MATEMATIČKA LOGIKA

 

Smer: M

VII (2+0), VIII (2+0) PU


  • UVOD. Jezik, metode dokazivanja (metod rezolucije). Valjane formule. Jednakosni dokazi.
  • TEORIJA DOKAZA. Hilbertovi sistemi. Iskazni račun. Predikatski račun. Prirodna dedukcija.
  • TEORIJA MODELA. Relacija zadovoljenja Tarskog. Stav potpunosti (za iskazni i predikatski račun). Stav kompaktnosti. Elementi nestandardne analize. Modeli Peanove aritmetike.
  • TEORIJA ALGORITAMA. Pregled algoritamskih sistema: Tjuringove mašine, rekurzivne funkcije. Kodiranje i predstavljivost u aritmetici. Gedelove teoreme. Neodlučivost aritmetike.
  • TEORIJA SKUPOVA. Aksiomatska teorija skupova ( ZFC sistem, NBG teorija klasa). Dobro uređeni skupovi. Ordinalna i kardinalna aritmetika. Ekvivalenti aksiome izbora. Velike skupovne hipoteze (Kontinuum hipoteza, Suslinova hipoteza, Kurepina hipoteza). Modeli teorije skupova i nezavisnost skupovnih hipoteza.

 

VEROVATNOĆA I STATISTIKA

 

Smer: M

VII (2+2), VIII (2+2) PU

 

 

  • PROSTOR VEROVATNOĆA. Skup slučajnih ishoda. s -polje događaja. Verovatnoća. Osnovne osobine. Uslovne verovatnoće. Bejsova formula. Nezavisnost događaja.
  • SLUČAJNE PROMENLJIVE. Slučajne promenljive kao merljive funkcije. Funkcija raspodele verovatnoća. Slučajne promenljive diskretnog i neprekidnog tipa. Binomna raspodela. Puasonova teorema. Muavr-Laplasova teorema. Višedimenzione slučajne promenljive. Marginalne i uslovne raspodele. Nezavisnost slučajnih promenljivih. Transformacije slučajnih promenljivih i raspodela.
  • MATEMATIČKO OČEKIVANJE. Matematičko očekivanje kao Lebegov integral. Momenti. Čebiševljeva nejednakost, uslovno matematičko očekivanje.
  • KARAKTERISTIČNE FUNKCIJE. Definicija karakteristične funkcije. Osnovne osobine. Jednoznačnost i neprekidnost korespodencije između funkcija raspodele i karakterističnih funkcija ( bez dokaza ).
  • GRANIČNE TEOREME TEORIJE VEROVATNOĆE. Konvergencija u verovatnoći, skoro izvesna, srednje kvadratna i u raspodeli. Bernulijev, Čebiševljev, Hinčinov i Borelov zakon velikih brojeva. Uloga zakona o velikim brojevima u primenama. Centralna granična teorema. Uloga normalne raspodele u primenama.
  • UVOD U MATEMATIČKU STATISTIKU. Populacija. Obeležje. Uzorak. Centralna teorema matematičke statistike ( bez dokaza ). Statistika. Familija dopustivih raspodela.
  • TAČKASTE OCENE PARAMETARA. Problem tačkaste ocene. Rao-Kramerova nejednakost. Značaj dovoljnih statistika. Metod maksimalne verodostojnosti za ocenjivanje parametara.
  • TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA. Osnovni pojmovi. Nojman-Pirsonova teorema. Pirsonov test. Skupovi i intervali poverenja za parametre.



DISTRIBUCIJE I PARCIJALNE JEDNAČINE

 

Smer: M

VII (3+2), VIII (3+2) PU

 

  • Uopštene funkcije i parcijalne jednačine.
  • Prostor osnovnih funkcija D. Prostor uopštenih funkcija D'. Kompletnost prostora uopštenih funkcija D'. Nosač uopštene funkcije. Regularna uopštena funkcija. Singularna uopštena funkcija. Linearna zamena promenljive u uopštenoj funkciji. Množenje uopštenih funkcija.
  • Izvod uopštene funkcije i svojstva izvoda uopštenih funkcija. Primitivna funkcija uopštene funkcije.
  • Definicija direktnog proizvoda. Komutativnost i neka svojstva direktnog proizvoda.
  • Konvolucija uopštenih funkcija i svojstva. Postojanje konvolucije. Konvoluciona algrebra D+. Regularizacija uopštene funkcije.
  • Uopštene funkcije sporog rasta. Furijeova transformacija uopštenih funkcija sporog rasta i svojstva. Furijeova transformacija konvolucija.
  • Laplasova transformacija uopštenih funkcija i svojstva. Inverzna Laplasova transformacija.
  • Klasifikacija kvazilinearnih parcijalnih jednačina drugog reda. Klasifikacija jednačina u tački karakteristične površi. Kanonski oblik jednačine sa dve nezavisne promenljive.
  • Osnovne jednačine matematičke fizike.
  • Formulacija osnovnih graničnih zadataka za linearnu parcijalnu jednačinu drugog reda i njihova klasifikacija. Granični zadatak za jednačine eliptičkog tipa. Mešoviti zadaci. Korektno postavljen zadatak matematičke fizike. Teorema Sofije Kovaljevske (bez dokaza). Adamarov primer. Klasično i uopšteno rešenje.
  • Rešavanje Košijevog zadatka za hiperboličke jednačine. Dalamberova formula.
  • Furijeov metod rešavanja graničnih zadataka. Sopstvene funkcije i sopstvene vrednosti i osnovna svojstva.
  • Rešavanje graničnih i Košijevih paraboličkih jednačina metodom Grinove funkcije.
  • Rešavanje graničnih zadataka eliptičkih jednačina metodom Grinove funkcije. Metod Grinove funkcije za rešavanje graničnih i Košijevih zadataka hiperboličkih jednačina.
  • Pojam i klasifikacija integralnih jednačina. Teoreme egzistencije. Metod malog parametra. Integralna jednačina sa degenerisanim jezgrom.
  • Svođenje graničnih zadatka na integralne jednačine. Potencijali.
  • Integralne jednačine sa simetričnim jezgrom. Neka svojstva sopstvenih funkcija i sopstvenih vrednosti simetričnog jezgra. Spektar integralnih jezgara. Hilbert-Šmitova teorema. Steklovljeva teorema.

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA

 

Smer: M

VII (2+2), VIII (2+0) PU

 

 

  • LOKALNA TEORIJA KRIVIH. Osnovne definicije i primeri. Dužina luka. Krivina i Frenet-Serret-ov reper. Frenet-Serret-ova teorema i njene posledice. Fundamentalna teorema o egzistenciji i jedinstvenosti krive. Krive sa proizvoljnom parametrizacijom.
  • GLOBALNA TEORIJA RAVNIH KRIVIH. Krivolinijski integral i Green-ova teorema. Indeks rotacije krive. Konveksne krive. Izoperimetrijske nejednakosti. Teorema o četiri temena.
  • LOKALNA TEORIJA POVRŠI. Osnovne definicije i primeri. Površi. Prva fundamentalna forma i dužina luka. Normalna krivina, geodezijska krivina i Gauss-ove formule. Geodezijske krivine. Paralelna vektorska polja duž krivih i paralelno pomeranje. Druga fundamentalna forma i Weingarten-ovo preslikavanje. Glavna, Gauss-ova, srednja i normalna krivina. Reimann-ova krivina i Gauss-ova Teorema agregium. Izometrije i fundamentalna teorema o površima. Površi konstantne krivine.
  • GLOBALNA TEORIJA PROSTORNIH KRIVIH. Fenchel-ova teorema. Fary-Milnor-ova teorema. Totalna torzija.
  • GLOBALNA TEORIJA POVRŠI. Neki reultati o krivini. Geodezijske koordinate. Orijentabilnost i varijacija ugla. Gauss-Bonnet-ova formula. Gauss-Bonnet-ova teorema i Euler-ova karakteristika. Jacobijeva teorema i Hadamard-ova teorema. Indeks vektorskog polja.
  • UVOD U MNOGOSTRUKOSTI. Mnogostrukosti - definicija i primeri. Tangentni vektori i tangentni prostor. Vektorska polja i Lie-ove algebre. Diferencijal preslikavanja i podmnogostrukost. Linearne koneksije na mnogostrukostima. Paralelna vektorska polja i geodezijske linije na mnogostrukostima sa linearnom koneksijom. Riemann-ove metrike, rastojanja i krivina.
  • DODATAK: Istorijski osvrt na diferencijalnu geometriju.

 

METODIKA NASTAVE MATEMATIKE I RAČUNARSTVA

 

Smer: M

VII (2+0), VIII (2+0) PU

 

 

  • PREDMET METODIKE. Karakteristika matematike kao nauke i kao školskog predmeta. Osnovni ciljevi nastave matematike (obrazovni i vaspitni).
  • OPŠTI METODI U MATEMATICI I NASTAVI MATEMATIKE. Posmatranje i eksperiment. Poređenje. Analiza i sinteza. Uopštavanje i apstrakcija.
  • OBLICI MIŠLJENJA U NASTAVI MATEMATIKE. Formiranje matematičkih pojmova. Organizovanje značenja, apstrakcija, klasifikacija. Prostori i jezički kod. Simboli. Hijerarhija pojmova po stepenu opštosti. Sudovi i iskazi. Aksiome, teoreme, dokazi. Pitanje nezavisnosti i neprotivrečnosti. Modeli. Indukcija i dedukcija. Sagledavanje oblika mišljenja kroz konkretni sadržaj: širenje pojma broja, generalizacije koje vode pojmovima algebarskih struktura, aksiome geometrije i vrste geometrije. Matematička logika, skupovi, funkcije, drugi pojmovi. Sagledavanje nastavnih fraza po stepenu apstraktnosti i deduktivnosti nastave matematike.
  • RAZVIJANJE MATEMATIČKOG MIŠLJENJA. Usvajanje novog gradiva, motivacija, razumevanje, zapamćivanje, reprodukovanje. Vrste zadataka i njihova uloga. Uloga kognitivnih šema. Kreativno učenje. Opšte istraživačke ideje (generalisanje, analogija i prenos ideje).
  • PRINCIPI, METODE I OBLICI NASTAVE MATEMATIKE. Osnovni didaktički principi. Heuristička metoda, metodi aktivne nastave. Tradicionalna metoda. Programirana nastava. Iindividualizacija nastave. Računar u nastavi matematike.
  • ORGANIZACIJA NASTAVE. Čas kao osnovni oblik nastave. Tipovi časa. Provera znanja. Kriterijumi naučenosti gradiva. Stimulativna uloga ocene. Najmanja prelazna ocena. Zadaci, školski, pismeni, domaći. Vrsta i uloga udžbenika.


ISTORIIJA I FILOZOFIJA MATEMATIKE I RAČUNARSTVA

 

Smer: M

VII (2+0), VIII (2+0) U

 

 

  • UVODNA RAZMATRANJA. Istorija matematike kao samostalna naučna disciplina matematičkih nauka. Sadržaji i metode istorije matematike. Uvid u literaturu i rad na literaturi. Istorijski izvori, arhivska građa i materijalni spomenici matematičkih nauka. Hronologija i podela.
  • PREISTORIJSKI PERIOD. Nastanak broja. Načini zapisa i izgovora broja, uzajamno jednoznačno pridruživanje. Raboš. Pojava geometrijskih figura, simetrija i druga opažanja na geometrijskim figurama.
  • STARI VEK PREDGRČKOG PERIODA Stari Egipat: Izvori. Numeracija. Racionalni brojevi. Matematička znanja (linearne jednačine, površina kruga i dr) Vavilon: Izvori. Numeracija. Algebra. Geometrija. Pitagorina teorema.
  • MATEMATIKA ANTIČKE GRČKE. Izvori. Numeracija. Talesovi matematički radovi. Pitagorejska škola. Celi brojevi i njihove srazmere. Algebra i aritmetika. Zenonovi paradoksi. Eudoksovi matematički radovi. Metod akshaustije.
  • ODNOS MATEMATIKE I FILOZOFIJE ANTIČKE GRČKE: Kratak pregled filozofije antičkog doba. Nerazdvojivost filozofije matematike od filozofije tog doba. Jonjani. Platon i Aristotel i njihova uloga u stvaranju grčke aksiomatske matematike. Euklidovi "Elementi". Aleksandrijska škola i helenistički kulturni krug. Uloga matematičke astronomije-astrometrije u razvoju matematike.
  • MATEMATIKA U SREDNJEM VEKU. Stara i srednjevekovna Kina. Stara i srednjovekovna Indija. Zemlje islama. Evropska matematika, dekadni brojevni sistem i poziciona aritmetika. Leonardo Pizanski i drugi. Matematika renesanse, rešavanje jednačina drugog, trećeg i četvrtog stepena, imaginarne veličine, Stevinovi redovi. Vijetova simbolička algebra. Kopernik.
  • ODNOS SREDNJEG VEKA I RENESANSE. Teologija i matematika. Beskonačnost. Zastoj izazvan supremacijom teologije nad filozofijom i matematikom. Sholastičari. Pojava renesanse i uticaj po evropsku kulturu.
  • NOVI VEK. Zašto je renesansa ostavila po strani filozofska pitanja u matematici? Otkriće Amerike i velika putovanja, trgovina i tehnika kao pokretači razvoja matematike. Razvoj samostalnog neteološkog filozofskog mišljenja i reperkusije na razmišljanje u matematici. Dekart i racionalisti. Lajbnic - početak nove epohe. Francuski prosvetitelji. Kant i njegov pogled na matematiku i logiku. Hegel - korak unatrag. Značaj mislilaca koji su bili i filozofi i matematičari.
  • MATEMATIKA 17. VEKA. Aritmetika i algebra: Opšti uvid u Dekartovu matematiku. Imaginarni i negativni brojevi. Rolova teorema. Približno rešavanje jednačina. Sredstva računanja i logaritmi: Otkriće logaritama; Brigs i Neper. Računska mašine. Teorija brojeva: Ferma. Prosti brojevi, kvadratne forme. Neodređene jednačine. Fermaova velika teorema. Kombinatorika i teorija verovatnoće. Geometrija: Analitička geometrija. Rađanje projektivne geometrije. Infinitezimalni modeli: Razvitak pojma funkcije. Radovi Robervala, Kavalijera, Gregorija, Valisa, Keplera i Paskala. Njutnov i Lajbnicov diferencijalni i integralni račun. Primene u fizici i astronomiji.
  • MATEMATIKA 18. VEKA. Infinitezimalna analiza u teoriji i primeri: integralni račun, diferencijalne jednačine, varijacioni račun, teorija beskonačnih redova. Ojlerovi, Lagranžovi i Laplasovi radovi. Diferencijalna geometrija. Razvitak računa verovatnoće (Bejsova formula, Bernulijevi radovi, Laplas). Nacrtna geonetrija. Realni i kompleksni brojevi. Teorija algebarskih jednačina. Linearna algebra. Numerička analiza.
  • MATEMATIKA 19. VEKA. Gausovi i Košijevi radovi. Teorija jednačina i Galoaova teorija grupa. Neeuklidska geometrija. Aritmetizacija analize. Beskonačni redovi. Diferencijalna geometrija. Projektivna geometrija. Teorija verovatnoće i matematička statistika. Teorija brojeva. Diferencijalne jednačine. Višestruki integrali. Teorija funkcija kompleksne promenljive. Teorija realnih brojeva. Teorija funkcija. Matematički prostori. Algebarske i topološke strukture. Funkcionalna analiza, teorija skupova, matematička logika, topologija. Klajnov ernlagenski program. Linearna algebra.
  • PROBLEM ZASNIVANJA MATEMATIKE I NASTANAK SAVREMENE FILOZOFIJE MATEMATIKE: Predmet i osnovna pitanja filozofije matematike. Ima li matematika predmet? Šta su i u kom smislu postoje matematički objekti? Zasnivanje matematike kao filozofsko pitanje.
  • FILOZOFIJA MATEMATIKE SAVREMENE EPOHE KAO SAMOSTALNA DISCIPLINA. Sazrevanje i formiranje novih matematičkih disciplina u drugoj polovini devetnaestog veka. Vajerštras, Dedekind i zbivanja u analizi. Kantor i Frege. Prva kriza. Pokušaji razrešavanja. Rasel. Savremena aksiomatska teorija skupova. Problem osnova matematike. Hilbertov program. Gedel i slom Hilbertovog programa. Druga kriza.
  • PRAVCI U SAVREMENOJ FILOZOFIJI MATEMATIKE. Osnovna pitanja u filozofiji matematike i nastanak pravaca kroz pokušaje rešavanja nekih od njih. Platonizam. Logicizam. Nominalizam. Brauerov intuicionizam. Konstruktivizam. Formalizam. Aktuelno stanje i neka gledanja na filozofiju matematike koja su van glavnih pravaca. Uticaj matematičkih istraživanja na filosofiju uopšte.
  • ISTORIJA MATEMATIKE KOD SRBA. Srednji vek. Obnova kulture i matematike u 19.veku na evropskim osnovama. Beograd kao kulturni i matematički centar. Značajniji srpski matematičari i njihovi rezultati iz 19. i 20.veka.
  • ISTORIJA RAČUNARSTVA. Prve računarske mašine u antici i poznoj renesansi i baroku. Mehaničke računske mašine. Nastanak logičko-algoritamske osnove za fundiranje računarstva između dva svetska rata. Ratne potreba kao pokretač razvoja računarstva. Nastanak brzokomutirajućih i elektronskih računarskih mašina. Računarstvo kao posebna disciplina.

 

 

BANAHOVE ALGEBRE

 

Smer:M

VII(2+2), VIII(2+2) PU-izborni predmet

 

 

  • Normirane algebre
  • Regularni elementi normirane algebre
  • Spektar elementa Banahove algebre
  • Teoreme Geljfand-Mazurovog tipa
  • Ideali u normiranoj algebri
  • Radikal Banahove algebre
  • Komutativne Banahove algebre
  • Topološki prostor maksimalnih ideala



ALGEBARSKA TOPOLOGIJA

 

Smer: M

VIII (2+0) PU

 

 

  • Kategorije, funktori. Lančasti kompleksi. Tačni nizovi. Homologija lančastih kompleksa. Cik-cak lema.
  • Simplicijalna i singularna homologija. Redukovana i relativna homologija. Osnovna svojstva i primeri. Aksiome homologije. Aksiome u singularnoj homologiji i njihove posledice. Brauerova teorema. Stepen preslikavanja. Teorema o čupavoj lopti. Fundamentalna teorema algebre. Majer-Vietorisov niz.
  • CW-kompleksi. Homologija CW-kompleksa. Izomorfizam simplicijalne i singularne homologije na poliedrima.
  • Homologija sa koeficijentima. Teorema o univerzalnim koeficijentima. Hopfova formula o tragu. Lefšecova teorema o fiksnoj tački.
  • Kinetova formula.
  • Singularna kohomologija. Kohomološki prsten. Teoreme dualnosti ( Poenkareova, Lefšecova).