| cetvrtak, 12. oktobar: Pojam
linearnosti: sistemi linearnih jednacina. Brojevi.
Aksiome Abelove grupe. Primeri Abelovih grupa: Z.
Aksiome polja. Primeri brojevnih polja: Q,
R, C.
Multiplikativno svojstvo nule. |
| cetvrtak, 19. oktobar: Relacije,
funkcije, 1-1, na, bijekcije. Sistemi linearnih jednacina,
rešenja, algoritam eliminacije. Elementarne
transformacije 1. i 2. tipa. Ekvivalentnost sistema.
Elementarne transformacije su ekvivalentne transformacije.
|
| cetvrtak, 26. oktobar: Gausov
algoritam - teorema eliminacije. Slobodne i vezane
promenljive. Bijekcija skupa rešenja S(A) i
Fn-r gde
je r broj vezanih promenljivih. Primeri.
Primedbe: o skracenom zapisu linearnog sistema i
procedure eliminacije, o simultanom rešavanju više
linearnih sistema sa istim koeficijentima i razlicitim
slobodnim clanovima. Primer diskretizovane jednacine
provodjenja toplote. |
| cetvrtak, 2. novembar: Veza
izmedju rešenja nehomogenog sistema i odgovarajuceg
homogenog sistema. Gaus-Žordanova shema. Elementarne
transformacije 3. tipa. Matrice. Elementarne
transformacije vrsta matrice. Elementarne transformacije
kolona matrica. |
| cetvrtak, 9. novembar: Matrica
A tipa m×n kao preslikavanje LA
: Fn ® Fm,
LA(x) = Ax.
Množenje matrica kao kompozicija preslikavanja.
Asocijativnost množenja, jedinicna matrica,
elementarne matrice. Predstavljanje elementarnih
transformacija kao množenja elementarnim matricama
sleva odnosno zdesna. Ekvivalencija A ~v,k
B Û B = PAQ. |
| cetvrtak, 16. novembar: Pojam
grupe, posledice aksioma, primer grupe permutacija. Grupa
regularnih matrica. Karakterizacija regularnih matrica
preko elementarnih: GL(n) = E(n).
Operacije sabiranja matrica i množenja matrica
skalarom i njihove osobine. Prsten kvadratnih matrica.
Transponovanje matrica i njegove osobine. |
| cetvrtak, 23. novembar: Determinanta
kvadratne matrice reda 2 i 3 i veza sa rešavanjem
linearnih sistema. Induktivna definicija determinante n-tog
reda pomocu razvoja po prvoj koloni. Izracunavanje
determinante trougaone matrice. Osobine determinante kao
funkcije svojih n vrsta det : Fn
× ... × Fn ® F (aditivnost,
homogenost, antisimetricnost). |
| cetvrtak,
7. decembar: Izvedene osobine
determinante. Teorema o jedinstvenosti determinante kao
aditivne, homogene i antisimetricne funkcije vrsta
matrice. Razvoj determinante po proizvoljnoj koloni.
Osobine determinante kao funkcije kolona. Determinanta
transponovane matrice. Razvoj determinante po
proizvoljnoj vrsti. Koši-Bineova teorema o
determinanti proizvoda matrica. Ako je matrica regularna,
njena determinanta je ¹ 0.
Teorema o determinanti sa nula blokom i jedinstvenost
ranga matrice. |
| cetvrtak, 14. decembar: Razvoj
determinante po ''pogrešnoj'' vrsti i koloni.
Izracunavanje inverzne matrice pomocu determinante: ako
je determinanta ¹ 0, matrica
je regularna. Kramerova teorema za sisteme linearnih
jednacina sa kvadratnom matricom. O grupi permutacija,
parnost permutacija. Razvoj determinante preko grupe
permutacija. |
| cetvrtak, 21. decembar: Vektorski
prostor. Primeri: uredjene n-torke, matrice,
vektori u geometriji. Prsten polinoma, definicija,
polinomi ogranicenog stepena kao vektorski prostor. Prve
posledice aksioma vektorskog prostora. Potprostori,
definicija i karakterizacija, primeri. Linearna
kombinacija, primeri. |
| cetvrtak, 28. decembar: Linearna
zavisnost i nezavisnost, primeri. Uredjeni skupovi,
minimalni i najmanji, maksimalni i najveci element,
primeri. Osnovna veza izmedju linearno nezavisnih i
generatornih skupova: maksimalni linearno nezavisni =
minimalni generatorni = linearno nezavisni generatorni. |
| cetvrtak, 11. januar: (cas
nije održan) |
| cetvrtak, 18. januar: Baza
vektorskog prostora: definicija, primeri. Teorema o
egzistenciji baze. Teorema o istobrojnosti dve baze.
Dimenzija, primeri. |
| cetvrtak, 22. februar: (cas
predavanja održala Dragana Todoric) |
| cetvrtak, 1. mart: Linearna
preslikavanja. Definicija, primeri, množenje
fiksiranom matricom, L(V,W)
kao vektorski prostor. Matrica A=[L]e,f
linearnog preslikavanja L u paru baza e,f,
preslikavanje L(V,W) ® M(dimW × dimV,
F) |
| cetvrtak, 8. mart: Karakterizacija
mono, epi i izomorfizama preko linearno nezavisnih,
generatornih i baznih skupova vektora. Izomorfizam
vektorskih prostora L(V,W) @ M(dimW × dimV,
F), baza i dimenzija tih
prostora. Primeri. Matrica kompozicije operatora jednaka
je proizvodu odgovarajucih matrica: [LM] = [L]
[M]. Prsten endomorfizama End(V) i
izomorfizam prstena End(V) @
M(n). Automorfizmi Aut(V)
kao grupa invertibilnih elemenata u End(V) i
izomorfizam Aut(V) @ GL(n). |
| cetvrtak, 15. mart: Karakteristicni
polinom, sopstvene vrednosti i sopstveni vektori
endomorfizma |
| cetvrtak, 22. mart: |
| cetvrtak, 29. mart: Dijagonalizabilni
endomorfizmi. Dovoljan uslov: svi koreni prosti |
| cetvrtak, 5. april: Nilpotentni endomorfizmi.
Lema o ciklicnim nizovima. Zordanov nula-blok. |
| cetvrtak, 12. april: Zordanova baza za
nilpotentne endomorfizme. Minimalni polinom endomorfizma:
egzistencija. |
| cetvrtak, 19. april: Minimalni polinom:
jedinstvenost. Sopstveni i korenski potprostori
endomorfizma. |
| cetvrtak, 26. april: cas nije odrzan (aprilski
ispitni rok) |
| cetvrtak, 3. maj: cas vezbi odrzala Dragana
Todoric |
| cetvrtak, 10. maj (3 casa): Bilinearne
funkcije na vektorskom prostoru. Koordinatni zapis |
| cetvrtak, 17. maj (3 casa): Promena matrice
bilinearne funkcije prilikom zamene baze. Simetricne
bilinearne funkcije i kvadratne funkcije. Lagranzev
postupak dijagonalizacije |
| cetvrtak, 24. maj: Teorema inercije. Pozitivno
definitne bilinearne funkcije. Euklidski prostori. Kosi-Svarcova
nejednakost i njene posledice (nejednakost trougla,
Pitagorina teorema, definicija ugla). Ortonormirane baze. |
| cetvrtak, 31. maj: Teorema o ortogonalnom
komplementu, ortogonalna projekcija na potprostor. Gram-Smitov
postupak ortogonalizacije. Izometricni operatori,
simetricni operatori. Dijagonalizacija simetricnog
operatora u ortonormiranoj bazi |