Ispitna pitanja iz LINEARNE ALGEBRE

  1. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Primeri.
  2. Racionalni i iracionalni brojevi. Primeri.
  3. Relacije ekvivalencije. Particija na klase ekvivalencije. Količnički skup.
  4. Relacije poretka. Minimalni i najmanji elementi, maksimalni i najveći elementi.
  5. Asocijativnost kompozicije funkcija.
  6. Injektivne (1-1) funkcije. Kompozicija injektivnih funkcija je injektivna.
  7. Surjektivne (na) funkcije. Kompozicija surjektivnih funkcija je surjektivna.
  8. Bijektivne funkcije. Inverzna funkcija. Definicija, primeri.
  9. Grupe, definicija, primeri, jedinstvenost jedinice i inverza.
  10. Ciklične grupe. Definicija, primeri, egzistencija.
  11. Podgrupe. Definicija, primeri, karakterizacija.
  12. Razlaganje grupe po podgrupi. Lagranževa teorema.
  13. Red elementa deli red grupe.
  14. Grupa permutacija Sn. Definicija. Opis i struktura grupe S3.
  15. Parnost permutacija i alternirajuća grupa An.
  16. Homomorfizmi grupa. Definicija, primeri, slika jedinice i inverza.
  17. Prsteni i polja. Definicije, osobine, primeri.
  18. Karakteristika polja. Primeri polja sa konačnom karakteristikom.
  19. Konstrukcija prstena polinoma sa koeficijentima u datom prstenu.
  20. Mogućnost i jednoznacnost deljenja s ostatkom za cele brojeve i polinome.
  21. Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički sadržalac za polinome.
  22. Euklidov algoritam za cele brojeve i za polinome.
  23. Mogućnost i jednoznačnost razlaganja polinoma u proizvod nerastavljivih.
  24. Nerastavljivi polinomi nad R, C i Q.
  25. Bezuova teorema.
  26. Hornerova šema za polinome.
  27. Lagranževa interpolaciona formula i jedinstvenost interpolacionog polinoma.
  28. Definicija i osobine izvoda polinoma.
  29. Izdvajanje višestrukih faktora polinoma.
  30. Konstrukcija polja C.
  31. Osnovne osobine kompleksnih brojeva.
  32. Izvesti formulu za koren kompleksnog broja.
  33. Kompleksni koreni polinoma sa realnim koeficijentima.
  34. Konstrukcija polja Q.
  35. Konstrukcija polja racionalnih funkcija.
  36. Teorema o razlaganju racionalne funkcije na elementarne razlomke.
  37. Gausova metoda eliminacije za rešavanje linearnih sistema.
  38. Nehomogeni i odgovarajući homogeni sistem, opšte i partikularno rešenje.
  39. Definicija matrice, osnovne operacije i njihove osobine.
  40. Množenje matrica i njegova asocijativnost.
  41. Prsten kvadratnih matrica.
  42. Inverzna matrica, definicija i izračunavanje preko linearnih sistema.
  43. Definicija determinante n-tog reda pomoću razlaganja po prvoj koloni.
  44. Osobine determinante kao funkcije vrsta.
  45. Karakterizacija determinante kao funkcije vrsta.
  46. Teorema o razlaganju determinante po proizvoljnoj koloni.
  47. Teorema o determinanti transponovane matrice.
  48. Osobine determinante kao funkcije kolona.
  49. Teorema o determinanti sa blokom nula.
  50. Kvadratni linearni sistem i njegova determinanta.
  51. Kramerova teorema.
  52. Koši-Bineova teorema.
  53. Teorema o razvoju determinante pomoću permutacija.
  54. Vektorski prostor, definicija i primeri.
  55. Lineal nad skupom vektora.
  56. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora.
  57. Baza vektorskog prostora. Definicija i karakterizacije.
  58. Egzistencija baze konačno generisanog vektorskog prostora.
  59. Istobrojnost baza konačno generisanog vektorskog prostora.
  60. Dimenzija vektorskog prostora. Koordinate.
  61. Transformacija koordinata vektora prilikom zamene baze.
  62. Izomorfizam vektorskih prostora.
  63. Linearni operatori, definicija, primeri, osobine.
  64. Matrica linearnog operatora. Izomorfizam L(V,W) i M(dimW ´ dimV).
  65. Veza između kompozicije operatora i proizvoda matrica.
  66. Prsten endomorfizama vektorskog prostora. Izomorfizam End(V) i M(dimV).
  67. Transformacija matrice linearnog operatora prilikom zamene baze.
  68. Veza između zamena baze i automorfizama vektorskog prostora. Grupe GL(V) i GL(n,K).
  69. Koordinatni kriterijum linearne zavisnosti n vektora n-dimenzionog vektorskog prostora.
  70. Grupe GL(n,R) i SL(n,R).
  71. Orijentacija realnog vektorskog prostora.
  72. Linearne funkcije i dualni prostor. Spregnuta baza dualnog prostora.
  73. Prirodni izomorfizam V i V**.
  74. Količnički prostor po potprostoru.
  75. Grasmanova formula o dimenziji zbira i preseka potprostora vektorskog prostora.
  76. Direktna suma dva i više potprostora vektorskog prostora.
  77. Definicija i svojstva ranga i defekta linearnog operatora.
  78. Rang skupa vektora, rang kolona matrice i rang linearnog operatora.
  79. Rang vrsta matrice i jednakost sa njenim rangom kolona.
  80. Teorema o baznom minoru.
  81. Veza između vektorskih potprostora i homogenih sistema linearnih jednacina - fundamentalni skup rešenja homogenog sistema.
  82. Kroneker-Kapelijeva teorema i posledice.
  83. Nilpotentni endomorfizmi.
  84. Dijagonalizabilni endomorfizmi.
  85. Minimalni polinom endomorfizma i matrice. Definicija i jedinstvenost.
  86. Karakteristični polinom endomorfizma i matrice. Sopstvene vrednosti i sopstveni potprostori.
  87. Minimalni i karakteristični polinomi imaju iste korene.
  88. Korenski potprostori endomorfizma.
  89. Žordanova normalna forma endomorfizma i matrice.
  90. Hamilton-Kejlijeva teorema.
  91. Bilinearne funkcije i forme. Izomorfizam Bilin(V,W) i M(dimV,K).
  92. Zavisnost matrice bilinearne funkcije od izbora baze.
  93. Kvadratne funkcije i forme.
  94. Teorema o dijagonalizaciji simetrične bilinearne funkcije.
  95. Rang bilinearne funkcije i njegova nezavisnost od izbora baze.
  96. Kanonski oblik kvadratne funkcije nad R i C.
  97. Pozitivno definitne kvadratne funkcije i forme.
  98. Teorema inercije za kvadratne forme.
  99. Skalarni proizvod vektora i njegove osobine.
  100. Euklidski vektorski prostori, definicije i primeri.
  101. Koši-Švarcova nejednakost u euklidskom vektorskom prostoru.
  102. Ortonormirane baze, egzistencija, osobine.
  103. Ortogonalne matrice. Grupa O(n,K).
  104. Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije.
  105. Izometričnost euklidskih vektorskih prostora iste dimenzije.
  106. Opisati izometrijske transformacije ravni R2.
  107. Opisati izometrijske transformacije prostora R3.
  108. Teorema o ortogonalnom komplementu u euklidskom vektorskom prostoru.
  109. Izomorfizam euklidskog vektorskog prostora i njegovog prvog dualnog prostora.
  110. Veza između bilinearnih funkcija i linearnih operatora u euklidskom vektorskom prostoru.
  111. Simetrični operatori i njihova dijagonalizacija izometrijskom transformacijom.

File translated from TEX by TTH, version 2.34.
On 11 Dec 1999, 18:37.