DIFERENCIJALNE JEDNAČINE
Beograd 1990.
III (2+2), IV (2+2)
Smer: N
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
UVOD U FILOSOFIJU
V (2+0), VI (2+0) U
Svi smerovi.
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
RACIONALNA MEHANIKA
V (4+4), VI (4+4) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
- 0.
-
UVOD.
Predmet i metode racionalne mehanike. Sistematizacija.
- 1.
-
KINEMATIKA TAČKE.
Svet dogadjaja. Galilejeva transformacija. Koordinatni sistemi, transformacija
koordinata. Tangentno i kotangentno raslojenje prostora R3. Dužina luka.
Konačna jednačina kretanja tačke. Brzina tačke; kontravarijantne,
kovarijantne i fizičke koordinate brzine. Generalisana brzina, sektorska brzina.
Ubrzanje tačke; kontravarijantne, kovarijantne i fizičke koordinate
ubrzanja tačke. Afina transformacija Euklidovog prostora.
Ojlerovi uglovi. Prenosno kretanje; brzina i ubrzanje tačke pri
prenosnom kretanju.
- 2.
-
KINEMATIKA KRUTOG TELA.
Pojam krutog tela. Odredjivanje položaja krutog tela. Konačne jednačine
kretanja krutog tela. Rotacija oko fiksirane ose; Ojlerov i Rodrigov obrazac.
Brzina tačke krutog tela (polje brzine). Ravansko kretanje, pol brzina.
Opšti slučaj kretanja (zavojna osa). Ubrzanje tačke krutog tela.
Trenutni centar ubrzanja. Brzina i ubrzanje tačke krutog tela pri
relativnom kretanju sistema krutih tela.
- 3.
-
KINETIKA MATERIJALNE TAČKE.
Telo, masa, sila (aksiomatska svojstva. Njutnove aksiome. Diferencijalne
jednačine kretanja materijalne tačke u krivolinijskim koordinatama.
Prirodne jednačine kretanja. Potrebni i dovoljni uslovi pravolinijskog kretanja.
Kretanje tačke na R u zadanom polju sile. Kretanje tačke u okolini
ravnotežnog položaja. Kretanje tačke u R3 u polju sile Zemljine teže.
Hitac u otpornoj sredini. Količina kretanja. Teorema o promeni količine
kretanja i integral količine kretanja. Moment količine kretanja.
Teorema o promeni momenta količine kretanja i integral količine kretanja.
Rad sile, potencijalno polje sile. Kinetička energija. Teorema o
promeni kinetičke energije. Integral energije.
Centralne sile. Njutnova sila gravitacije. Kretanje tačke u polju centralne sile,
Bineov obrazac.
Pojam veze i neslobodne materijalne tačke. Kretanje materijalne tačke
po površi (diferencijalne jednačine kretanja sa množiocima veze).
prirodne jednačine kretanja tačke po glatkoj površi. Kretanje
materijalne tačke po glatkoj površi u nezavisnim koordinatama.
Integral kinetičkog momenta. Integral energije za kretanje tačke
po površi. Sferno klatno. Kretanje materijalne tačke po krivoj,
diferencijalne jednačine kretanja sa množiocima veza. Jednačine
kretanja materijalne tačke po glatkoj krivoj izražene nezavisnim
koordinatama. Prirodne jednačine kretanja. Integral energije. Cikloidno klatno.
Matematičko klatno.
Trenje, diferencijalne jednačine kretanja pri dejstvu sile trenja.
Diferencijalne jednačine kretanja materijalne tačke u neinercionom
sistemu referencije. Relativno kretanje tačke u odnosu na Zemlju.
- 4.
-
KINETIKA MATERIJALNOG SISTEMA.
Diferencijalne jednačine kretanja slobodnog materijalnog sistema.
Problem dva tela.
Veze: holonomne i neholonomne. Moguće brzine, moguća i virtuelna pomeranja.
Reakcije veza, glatke veze. Diferencijalne jednačine kretanja sistema materijalnih
tačaka na vezama (Lagranžove I vrste). Opšte teoreme o kretanju sistema
materijalnih tačaka: teorema o količini kretanja, o momentu
količine kretanja i priraštaju kinetičke energije. Prvi
integrali jednačina kretanja.
Nezavisne koordinate. Konfiguraciona mnogostrukost. Opšta dinamička
jednačina. Jednačine kretanja sistema materijalnih tačaka u
nezavisnim koordinatama (Lagranžove jednačine I vrste). Analiza
Lagranžovih jednačina (potencijalne, giroskopske i disipativne sile).
Prvi integrali Lagranžovih jednačina.
Simplektnične koordinate. Hamiltonove jednačine kretanja. Rautove
jednačine.
Principi mehanike. Diferencijalni principi: Dalamberov princip i princip
virtualnih pomeranja. Integralni principi: Hamiltonov princip najmanjeg dejstva i
Mopertui - Lagranžov princip (skraćenog dejstva).
Geometrija masa: centar masa, momenti i proizvodi inercije, tenzor inercije.
Elipsoid inercije. Glavni momenti i glavne ose.
- 5.
-
KINETIKA KRUTOG TELA.
Kinetička energija krutog tela. Količina kretanja i kinetički
moment krutog tela. Diferencijalne jednačine kretanja krutog tela (slobodnog).
Diferencijalne jednačine kretanja vezanog krutog tela. Ravansko
kretanje krutog tela. Obrtanje krutog tela oko nepomične ose.
Permanentna i slobodna osa obrtanja. Fizičko klatno. Kretanje krutog tela oko
nepomične tačke: Ojlerov, Lagranžov i slučaj Kovaljevske.
Giroskop.
ANALIZA 3
Beograd 1990.
V (4+4), VI (4+4) PU
Pogledati smer: Numerička matematikai optimizacija.
NACRTNA GEOMETRIJA
Beograd 1990.
V (2+2), VI (2+2) PU
Smer: M, N, V, R, L
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
KOMPLEKSNE FUNKCIJE
Beograd 1990.
V (2+2) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
Pogledati smer: Numerička matematika i optimizacija.
METODIKA NASTAVE
Beograd 1990.
V (2+0) VI (2+0) PU
Svi smerovi
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
STRANI JEZIK 1
V (1+1), VI (1+1) PU
Svi smerovi.
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
PEDAGOGIJA
VI (2+0) U
Svi smerovi.
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1990.
MEHANIKA KONTINUUMA
V (2+2) V (4+4) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
- 0.
-
UVOD.
-
1.
-
FIZIČKI OSNOVI.
Prostiranje talasa kroz diskretne sisteme. Sila izmedju čestica.
Aproksimacija. Materijalni kontinum. Telo masa i gustina.
- 2.
-
DEFORMACIJA.
Koordinate. Konfiguracija. Gradijenti deformacije. Vektor pomeranja.
Operator paralelnog pomeranja. Tenzor deformacije. Materijalni linijski
element. Tenzori infinitezimalne deformacije i rotacije. Analiza deformacije.
Glavne invarijante tenzora deformacije. Rotacija. Fundamentalna teorema.
Invarijantni pravci. Elementi površi i zapremine. Uslovi kompatibilnosti.
Neke specijalne deformacije. Male deformacije. Morovi krugovi.
- 3.
-
KRETANJE.
Kretanje. Materijalni izvod. Brzina. Ubrzanje. Putanje. Strujne linije.
Materijalni izvodi elemenata luka, površi i zapremine. Tenzor brzine
Tenzor vrtložnosti.
- 4.
-
NAPON.
Zapreminske i površinske sile. Pojam napona. Tenzor napona. Tenzor
naponskog sprega. Glavni pravci tenzora napona. Glavni naponi i Glavni smičući
naponi. Grafičko predstavljanje naponskog stanja. Zakoni konzervacije. Opšti zakon
konvzervacije. Diferencijalni oblik opšteg zakona. Zakon konvzervacije mase. Zakon
količine kretanja. Zakon momenta količine kretanja. Jednačine kretanja u odnosu na
referentnu konfiguraciju. ( I zakon termodinamike) Zakon konverzije energije.
Potencijalna energija. Energija deformacije. Entropija. Entropijska proizvodnja.
II zakon termodinamike. Clausius-Duhemova nejednakost. Termodinamička
i mehanička ravnoteža.
- 5.
-
KONSTITUTIVNE JEDNAČINE.
Aksiome konstitutivne teorije. Termomehanički materijali. Termoelastični
materijali. Termoviskozni fluidi. Izotropni termoelastični solidi.
Linearne konstitutivne jednačine. Izotropni termoviskozni fluidi.
( Navier-ove jednačine kretanja) Navijeove jednačine kretanja.
( Navier-Stokes-ove jednačine kretanja) Navije-Štoksove
jednačine kretanja. Jednačina provodjenja toplote.
Beograd, 1990.
RAČUNSKA MEHANIKA
VII (2+2) VIII (2+2) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
- 1.
-
ILUSTRACIJE NEKIH OSNOVNIH POJMOVA METODE KONAČNIH ELEMENATA.
Ilustracija pojmova spoljašnje i unutrašnje sile, deformacije,
krutosti, i pomeranja na primeru elementa štapa. Singularnost matrice
krutosti elemenata. Kretanje elementa kao krutog tela duž ose.
Odredjivanje pomeranja i sila. Matrični oblik jednačine sistema
(dva elementa). Jednačine ravnoteže sistema. Eliminacija stepena
slobode krutog tela. Problem slabe uslovljenosti i njegova ilustracija na
sistemu dva elementa. Ilustracija sistema više elemenata primerom
električne mreže.
- 2.
-
JEDNODIMENZIONALNI GRANIČNI PROBLEM I METODA KONAČNIH ELEMENATA.
Fizičke osnove i diferencijalna jednačina jednodimenzionalnog
graničnog problema. Opšte resenje homogene diferencijalne
jednačine jednodimenzionalnog graničnog problema. Postavka
jednodimenzionalnog graničnog problema. Varijaciona formulacija
jednodimenzionalnog graničnog problema. Težinske (test) funkcije.
Simetrična varijaciona formulacija jednodimenzionalnog graničnog
problema. Esencijalni granični uslovi. Prirodni granični uslovi.
Dopustive funkcije. Galerkinove aproksimacije. Konačno-dimenzonalni
prostor dopustivih funkcija. Bazne funkcije linijskih konačnih elemenata.
Linearne bazne funkcije. Kvadratne bazne funkcije linijskih konačnih
elemenata. Kanonski element. Lagranžova intertpolacija. Procena greške
Lagranžove interpolacije. Glatkoća funkcije i red interpolacije.
- 3.
-
PRIMENA METODE KONAČNIH ELEMENATA NA OPŠTIJE PROBLEME MEHANIKE KONTINUUMA.
Osnovni metrički tenzor u konvektivnim koordinatama. Tenzori deformacije
u konvektivnim koordinatama. Linearne interpolacione funkcije za štap
kao simpleks. Linearne interpolacione funkcije za trougao. Linearne
interpolacione funkcije za tetraedar. Linearne interpolacione funkcije za
štap kao kub. Bilinearne interpolacione funkcije za četvorougao.
Trilinearne interpolacione funkcije za za heksaedar. Kompaktan oblik i izvodi
(multi)linearnih interpolacionih funkcija za familiju kubova. Prikazivanje
temperature, vektora položaja, brzine ubrzanja i baznih vektora pomoću
interpolacionih funkcija i vrednosti u čvorovima. Odredjivanje komponenti
osnovnog metričkog tenzora pomoću interpolacionih funkcija i vrednosti
u čvorovima. Prikazivanje brzine deformacije pomoću interpolacionih
funkcija. Tenzor relativne deformacije u metodi konačnih elemenata.
Diskretizacija jednačina kretanja metodom Galerkina. Linearizacija
jednačina kretanja sistema konačnih elemenata. Rešavanje
linearizovanog sistema jednačina kretanja. Osnovni linearizovani
problemki teorije elastičnosti u metodi konačnih elemenata.
Problem elastične stabilnosti. Problem sopstvenih oscilacija.
Numerička integracija. Gausova integracija. Integracija u više
dimenzija. Ponovljena integracija. Ekonomične integracione formule.
Tačna integracija polinoma prvog reda. Integracione formule reda 2.
Primena na simplekse. Struktura matrice masa. Struktura matrice napona
("geometrijske" matrice krutosti). Struktura matrice krutosti. Implicitni
postupak rešavanja jednačina ravnoteže u slučaju malih pomeranja.
Statički slučaj malih pomeranja.
- 4.
-
IMPLEMENTACIJA NUMERIČKIH ALGORITAMA ZA OPERACIJE NAD TIPIČNIM
MATRICAMA RAČUNSKE MEHANIKE.
Apsolutna i relativna greška približne vrednosti funkcije. Približne
vrednosti elementarnih računskih operacija. Gausova metoda eliminacije.
Opšti slučaj. Metoda optimalne eliminacije. Gausova metoda eliminacije
za simetrični sistem. Trakaste matrice. Profilni postupak. Razredjene matrice.
Metoda spregnutih gradijenata. Prekondicionirana metoda spregnutih gradijenata.
Generalisani problem svojstvenih vrednosti i vektora. Ortogonalnost i ortonormiranost.
Generalisani Jakobijev postupak. Standardni Jakobijev postupak. Postupak
stepene iteracije. Konvergencija svojstvenih vrednosti i vektora kod
stepene iteracije. Odredjivanje minimalne svojstvene vrednosti (inverzna iteracija).
Odredjivanje ma koje svojstvene vrednosti (inverzna iteracija sa pomeranjem).
Iteracija sa Relijevim količnikom. Konvergencija iteracije sa Relijevim
količnikom. Slučaj više bliskih svojstvenih vrednosti. Strategija odredjivanja
svojstvenih vrednosti i vektora delimičnog problema.
Beograd, 1990.
STATIKA I OTPORNOST MATERIJALA
VII (2+2) VIII (4+4) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
- 1.
-
STATIKA U RAVNI.
Sila. Razlaganje sile na dve komponente, pravilo
paralelograma sila, trougao sila. Sistem sučeljavajućih
sila. Rezultanta sistema sučeljavajućih sila, analitičko
i grafičko odredjivanje ove rezultante. Poligon sila. Pravilo
projekcije sila. Uslovi ravnoteže sučeljavajućeg sistema
sila (grafičko i analitičko predstavljanje ovih uslova).
Moment sile za tačku u ravni. Predstavljanje momenta. Spreg
sila. Transformacija spregova. Redukcije sile na datu tačku.
Sistem proizvoljnih sila, analitički i grafički uslovi
ravnoteže sistema. Svodjenje na rezultantu i spreg. Specijalni
sistemi sila od tri i četiri sile. Uslovi za svodjenje na spreg
i uslovi ravnoteže. Načini oslanjanja nosača. Oslonci,
otpori oslonaca, ispitivanje ravnoteže.
- 2.
-
GRAFOSTATIKA.
Poligon sila i verižni poligon. Vrste nosača
i opterećenja. Otpori oslonaca. Ravnoteža punih nosača
(prosta greda, konzola, greda sa popustima, statički odredjeni
ramovi, Gerberov nosač. Crtanje statičkih dijagrama
(dijagrama napadnog momenta, transferzalne i aksijalne sile) i
odredjivanje opasnog preseka na osnovu analitičkih izraza za ove
veličine. Ravnoteža rešetkastih nosača. Kremonina
metoda čvorova , Kulmanova i Riterova metoda preseka.
Parabolične i obične lančanice, vektorske i skalarne
jednačine ravvnoteže lančanice.
- 3.
-
STATIKA U PROSTORU.
Razlaganje sile u tri nekomplanarna pravca.
Sistem sučeljavajućih sila u prostoru. Moment sile za
tačku i osu. Promena momenta. Spreg sila. Transformacija
spregova u prostoru. Sistem proizvoljnih sila. Ravnoteža
prostornog sistema sila. Sistem paralelnih sila. Statičke
invarijante. Svodjenje na torzer, glavni vektor i glavni moment
sila. Redukcija torzera na silu, na spreg, na dinamu.
Centralna osa. Vrste ležišta. Odredjivanje otpora oslonaca
(sfernog i cilindričnog ležišta).
- 4.
-
TEŽIŠTA.
Sistem vezanih paralelnih sila. Odredjivanje središta
ovakvog sistema. Težište homogenih linija, površi i tela.
Opšti obrasci. Definicija statičkih momenata i njihovo
odredjivanje. Guldinove teoreme, Štajnerova teorema.
Momenti inercije ravnih površina. Promena momenata inercije
pri translaciji i rotaciji koordinatnog sistema. Glavne ose
i glavni momenti inercije.
- 5.
-
ANALIZA NAPONA I DEFORMACIJE.
a) Analiza napona- Pojam napona i stanje napona. Osnovna hipoteza
Otpornosti materijala. Odredjivanje napona iz statičkih uslova
ravnoteže napona ( aksijalno naprezanje štapa , čisto
savijanje, torzija štapa kružnog poprečnog preseka).
Tenzor napona, komponentalni naponi, stav o konjugovanosti napona.
Homogenost napona u okolini tačke. Linearno , ravno i prostorno
stanje napona. Glavni naponi. Primeri. Razlaganje tenzora napona na
sferni i devijatorski deo. Veze izmedju napona i spoljnih i
površinskih sila.
b) Analiza deformacije - Pomeranje tačaka, pojam deformacije.
Dilatacije i klizanja. Stanje deformacije u okolini tačke.
Tenzor deformacije. Veze izmedju komponentalnih deformacija i
komponentalnih pomeranja. Glavne dilatacije i glavni pravci
deformacije. Ravno stanje deformacije. Razlaganje tenzora deformacije
na sferni i devijatorski deo. Odredjivanje pomeranja iz zadatih
komponentalnih deformacija, uslovi kompatibilnosti deformacije.
c) Veze izmedju napona i deformacije- Idealno elastično telo
( Hukov zakon ), Idealno plastično telo, uslovi plastičnog
tečenja. Odredjivanje napona i deformacije u napregnutom
elastičnom telu. Poluobratna metoda.
- 6.
-
NAPREZANJE GREDNOG NOSAČA- SEN-VENANOVI PROBLEMI.
Aksijalno naprezanje, statički neodredjeni problemi pri aksijalnom
naprezanju. Dimenzionisanje. Čisto pravo savijanje , deformacija,
dimenzionisanje. Čisto koso savijanje. Ekscentrični pritisak
(zatezanje), izraz za normalni napon, neutralna osa, jezgro preseka.
Torzija grede proizvoljnog poprečnog preseka, torzija grede
kružnog, eliptičnog i pravougaonog poprečnog preseka,
analogija sa membranom. Čisto smicanje. Savijanje grede silama.
Normalni napon i funkcija napona pri savijanju silama. Savijanje
silama grede eliptičnog i pravougaonog poprečnog preseka.
Hipoteza Žuravskog. Tehnička teorija savijanja grede silama.
Deformacija grede pri savijanju silama. Elastična linija .
Diferencijalna jednačina elastične linije, odredjivanje
elastične linije u raznim slučajevima opterećenja.
Odredjivanje ugiba i nagiba elastične linije.
- 7.
-
STATIČKI NEODREDJENI SISTEMI.
Uvodne napomene, metode rešavanja. Primeri. Greda na tri oslonca
opterećena ravnomerno, uklješteni nosači, statički
neodredjeni ramovi , kontinualni nosači. Jednačina tri momenta
( Klaperonove jednačine ).
- 8.
-
DEFORMACIONI RAD.
Opšte teoreme. Rad spoljnih sila. Deformacioni rad . Deformacioni
rad izražen preko unutrašnjih sila. Primeri odredjivanja
deformacionog rada za neke slučajeve naprezanja grednog nosača
( aksijalna naprezanja prizmatičnog štapa, torzija grede
kružnog poprečnog preseka, čisto savijanje, savijanje
silama ) . Energija promene oblika i energija promene zapremine.
Beti-Maksvelov stav. Kastiljanovi stavovi. Odredjivanje pomeranja
preko Kastiljanovog stava. Rešavanje statički neodredjenih
zadataka. Principi o minimumu energije.
- 9.
-
IZVIJANJE GREDNOG NOSAČA.
Uticaj aksijalnog naprezanja na ugib grede. Izvijanje grednog
nosača. Postavka problema. Ojlerovi slučajevi izvijanja
pravog štapa. Slobodna dužina izvijanja, vitkost štapa.
Približno odredjivanje kritične sile metodom deformacionog
rada. Izvijanje u plastičnoj oblasti. Dimenzionisanje pri
izvijanju.
Beograd, 1999.
TEORIJA OSCILACIJA I STABILNOST KRETANJA
VII (2+2) VIII (2+2) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
- 0.
-
UVODNE LEKCIJE.
Osnovna svojstva rešenja sistema diferencijalnih jednačina kretanja
(u Lagranžovom i Hamiltonovom obliku). Ravnotežno stanje i periodično
kretanje sistema. Fazne krive u okolini ravnotežnog stanja.
- 1.
-
STABILNOST KRETANJA.
Stabilno, asimptotski stabilno i nestabilno kretanje (definicije u Ljapunovljevomom smislu).
Jednačine poremećenog kretanja. Opšte teoreme direktnog Ljapunovljevog metoda
( I, II, III Ljapunovljeva teorema i Ćitajevljeva teorema).
Linearizacija jednačina poremećenog kretanja. Opšti stavovi
o stabilnosti linearnih sistema. Stabilnost linearnih sistema sa konstantnim koeficijentima
(potrebmi i dovoljni uslovi). Stabilnost po linearnoj aproksimaciji.
Stabilnost ravnotežnog stanja konzervativnog sistema ( Ležen Dirihleova
teorema i problem njene inverzije). Uticaj sila raznih struktura na stabilnost ravnotežnog
stanja konzervativnog sistema. Giroskopska stabilizacija.
- 2.
-
LINEARNE OSCILACIJE SISTEMA.
Linearne oscilacije konzervativnog sistema (u R3). Normalni oblici oscilovanja. Uticaj
dodatnih veza i krutosti sistema na sopstvene oscilacije.
Sistemi sa parametrom. Bifurkacija ravnotežne mnogostrukosti. Ciklične trajektorije
i njihova stabilnost.
Prinudne oscilacije linearnog sistema pod dejstvom sile koja je periodična
funkcija vremena.
- 3.
-
NELINEARNE OSCILACIJE.
Egzistencija oscilatornog kretanja nelinearnog sistema (autonomnog).
Sistemi sa malim parametrom. Poenkareova teorema o analitičkoj
zavisnosti reenja od parametra. Metod malog parametra i njegova primena
u teoriji kvazilinearnih oscilacija.
- 4.
-
OSCILOVANJE ELASTIČNIH TELA.
Osnovni elementi teorije stabilnosti sistema sa raspodeljenim parametrom
(u Ljapunovom smislu).
Male oscilacije jednodimenzionih elastičnih tela (oscilovanje niti,
uzdužne, poprečne i uvojne oscilacija grede i konzole).
Beograd, 1999.
MEHANIKA FLUIDA
VII (2+2) VIII (2+2) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
- 0.
-
UVODNI DEO.
Fluid kao neprekidna materijalna sredina. Masa i gustina. Jednačina
konzervacije mase.
- 1.
-
KINEMATIKA FLUIDA.
OSNOVI KINEMATIKE FLUIDA
Kretanje fluida. Brzina. Strujno polje. Putanje, čestica i strujne
linije. Ubrzanje. Tenzor brzine deformacije i tenzor vrtložnosti.
Glavni pravci tenzora brzinedeformacije. Brzina kubne dilatacije. Cirkulacija
i protok. Izvori i ponori. Potencijalna strujanja. Vrtložna strujanja.
Laminarna, složena laminarna i zavojna srtujanja.
DVODIMENZIJSKA STRUJANJA NESTIŠLJIVOG FLUIDA
Vrste dvodimenzijskih srtujanja. Ravanska strujanja. Strujna funkcija
za ravanska strujanja. Vrtložna ravanska strujanja. Slaganje potencijalnih
ravanskih strujanja. Primeri zbirnih potencijalnih ravanskih strujanja.
Osnosimetrična strujanja. Strujna funkcija za osnosimetrična strujanja.
Potencijalna osnosimetrična strujanja. Primeri potencijalnih osnosimetričnih
strujanja.
DVODIMENZIJSKA STACIONARNA STRUJANJA STIŠLJIVOG FLUIDA
Ravanska stacionarna strujanja stišljivog fluida. Osnosimetrična
stacionarna strujanja stišljivog fluida.
PRIMENA KOMPLEKSNIH FUNKCIJA KOD RAVANSKIH POTENCIJALNIH
STRUJANJA NESTIŠLJIVOG FLUIDA
Kompleksni potencijal. Kompleksni potencijal osnovnih strujanja.
Kompleksni potencijal zbirnih strujanja. Primeri konformnog preslikavanja.
- 2.
-
DINAMIKA FLUIDA.
OSNOVI DINAMIKE FLUIDA
Delovanje sila na fluid. Napon i tenzor napona. Zakoni količine kretanja
i momenta količine kretanja. Diferencijalne jednačine kretanja.
Glavni pravci tenzora napona. Konstitutivne jednačine. Navie-Stoksove
jednačine.
DINAMIKA NEVISKOZNIH FLUIDA
Stanje napona u neviskoznom fluidu. Jednačine stanja neviskoznih fluida.
Ojlerova jednačina. Helmholcova jednačina. Integrali Ojlerove
jednačine. Bernulijeva jednačina za nestišljive fluide.
Bernulijeva jednačina za stišljive fluide. Primena Bernulijeve
jednačine kod stacionarnih potencijalnih dvodimenzijskih strujanja
nestišljivih fluida. Primena Bernulijeve jednačine kod stacionarnih
potencijalnih ravanskih strujanja stišljivih fluida. Sile pritiska
na cilindričnom telu pri ravanskom potencijalnom strujanju nestišljivih
fluida. Praktično izračunavanje glavnog vektora i glavnog momenta.
Primeri izračunavanja glavnog vektora i glavnog momenta.
- 3.
-
STATIKA FLUIDA.
OSNOVI STATIKE FLUIDA
Stanje napona u mirnom fluidu. Diferencijalne jednačine ravnoteže.
Osnovna jednačina statike fluida. Uslovi integrabilnosti i integrali
diferencijalnih jednačina ravnoteže.
RAVNOTEŽA BAROTOPNIH FLUIDA U POLJU SILE ZEMLJINE TEŽE
Nestišljivi fluidi. Stišljivi fluidi. Relativno mirovanje nestišljivih
fluida. Delovanje pritiska na površi potopljene u tečnost.
Delovanje pritiska na tela potopljena u tečnost.
VEROVATNOĆA I STATISTIKA
Beograd, 1990.
Svi smerovi.
VII (2+2), VIII (2+2) PU
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
Beograd, 1999.
ANALITIČKA DINAMIKA - TEORIJA ELASTIČNOSTI
VII (2+2) VIII (2+2) PU
Smer: Racionalna mehanika, Mehanika neprekidnih sredina
- 1.
-
Osnovne jednačine linearne Teorije elastičnosti: mere
deformacije i uslovi kompatibilnosti deformacija: osnovni pojmovi
analize napona; Košijeve jednačine kretanja i jednačine
ravnoteže elastičnih tela; Hukov zakon; Lameove jednačine
i Beltrami-Mičelove jednačine; jedinstvenost rešenja
linearne Teorije elastičnosti; osobine jednačina ravnoteže
u odsustvu zapreminskih sila; naponske funkcije.
- 2.
-
Sen-Venanov princip. Sen-Venanova poluobratna metoda. Sen-Venanovi
problemi: a) Zatezanje i savijanje štapa podužnim silama.
Jezgro preseka. b) Torzija štapa kružnog i proizvoljnog
poprečnog preseka. Torzija štapa čiji je poprečni
presek višestruko povezana oblast. Analogija sa membranom.
c) Savijanje konzole poprečnom silom na kraju. Centar smicanja.
Specijalni slučajevi, posebno istaknut slučaj kada
opterećenje deluje u ravni u ravni simetrije poprečnog
preseka. Odredjivanje pomeraja pri savijanju. Diskusija tehničke
teorije savijanja.
- 3.
-
Ravni (dvodimenzijski) problemi: Ravna deformacija, ravno naprezanje,
Erijeva naponska funkcija. Neki oblici Erijeve naponske funkcije koji
predstavljaju rešenja različitih problema. Ravan problem u
polarnim koordinatama ( opšti slučaj i rotaciono simetrični
slučaj). Opšte Mičelovo rešenje. Pojam koncentracije
napona. Primena funkcije kompleksne promenljive i komfornog
preslikavanja.
- 4.
-
Trodimenzioni problemi: Kelvinovo rešenje, Bousineskovo i
Papkovičevo rešenje. Rotaciono simetrično naprezanje
tela.
- 5.
-
Elastični talasi.Osnovni tipovi talasa. Ravni talasi, sferni
talasi. Prostiranje talasa.
TEORIJA RELATIVNOSTI, izborni predmet
VII (2+0) VIII (2+2) PU
Smer: Racionalna mehanika
- 1.
-
Pojam sveta specijalne relativnosti. Ortogonalnost vektora. Ortogonalna
razlaganja vektora i tenzora. Geodezijske linije i kretanje po inerciji.
Lorencove transformacije. Infinitezimalna Lorencova transformacija.
Jednostavna Lorencova transformacija. Promene dužine i toka vremena.
Slaganje brzina. Talasni frontovi i frekvencija. Doplerovski crveni pomak.
Michalson-Morley-ev i Hafele-Keating-ov eksperiment. Masa, impuls i sila.
Snaga i energija. Impuls i kinetički moment. Centar mase. Gustina,
impuls i energija. Kinetički pojam pritiska. Tenzor energije elektromagnetnog
polja.
- 2.
-
Opšta relativnost. Srazmernost teške i inertne mase ( Princip
ekvivalentnosti ). Svet opšte relativnosti. Jednačine gravitacionog polja.
Prostor sa sfernom simetrijom. Sferno simetrično gravitaciono polje.
Horizont sferno simetričnog polja. Crna jama. Putanje planeta. Putanje
svetlosnih zrakova. Promene u spektrima. Noviji opiti koji potvrdjuju opštu
relativnost. Uvod u kosmologiju. Statička Vasiona. Nestacionarna Vasiona.
MAGNETOHIDRODINAMIKA, izborni predmet
VIII (2+0) PU
Smer: Racionalna mehanika
Integralni oblik jednačina kretanja. Jednačine elektromagnetnog
polja. Jednačine dinamike. Konstitutivne veze. Opšte jednačine
neprekidnog kretamja. Jednačine udarnih talasa. Jednačine elektromagnetnih
udarnih talasa. Jednačine mehaničkih udarnih talasa. Prostiranje malih
poremećaja. Diskusija Košijevog problema zaosnovne jednačine sistema.
Brzine prostiranja različitih vrsta talasa. Jednoparametarski talasi
i rimanske invarijante. Prosti talasi u MHD. Magnetoakustični prosti
talasi. Prostiranje udarnih talasa. Geometrijske veze na udarnim talasima.
Površine udarnih talasa. Hugoniot-ova relacija za skok unutrašnje
energije.
TEORIJA UPRAVLJANJA KRETANJEM, izborni predmet
VII (2+2) PU
Smer: Racionalna mehanika
- 0.
-
UVOD.
Postavke zadatka optimalnog upravljanja. Primeri sinteze optimalnog
upravljanja kretanjem. Formulacija zadatka optimalnog upravljanja.
- 1.
-
OPTIMALNO UPRAVLJANJE LINEARNIM SISTEMOM.
Dometni skup i njegova svojstva. Ekstremalno upravljanje. Upravljivost
autonomnog sistema. Opservabilnost autonomnog sistema. Upravljanje
optimalno po brzini dejstva. Optimalno upravljanje linearnim sistemom
u slučaju kada je kriterijum dejstva zadan u obliku konveksnih
funkcionela.
- 2.
-
UPRAVLJANJE NELINEARNIM SISTEMIMA.
Rešavanje zadataka optimalnog upravljanja metodom klasičnog
varijacionog računa. Metoda Lagranžovih množilaca. Zadatak
optimalnog upravljanja sistemom sa slobodnim kretanjem. Lagranžov
princip u zadatku optimalnog upravljamja - Ojler-Lagranžova teorema.
Pontrjaginov princip maksimuma: Princip maksimuma u zadatku sa
slobodnim krajem. Pontrjaginov princip maksimuma za autonomni sistem.
Dokaz principa maksimuma ( u osnovnim crtama ). Pontrjaginov princip
maksimuma za neatomni sistem.
- 3.
-
SINTEZA OPTIMALNOG UPRAVLJANJA.
Osnovni zadatak sinteze optimalnog upravljanja ( za nelinearne sisteme ).
Optimalno upravljanje kretanjem krutog tela koje ima nepomičnu tačku.
Sinteza upravljanja optimalnog po brzini dejstva. Optimalna astronavigacija
( osnovni pojmovi i razmatranje jednostavnih zadataka ).
- 4.
-
DINAMIČKO PROGRAMIRANJE .
Postavka zadatka. Belmanov princip. Veza izmedju Belmanovog principa
i Pontrjaginovog principa maksimuma.
OSNOVNA LITERATURA:
1. V. M. Aleksejev, V. M. Tihomirov, S.V. Fomin Optimalno upravljanje
( na ruskom ), Moskva 1979.
2. E.B. Lee, L. Markus, Fundations of optimal control theori ( prevod na ruski ),
Moskva 1972.
3. L.S. Pontrjagin i dr. Matematička teorija optiumalnih procesa
( na ruskom ), Moskva 1976.
4. Belman, Dinamik programing, New York, 1957. ( postoji ruski prevod).
TEORIJA PLASTIČNOSTI, izborni predmet
VII (4+0) VIII (4+0) PU
Smer: Mehenika neprekidnih sredina
- 1.
-
Osnove kinematike i dinamike plastičnih materijala: Mere deformacije,
osnovni pojmovi, jednačine kretanja.
- 2.
-
Mehaničke karakteristike: Osnovni dijagrami napon-deformacija,
osnovne pretpostavke, karakteristike ponašanja materijala u
slučaju jednoosnog naprezanja, osnovne jednačine matematičke
teorije plastičnosti.
- 3.
-
Uslov plastičnog tečenja materijala. Generalizacija uslova tečenja.
Formulacija površi tečenja: Osnovni uslov tečenja.
Generalisani uslov tečenja i njegova matematička formulacija.
Uvodjenje pojma naponskog prostora i formulacija uslova tečenja u šestodimenzionom
naponskom prostoru. Formulacija uslova tečenja u naponskom prostoru
preko momentnih invarijanti i razmatranje specijalnih slučajeva.
Uvodjenje pojma ojačanja materijala.
- 4.
-
Tipovi uslova tečenja: Treska uslov tečenja, fon Mizesov
uslov tečenja, Kulonov uslov tečenja.
- 5.
-
Konstitutivne jednačine: Sen-Venan-Mizesove jednačine,Prandtl-Rajsove
jednačine. Pojam plastičnog rada, konstitutivne jednačine
za materijale sa oja]anjem. Drukerov postulat i opšte konstitutivne
jednačine.
- 6.
-
Elasto-plastični problemi: Torzija, torzija štapa kružnog poprečnog
preseka, ovalni presek Sokolovskog, pravo čisto savijanje ( pravo čisto savijanje
štapa pravougaonog poprečnog preseka, pravo čisto savijanje poprečnih
preseka sa jednom osom simetrije), pravo savijanje silama ( pravo savijanje silama
štapa pravougaonog poprečnog preseka ), cilindar opterećen hidrostatičkim
pritiskom.
TERMOELASTIČNOST, izborni predmet
VII (4+0) VIII (4+0) PU
Smer: Mehenika neprekidnih sredina
- 1.
-
Termodinamičke osnove Termoelastičnosti: Opšti oblik
jednačina balansa ( balans mase, balans količine kretanja,
balans momenta količine kretanja, Balans energije ). Prvi i
drugi zakon termodinamike. Pojam disipacije energije i entropije i
zakon balansa, odnosno proizvodnje entropije. Konstitutivne jednačine.
- 2.
-
Osnovne jednačine spregnute termoelastičnosti: Linearne jednačine
spregnute termoelastičnosti, nespregnuta linearna teorija, kvazistatička
i statička termoelastičnost.
- 3.
-
Ravan problem termoelastičnosti. Savijanje i izbočavanje
tankih ploča pod uticajem temperature.
MEHANIKA MATERIJALA, izborni predmet
VII (4+0) VIII (4+0) PU
Smer: Mehenika neprekidnih sredina
- 1.
-
FIZIČKE OSNOVE MEHANIČKOG PONAŠANJA MATERIJALA.
Uobičajene pretpostavke o mehaničkim osobinama materijala, a
naročito metala. Polikristalna struktura metala. Kristalna struktura
materijala. Kovalentna veza. Veze keramičkog tipa. Veze metalnog tipa.
Kristalografske ravni i pravci u prostoj kubičnoj rešetki.
Kubična zapreminski centrirana rešetka. Kubična pljosno-
centrirana rešetka. Heksagonalno gusto upakovana rešetka.
Anizotropija kristalne strukture metala. Elastične medjuatomske sile.
Teorijska koheziona čvrstoća metala ( čupanje u savršenoj
rešetki ). Klizanje u savršenoj rešetki. Linijski defekti
kristala - dislokacije. Ravni klizanja. Plastična deformacija.
Lom. Tipovi loma metala. Prslina elipti nog oblika. Krt lom.
Metalografski aspekti loma. Dislokacione teorije krtog loma. Duktilni
( žilavi ) lom.
- 2.
-
NEKI OSNOVNI PARAMETRI TEORIJE ELASTIČNOSTI I PLASTIČNOSTI
I NJIHOVO EKSPERIMENTALNO ODREDJIVANJE.
Koeficijenti linearne teorije elastičnosti i njihovo eksperimentalno
odredjivanje. Tenzori napona u mehanici kontinuuma i ispitivanje materijala
zatezanjem. Osnovne postavke deformacione teorije plastičnosti.
Veza napona i deformacija u deformacionoj teoriji plastičnosti
izražena pomoću promenljivog koeficijenta smicanja. Pojmovi
ekvivalentnog napona i deformacije. Ekvivalentni napon pri jednoaksijalnom
naprezanju. Ekvivalentna deformacija pri jednoaksijalnom naprezanju.
Veza napona i deformacija izražena pomoću sekantnog modula smicanja
i odgovarajućeg Poasonovog koeficijenta. Poasonov koeficijent u
deformacionoj teoriji plastičnosti. Eksperimentalno odredjivanje karakteristika
materijala bitnih u deformacionoj teoriji plastičnosti. Osnovne postavke
teorije plastičnog tečenja. Prantl-Rojsove jednačine. Plastični
modul. Brzina plastične deformacije. Brzina elastične deformacije.
Ukupna brzina deformacije. Brzina ekvivalentnog napona. Evolucione jednačine za
napon. Eksperimentalno odredjivanje karakteristika materijala bitnih
u teoriji plastičnog tečenja.
- 3.
-
REOLOŠKI MODELI.
Reološki model Hukovog materijala. San Venanovo telo. Prantlovo telo.
Elasto-plastično telo sa linearnim deformacionim ojačanjem.
Baušingerov efekt.
- 4.
-
ISPITIVANJE ZATEZANJEM.
Izbor oblika i veličine epruvete za ispitivanje zatezanjem. Dijagram
napon-jedinično izduženje pri ispitivanju zatezanjem. Zatezna čvrstoća.
Odredjivanje granice razvlačenja pri ispitivanju zatezanjem. Odredjivanje modula
elastičnosti pri ispitivanju zatezanjem. Stvarna kriva napon-deformacija
pri ispitivanju zatezanjem. Empirijske relacije napon-deformacija.
- 5.
-
ISPITIVANJE PRITISKIVANJEM.
Dijagram napon-jedinično skraćenje pri ispitivanju pritiskivanjem.
Stvarna kriva pritiskivanja. Pritisna čvrstoća. Granica tečenja
pri ispitivanju pritiskivanjem.
- 6.
-
ISPITIVANJE UVIJANJEM.
Pomeranje pri uvijanju i njegovo merenje. Odredjivanje modula klizanja
( smicanja ) G uvijanjem epruvete kružnog poprečnog preseka.
Odredjivanje modula klizanja ( smicanja ) G uvijanjem epruvete
kružno-prstenastog poprečnog preseka. Odredjivanje Poasonovog koeficijenta
iz rezultata uporednih ispitivanja zatezanjem i uvijanjem.
- 7.
-
ISPITIVANJE SAVIJANJEM.
Izvodjenje ispitivanja savijanjem. Raspodela napona u slučaju
elastičnih deformacija savijanja. Raspodela napona u slučaju
plastičnih deformacija savijanja. Savojna čvrstoća.
- 8.
-
ISPITIVANJE UDARNIM OPTEREĆENJIMA.
Žilavi i krti lom. Ispitivanje zatezanjem udarnim dejstvom sile.
Ispitivanje savijanjem udarnim dejstvom sile na epruvetama sa zarezom.
- 9.
-
ISPITIVANJE ZAMARANJEM.
Zamor metala. Termini, definicije i oznake pri ispitivanju zamaranjem.
Karakteristične veličine pri ispitivanju zamaranjem. Epruvete i
način opterećivanja pri ispitivanju zamaranjem. Tok ispitivanja zamaranjem.
Velerov dijagram.
MEHANIKA VISKOZNIH FLUIDA, izborni predmet
VII (2+2) VIII (2+2) PU
Smer: Mehenika neprekidnih sredina
- 1.
-
OSNOVI MEHANIKE VISKOZNIH FLUIDA.
Uvod. Objektivne veličine i princip objektivnosti. Princip materijalnog
izomorfizma za viskozni fluid. Jednačina balansa energije. Disipativna
funkcija i Klaizius-Diem-ova nejednačina. Termodinamički dopustivi
procesi viskoznog tečenja. Viskozni fluidi bez provodjenja toplote.
Nestišljivi fluidi bez provodjenja toplote. Viskozni fluidi sa provodjenjem
toplote. Konstitutivne jednačine. Linearne konstitutivne jednačine.
Hidrostatički pritisak. Koeficijenti viskoznosti. Navije-Stoksove
jednačine. Potpuni sistemi parcijalnih diferencijalnih jednačina.
Granični i početni uslovi. Specijalni slučajevi kretanja
viskoznih fluida. Metod dimenzijske analize. Linearno i turbulentno
strujanje.
- 2.
-
PRIMERI TAČNIH REŠENJA NAVIJE-STOKSOVIH JEDNAČINA ZA NESTIŠLJIVI FLUID.
Napomene u vezi sa problemima integracije Navije-Stoksovih jednačina. Opšti
slučaj pravolinijskog stacionarnog strujanja. Pravolinijsko strujanje
izmedju dve paralelne ploče. Pravolinijsko strujanje pod dejstvom sile Zemljine teže
pri postojanju slobodne površi. Pravolinijsko strujanje kroz kružne
cilindrične ploče. Eksperimentalno odredjivanje koeficijenta viskoznosti.
Pravolinijsko strujanje Kroz pravu kružnu prstenastu cev. Opšti slučaj
kružnog stacionarnog strujanja. Stacionarno strujanje izmedju dva obrtna
koaksijalna kružna cilindra.
- 3.
-
STRUJANJE NESTIŠLJIVOG FLUIDA PRI MALIM REJNOLDSOVIM BROJEVIMA.
STOKSOVA METODA.
Približne Stoksove jednačine. Ravansko stacionarno strujanje.
Kretanje kru]nog cilindra kroz nestišljivi viskozni fluid.
Stoksov paradoks. Kretanje lopte kroz nestišljivi viskozni fluid.
LITERATURA :
1. Plavšić M.: Mehanika viskoznih fluida, PMF, Beograd, 1986.
2. Eringen A.C.: Mechanics of Continua, John Wiley and Sons, Inc. 1967.
3. Voronjec K. i N. Obradović: Mehanika fluida, Gradjevinska knjiga,
Beograd, 1960.
smallskip
4. Saljnikov V.: Dinamika viskoznog nestišljivog FLuida (poslediplomski kurs
na Mašinskom fakultetu), Mašinski fakultet, Beograd, 1969.
5. Sljozkin N.A.: Dinamika vjaskoj njeszimaemoj zidkasti, Moskva, 1955.
6. Lojcjanskij L.G.: Mehanika zidkosti i gaza, Moskva, 1957.
7. Kocin N.E.I.A. Kibelj, N.V. Roze: Teoreticeskaja hidrodinamika, Moskva, 1963.
8. Plavsić M.: Mehanika fluida, Naučna knjiga, 1978.
9. Andjelić T.: Tenzorski račun, Treće izdanje, Beograd, 1973.
STRANI JEZIK 2
Beograd, 1990.
Svi smerovi.
VII (1+1), VIII (1+1) PU
Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.
File translated from TEX by TTH, version 2.32. On 30 Jul 2001, 12:46.
|