Ispitna pitanja iz ALGEBRE I

1. Polugrupa, grupa, Abelova grupa. Aksiome, prve posledice, primeri.
2. Najmanja podgrupa koja sadrzi dati podskup. Generatorni skup grupe. Primeri.
3. Ciklicne grupe. Svaka podgrupa ciklicne grupe je ciklicna.
4. Grupa S₃, njen generatorni skup i relacije. Zadavanje grupe generatorima i relacijama.
5. Struktura grupe S_n: svaka permutacija je kompozicija disjunktnih ciklova a svaki cikl je kompozicija transpozicija.
6. Koseti podgrupe H u grupi G i relacije ekvivalencije ~_H i _H~. Skup polozaja G/H i H\G.
7. Lagranzeva teorema za konacne grupe: |G| = [G:H]·|H| . Red elementa deli red grupe.
8. Mnozenje u skupu G/H, kongruencije. Invarijantne (normalne) podgrupe u grupi. Primeri.
9. Homomorfizmi, monomorfizmi, epimorfizmi, izomorfizmi grupa. Primeri.
10. Jezgro, slika, invarijantnost jezgra. Teorema o homomorfizmu (prva teorema o izomorfizmu).
11. Svaka ciklicna grupa je izomorfna ili Z_n ili Z. Svaka grupa prostog reda je ciklicna.
12. Dekartov proizvod grupa. Primeri. Grupa Z_m×Z_n.
13. Proizvod podgrupa u grupi. Unutrasnji proizvod podgrupa. Primeri.
14. Druga teorema o izomorfizmu.
15. Opis grupa malog reda: 1,2,3,4,5,6,7,9.
16. Normalno zatvorenje [H] podgrupe H < G, normalizator N(S) podskupa S Ì G.
17. Centralizator C(S) podskupa S Ì G, centar C = C(G) grupe G. Primeri.
18. Centar grupa S_n i A_n.
19. Relacija konjugacije a~_cbÛ $g Î G : b = gag^-1, klase cl(a) konjugacije, brojnost klase |cl(a)| = [G:N(a)] .
20. Klasna jednakost za konacne grupe. Primeri klasne jednakosti.
21. Komutator [a,b] = a^-1b^-1ab (a,b Î G), komutant G^¢ = [G,G]<_invG, izvedeni niz. Primeri.
22. Izvedeni niz za S_n i A_n.
23. Karakteristicne podgrupe. Unutrasnji automorfizmi s_g(x) = gxg^-1, grupa InnG.
24. Dejstvo grupe na skup, stabilizator i orbite. Primeri dejstva.
25. Broj elemenata orbite jednak je indeksu stabilizatora.
26. Poludirektan proizvod grupa. Primeri.
27. p-grupe, Silovljeve p-podgrupe.
28. Silovljeve teoreme.
29. Primena Silovljevih teorema na grupe reda pq (p,q prosti)
30. Konacno generisane Abelove grupe.
31. Podgrupa konacno generisane Abelove grupe je konacno generisana
32. Slobodne Abelove grupe.
33. Konacno generisana Abelova grupa bez torzije je slobodna.
34. Podgrupa konacno generisane slobodne Abelove grupe je slobodna
35. Struktura konacno generisanih Abelovih grupa.
36. Prsten. Ideali u prstenu. Primeri.
37. Prsten polinoma od jedne i vise promenljivih.
38. Prsten celih brojeva je glavnoidealski.
39. Euklidov algoritam, najveci zajednicki delilac.
40. Prsten polinoma od jedne promenljive nad poljem je glavnoidealski.
41. Neterini prsteni. Hilbertova teorema o bazi.
42. Prosti i maksimalni ideali u prstenu. Karakterizacija.
43. Koreni polinoma. Bezuova teorema.
44. Polje kompleksnih brojeva i osnovna teorema algebre.
45. Kompleksni i realni polinomi.
46. Racionalni koreni celobrojnih polinoma.
47. Nerastavljivost polinoma od jedne promenljive.
48. Ajzenstajnov kriterijum nerastavljivosti.
49. Vijetove formule za proizvoljne polinome.
50. Simetricni polinomi.
51. Njutnova teorema o elementarnim simetricnim polinomima.
52. Konacno generisana rasirenja polja.
53. Algebarski i transcendentni elementi i rasirenja polja.
54. Konacna rasirenja polja.
55. Teorema o prostom algebarskom rasirenju.
56. Teorema o algebarskom zatvorenju.
57. Teorema o primitivnom elementu algebarskog rasirenja.
58. Galoaova grupa rasirenja polja.
59. Osnovna teorema Galoaove teorije. Primeri
60. Resiva rasirenja i resive jednacine.

File translated from T_EX by T_TH, version 2.34.
On 12 Jun 2000, 19:41.