoreni operatori).
Konjugovani prostor (ograničeni linearni funkcional, reprezentacija
u
nekim prostorima; slaba topologija; refleksibilnost).
- 4.
-
Hilbertov prostor (ortonormirane baze u HP; samokonjugovani operatori u
HP;
kompaktni operatori; rezolventa i spektar samokonjugovanog operatora).
Pojam Banahove algebre.
Nelinearni operatori (elementi diferencijalnog računa u normalnim
prostorima; monotoni operatori).
Osnovni pojmovi teorije aproksimacije.
NUMERIČKA ANALIZA 1
Beograd, 1990.
V (2+2), VI (2+2) PU
Smer: N
- 1.
-
INTERPOLACIJA.
Opšti zadatak interpolacije: podeljene razlike;
Njutnovi interpolacioni polinomi; optimizacija rasporeda
čvorova; konvergencija interpolacionog procesa; Ermitov interpolacioni
polinom; Splajn-interpolacija; trigonometrijski interpolacioni polinomi;
interpolacija funkcija više nezavisno promenljivih.
- 2.
-
APROKSIMACIJA FUNKCIJA.
Aproksimacija u linearnim normiranim prostorima;
najbolja ravnomerna aproksimacija neprekidnih funkcija uopštenim
polinomima; Harova teorema; Čebiševljeva teorema; algebarski
polinomi najbolje aproksimacije; ocena veličine najbolje ravnomerne
aproksimacije; priblino odredjivanje polinoma; aproksimacija u
Hilbertovim prostorima; srednjekvadratna aproksimacija funkcija
algebarskim
polinomima; metoda najmanjih kvadrata; ortogonalni sistemi.
- 3.
-
NUMERIČKA INTEGRACIJA.
Uvodna razmatranja; konvergencija kvadraturnog
procesa optimizacija kvadraturnih formula; Rungeova ocena greške;
Rombergove formule; Ričardsonova ekstrapolacija; integracija funkcija
više promenljivih; metoda Monte-Karlo.
- 4.
-
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA.
Metode proste iteracije; Njutnova
metoda; modifikacija Njutnove metode; iterativne metode višeg reda;
gradijentne metode.
- 5.
-
SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA.
Neke napomene o metodi
eliminacije; uslovljenost matrica; uticaj grešaka zaokrugljivanja na
tačnost rezultata; uvodna razmatranja o iterativnim metodama; matoda
proste iteracije s optimalnim izborom parametara: Ričardsonova metoda;
gradijentne metode.
- 6.
-
PROBLEM SOPSTVENIH VREEDNOSTI MATRICA.
Metode za odredjivanje
karakterističnog polinoma; metoda interpolacije; metode Leverijea;
metoda
Krilova; metoda Danilevskog; iterativne metode za rešavanje potpunog
problema sopstvenih vrednosti; delimičan problem sopstvenih vrednosti;
metoda proizvoljnog vektora, metoda tragova, metoda skalarnog proizvoda,
metoda iscrpljivanja.
MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE
Beograd, 1990.
V (2+2), VI (2+2)
Smer: N
- 1.
-
LINEARNO PROGRAMIRANJE.
Sistemi linearnih nejednačina. Teoreme alternative. Uslovi
optimalnosti.
Dualnosti. Simpleks i dualna simpleks metoda. Karamarkov metod.
Osetljivost i
parametarsko programiranje. Primene linearnog programiranja. Transportni
problem i optimizacija na mrežama.
- 2.
-
NELINEARNO PROGRAMIRANJE.
Konveksno programiranje. Kuhn-Tuckerove teoreme. Lagrangeova dualnost.
Nekonveksno programiranje. Uslovi optimalnosti prvog i drugog reda. Metode
bezuslovne optimizacije. Metod zlatnog preseka. Gradijenti. Njutnov i
modifikovani Njutnov model. Metod konjugovanih gradijenata. Metode
uslovne optimizacije. Metode kaznenih funkcija. Metod projekcije
gradijenata.
Frank-Wolferova metoda. Metoda odsecajućih ravni. Primene nelinearnog
programiranja i pregled paketa programa za optimizaciju.
DIFERENCIJALNE I INTEGRALNE JEDNAČINE
Beograd, 1990.
V (2+2), VI (2+2)
Smer: N
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
NACRTNA GEOMETRIJA
Beograd 1990.
V (2+2), VI (2+2)
Smer: M, N, V, R, L
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
MATEMATIČKA LOGIKA
Beograd, 1990.
VI (2+0) PU
Smer: N
- 1.
-
UVOD.
Hilbertovi sistemi. Iskazni račun. Predikatski račun. Peanova
aritmetika, kodiranje. Tarskijeva definicija matematičke istine.
- 2.
-
TEORIJA ALGORITAMA.
Pregled formalnih sistema izračunljivosti: Tjuringove mašine.
Rekurzivne funkcije. Postov sistem. Ekvivalentnost sistema
izračunljivosti. Church-ova teza. Odlučivi (izračunljivi)
problemi u matematici. Univerzalne Tjuringove mašine, problem
zaustavljanja
i drugi primeri neodlučivih problema u matematici. Efektivna
enumeracija
rekurzivnih funkcija. Rekurzivni i rekurzivno nabrojivi skupovi.
- 3.
-
TEORIJA SLOŽENOSTI ALGORITAMA.
Izračunljivost u polinomijalnom vremenu. Osnovni problemi teorijskog
računarstva: P versus NP Coockova teorema o NP potpunosti iskaznog
računa i drugi NP-kompletni problemi.
Beograd, 1990.
STRANI JEZIK 1
V (1+1), VI,(1+1) PU
Svi smerovi.
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
UVOD U FILOSOFIJU
V (2+0), VI,(2+0) U
Svi smerovi.
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
PEDAGOGIJA
VI (2+0) U
Svi smerovi.
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
OPERACIONA ISTRAŽIVANJA
VII (2+2) PU
Smer: N
- 1.
-
PREDMET I METODE OPERACIONIH ISTRAŽIVANJA.
Modeliranje raznnih problema prakse pri različitim nivoima
informisanosti
(na primerima).
- 2.
-
PROBLEM DISKRETNOG PROGRAMIRANJA.
Agregacija. Problem ranca. Metod dinamičkog programiranja. Metode
odsecajućih ravni,grananja i ograničavanja, implicitne
enumeracije.
Optimizacija na mrežama. Problemi maksimalnog toka, najkraćeg puta,
pokrivanja, sparivanja minimalnog skeleta, trgovačkog putnika.
- 3.
-
ELEMENTI TEORIJE IGARA.
Pozicione igre, matrične igre, nekooperativne igre. Igre na
jediničnom kvadratu. Kooperativne igre.
JEDNAČINE MATEMATIČKE FIZIKE
Beograd, 1990.
VII (2+2), VIII (2+2) PU
Smer: N
- 1.
-
JEDNAČINE HIPERBOLIČKOG TIPA.
Formiranje jednačine malih oscilacija žice i membrane. Integral
energije.
Egzistencija, jedinosti i korektnost rešenja Cauchy-evog problema za
jednačinu utt = a2uxx
Neka fizička tumačenja rešenja Cauchy-evog problema.
Rešenja
Cauchy-evog problema nehomogene jednačine
utt = a2+f(x, t).
Egzistencija, jedinost i korektnost rešenja prvog konturnog problema
za
jednačinu utt = a2uxx.
Rešenje prvog konturnog problema nehomogene jednačine
utt = a2uxx+f(x, t).
Rešavanje jednačne sa dve i više nezavisnih promenljivih:
Cauchy-ev problem za jednačinu
utt = a2(uxx+uyy+uzz), prvi konturni problem za jednačinu
utt = a2(uxx+uyy) .
- 2.
-
JEDNAČINE PARABOLIČKOG TIPA.
Formiranje jednačine provodjenja toplote. Granični problemi.
Princip
maksimuma i njegove posledice.
Egzistencija, jedinost i korektnost rešenja Cauchy-evog problema za
jednačinu ut = a2uxx.
Egzistencija, jedinost i korektnost prvog konurnog problema za
jednačinu ut = a2uxx.
- 3.
-
JEDNAČINE ELIPTIČKOG TIPA.
Formiranje i zadaci jednačine eliptičkog tipa. Fundamentalno
rešenje Laplace-ove jednačine. Harmonijske funkcije i neke njihove
osobine. Princip maksimuma i njegove posledice.
Egzistencija, jedinost i korektnost rešenja Dirihlet-ovog problema
(prvog konturnog zadatka) za krug. Poissonov integral. Green-ova funkcija
i odredjivanje iste za poluprostor, krug, sferu. Rešenje Dirihlet-ovog
problema metodom funkcije Green-a.
VEROVATNOĆA I STATISTIKA
Beograd, 1990.
Svi smerovi.
VII (2+2), VIII (2+2) PU
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
NUMERIČKA ANALIZA II
Beograd, 1990.
Smer: N
VII (2+2), VIII (2+2)
- 1.
-
CAUCHYJEV PROBLEM ZA OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE I
NJIHOVE SISTEME.
Analitičke metode. Euler-ova metoda. Metoda Runge-Kutta.
Adams-ove metode. Runge-ova ocena greške. Richardson-ova
ekstrapolacija. Automatski izbor koraka.
- 2.
-
KONTURNI PROBLEMI ZA OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE.
Svodjenje na Cauchy-jev problem. Varijacione i projekcione metode.
Metoda konačnih razlika. Pojam diferencijalne sheme.
Aproksimacija i konvergencija. Rešavanje diferencijalnog
zadatka. Sheme povišene tačnosti. Problem
lrm Strum-Liovillea. Metoda konačnih elemenata.
- 3.
-
KONTURNI PROBLEMI ZA PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE.
Jednačine eliptičkog tipa. Metoda mreža. Diferencijska
shema "krst". Aproksimacija i konvergencija. Shema povišene
tačnosti. Rešavanje diferencijalnog zadatka (direktne i
iterativne metode). Metoda konačnih elemenata. Jendačine
paraboličkog tipa: konstrukcija diferencijskih shema.
Aproksimacija, stabilnost i konvergencija. Rešavanje
diferencijskog zadatka. Ekonomičnost. Jednačina
hiperboličkog tipa: konstrukcija diferencijskih shema.
Aproksimacija, stablinost i konvergencija.
- 4.
-
INTEGRALNE JEDNAČINE.
Fredholm-ove integralne jednačine prvi i druge vrste.
Volterr-ove integralne jednačine prve i druge vrste.
Analitičke metode. Projekcione metode. Metode diskretizacije.
Metode reglarizacije.
VARIJACIONI RAČUN I OPTIMALNO UPRAVLJANJE
Beograd, 1990.
Smer: N
VII (3+1), VIII (3+1) PU
- 1.
-
NAJJEDNOSTAVNIJI PROBLEM VARIJACIONOG RAČUNA.
Formulacija najjednostavnijeg problema varijacionog računa.
Pojmovi slabog i jakog rešenja. Teorema o zaobljavanju preloma.
Neophodni uslovi prvog reda. Euler-ova jednačina. Pojam
ekstremale. Hilbert-ova teorema. Weirstrass-ova nejednakost.
Weirstrass-Erdmannovi uslovi.
Eulerova jednačina i konveksnost kao dovoljni uslovi
ekstremuma.
Najjednostavniji problem varijacijanog računa s kvadratnim
funkcionalom. Slučaj homogenih graničnih uslova. Neophodni i
dovoljni uslovi da vrednost problema bude jednaka. Legendre-ov i
Jacobi-jev uslov. Opšti slučaj.
Neophodni i dovoljni uslovi drugog reda.
Teorija polja. Pojam polja koje odgovara integrantu. Trajektorije
polja. Weierstrass-ovo polje. Dovoljan uslov za jak ekstremum.
Dovoljan uslov za slab ekstremum.
- 2.
-
DIFERENCIJALNI I NORMIRANI RAČUN U NORMIRANIM PROSTORIMA.
Diferenciranje vektorskih funkcija realne promenjljive. Pojam
izvoda i osnovna svojstva. Analogoni teorema o srednjoj vrednosti.
Taylor-ova formula.
Diferenciranje vektorskih funkcija realne promenljive. Pojmovi
slabog, jakog i strogog izvoda i osnovna svojstva. Analogoni
teorema o srednjoj vrednosti. Parcijalni izvodi. Teorema o
implicitnoj funkciji.
Reimann-ov integral vektorske funkcije definisane na otsečku realne
prave. Pojam i osnovna svojstva. Egzistencija integrala. Newton -
Leibnitz-ova formula, teorema o smeni promenljive i teorema o
parcijalnoj integraciji.
Prostor Cnk[t0,t1]. Ekvivalentnost različitih
normi. Komplentost. Reprezentacija linearnog funkcionala. Operator
Nemytzkog. Operator evaluacije.
- 3.
-
OPŠTI BOLZIN PROBLEM.
Gladak ekstremalni problem sa ograničenjima tipa jednakosti i
nejednakosti. Neophodan uslov ekstremuma - Lagrange-ov princip.
Dovoljan uslov ekstremuma.
Opšti Bolzin problem varijacionog računa na fiksiranom
intervalu. Neophodan uslov ekstremuma - Lagrange-ov princip.
Dovoljan uslov ekstremuma.
Opšti Bolzin problem optimalnog upravljanja na fiksnom
intervalu. Neophodan uslov ekstremuma - princip maksimuma
Pontrjagina. Dovoljan uslov ekstremuma.
Primena opšte teorije na najjednostavniji problem varijacionog
računa.
NUMERIČKE METODE OPTIMIZACIJE
Beograd, 1990.
Smer: N;
VII (2+2), VIII (2+2) PU
- 1.
-
Metodi minimizacije u funkcionalnim prostorima : Gradijentni metod i
njemu srodni metodi; Dopustivi pravci; NJutnov metod; Lagranžeovi
množioci; Kaznene funkcije.
- 2.
-
Neophodni i dovoljni uslovi ekstrema.
- 3.
-
Teoreme egzistencije Vajerštrasovog tipa u funkcionalnim
prostorima.
- 4.
-
Metode minimizacije u funkcionalnim prostorima bazirane na neophodnim
uslovima.
- 5.
-
Aproksimacija zadataka optimalnog upravljanja običnim i parcijalnim
diferencijalnim jednačinama : Difernene aproksimacije zadataka
optimalnog
upravljanja; Aproksimacije metodom konačnog elementa; Opšti uslovi
aproksimacije, konvergencija i ocena greške; Aproksimacija kvadratnih
zadataka sa faznim ograničenjima.
- 6.
-
Regularizacija zadataka optimizacije : Opšti pojmovi
regularizacije;
Primeri regularizovanih zadataka; Regularizacija aproksimacije zadataka
optimalnog upravljanja.
METODIKA NASTAVE MATEMATIKE I RAČUNARSTVA
Beograd, 1990.
Smer: M, N, V, R, L
VII (2+0), VIII (2+0) U
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
STRANI JEZIK 2
Beograd, 1990.
Svi smerovi.
VII (1+1), VIII (1+1) PU
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
VIŠEKRITERIJUMSKA OPTIMIZACIJA
Beograd, 1990.
VII (2+2), VIII (2+2) PU
Smer: N, izborni predmet.
- 1.
-
Zadatak višekriterijumskog programiranja i definicija -
rešenja.
- 2.
-
Skalarizacija višekriterijumskog programiranja.
- 3.
-
Definicija SLABOG PARETO S(f,x), PARETO P(f,x) i GEOFRIONOVA
G(f,x) rešenja.
- 4.
-
Karakterizcija P(f,x) u linearnom slučaju.
- 5.
-
Leksikografska optimizacija.
- 6.
-
Egzistencija rešenja (neophodni i dovoljni uslovi za G
rešenja).
- 7.
-
Potpuna karakterizacija rešenja u linearnom slučaju.
- 8.
-
Dualnost za višekriterijumsko programiranje.
- 9.
-
Skalarna slaba dualnost.
- 10.
-
Vektorska slaba dualnost.
- 11.
-
Jaka dualnost.
PARCIJALNE JEDNAČINE
Beograd, 1990.
VIII (2+0) PU
Smer: N
- 0.
-
UVOD.
- 1.
-
OSNOVNI POJMOVI TEORIJE DISTRIBUCIJA.
Skup osnovnih funkcija D i skup distribucija D˘. Kompletnost prostora D˘.
Nosač distribucije. Regularne i singularne distribucije. Smena
promenljivih. Proizvod funkcije i distribucije. Primitivna funkcija.
Direktan proizvod distribucija.
Konvolucija distribucija. Egzistencija konvolucije. Algebra D˘+.
Regularizacija distribucija. Newton-ov potencijal.
Distribucija spornog rasta. Struktura distribucija sa tačkastim
nosačem. Direktan proizvod i konvolucija.
Fourier-ova transformacija distribucija spornog rasta. Definicija i osnovne
osobine.
- 2.
-
PROSTORI SOBOLJEVA
Prostori integrabilnih funkcija. Prostori Soboljeva HkW.
Usredjene funkcije. Produženje funkcije sa očuvanjem klase.
Separabilnost Hk(W). Prostori °H1W.
Trag funkcije. Neprekidnost traga. Parcijalna integracija. Kompaktni
skupovi
u prostorima Soboljeva.
Ekvivalentne norme u H1W i °H1W.
Integralna reprezentacija funkcija iz HkW. Teoreme
potapanja.
- 3.
-
GRANIČNI PROBLEMI ZA LINEARNE PARCIJALNE DIFERENCIJALNE
JEDNAČNE
(ELIPTIČKOG TIPA)
Klasična i generalisana rešenja graničniih problema.
Egzistencija generalisanog rešenja u najjednostavnijem slučaju.
Sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije.
Egzistencija generalisanog rešenja u slučaju homogenog
graničnog
uslova.
Nehomogeni granični problem.
Glatkost generalisanog rešenja.
|