cetvrtak, 7. oktobar
Simetrija u geometriji, kretanja, vaznost asocijativnog zakona. Asocijativnost kompozicije funkcija.
cetvrtak, 14. oktobar
Grupa. Aksiome i prve posledice. Primeri grupa, grupe brojeva, grupe simetrije algebarskih izraza i geometrijskih figura.
cetvrtak, 21. oktobar
Podgrupa. Podgrupe grupe celih brojeva. Homomorfizmi grupa. Monomorfizam, epimorfizam, izomorfizam. Jezgro i slika homomorfizma kao podgrupe.
cetvrtak, 28. oktobar
Prsteni i polja (aksiome, definicije). Primeri: prsten celih brojeva, polja brojeva. Prsten ostataka po modulu n. Pojava delitelja nule u prstenima Z4 i Z6. Prsten polinoma sa celobrojnim, racionalnim, realnim i kompleksnim koeficijentima. Stepen polinoma, algoritam deljenja sa ostatkom.
cetvrtak, 4. novembar
Deljenje s ostatkom - primer. Koreni polinoma, Bezuova teorema. Faktorizacija polinoma nad R i C. Polje kompleksnih brojeva: definicija, osnovne osobine. Geometrijska reprezentacija i Arganova ravan. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja. Muavrov obrazac, n-ti koren kompleksnog broja. Faktorizacija polinoma z5-1 na dva nacina, jednakost cos[(2p)/5] = [(Ö5-1)/4], konstrukcija pravilnog petougla, zlatni presek.
cetvrtak, 11. novembar
Kompleksni koreni realnih polinoma. Nerastavljivi polinomi nad R i C. Racionalni koreni celobrojnih polinoma. Euklidov algoritam, najveci zajednicki delilac dva polinoma. Konstrukcija polja razlomaka, primena na cele brojeve i polinome. ''Elementarni'' razlomci 1/n Î Q i razlaganja u Rhind-ovom (Ahmesovom) papirusu. Racionalne funkcije, teorema o razlaganju u sumu elementarnih razlomaka.
cetvrtak, 18. novembar
Dokaz teoreme o razlaganju. Visestruki faktori, izvod polinoma i njegove osnovne osobine, primena na izdvajanje visestrukih korena: ako je f = p1k1·... ·pmkm tada je [(f)/(NZD(f,f¢))] = p1·... ·pm.
Sistemi linearnih jednacina nad poljem. Resenja sistema, ekvivalentnost sistema. Elementarne transformacije prvog, drugog i treceg tipa. Gausov algoritam eliminacije i resavanje linearnih sistema svodjenjem na stepenasti oblik i povratnim hodom.
cetvrtak, 25. novembar
Primena Gausove teoreme. Resavanje vise sistema.
Matrice. Operacije nad matricama: sabiranje matrica istog formata M(m×n,F) ×M( m×n,F) ® M(m×n,F) , mnozenje matrica skalarom F×M(m×n,F) ® M( m×n,F) , mnozenje matrica odgovaraju\'cih formata M( m×n,F) ×M(n×k,F) ® M( m×k,F) . Regularne matrice i izracunavanje inverzne.
cetvrtak, 2. decembar
Elementarne transformacije vrsta matrice, relacija A~vB. Elementarne matrice Pij, Qijl, Ril, mno zenje matrice elementarnim sa leve strane i veza sa transformacijama vrsta. Elementarne transformacije kolona, relacija A~kB i mnozenje zdesna. Rang matrice. Karakterizacija regularnih matrica pomocu ekvivalentnih uslova: matrica A je regularna; matrica A je proizvod elementarnih; svaki sistem Ax = b je saglasan; sistem Ax = o ima samo trivijalno resenje x = o; A~vE; A~E; A~kE.
cetvrtak, 9. decembar
Determinante drugog i treceg reda. Induktivna definicija determinante n -tog reda (razvoj po prvoj koloni). Izracunavanje determinante trougaone matrice. Osobine determinante kao funkcije svojih n vrsta det:Fn×... ×Fn® F, aditivnost, homogenost, antisimetricnost.
cetvrtak, 16. decembar
Dokaz linearnosti i antisimetricnosti determinante kao funkcije vrsta matrice, izvedene osobine determinante. Teorema o jedinstvenosti determinante kao linearne i antisimetricne funkcije vrsta matrice. Razvoj determinante po proizvoljnoj koloni. Osobine determinante kao funkcije kolona. Determinanta transponovane matrice. Razvoj determinante po proizvoljnoj vrsti. Kosi-Bineova teorema o determinanti proizvoda matrica. Ako je matrica regularna, njena determinanta je ¹ 0.
cetvrtak, 23. decembar
Razvoj determinante po ''pogresnoj'' vrsti i koloni. Kramerove formule, izracunavanje inverzne matrice pomocu determinante: ako je determinanta ¹ 0, matrica je invertibilna. Teorema o determinanti sa nula blokom i jedinstvenost ranga matrice. Razvoj determinante pomocu permutacija.
cetvrtak, 13. januar
cetvrtak, 20. januar
cetvrtak, 27. januar
cetvrtak, 3. februar
cetvrtak, 10. februar
cetvrtak, 17. februar
cetvrtak, 24. februar
cetvrtak, 02. mart
Teorema o egzistenciji baze u vektorskom prostoru. Teorema o istobrojnosti baza vektorskog prostora. Primeri.
cetvrtak, 09. mart
Koordinate. Zamena baze, e¢ = eC, x = Cx¢. Prostor linearnih operatora L( V,W) , prsten endomorfizama End(V) .
cetvrtak, 16. mart
Matrica linearnog operatora. Izomorfizam L( V,W) @ M(dimW×dimV) . Promena matrice prilikom zamene baza, formula A¢ = D-1AC, relacija elementarne ekvivalencije. Svodjenje linearnog operatora na kompoziciju projekcije i inkluzije: Fn® Fk® Fm, (x1,...,xn) ® (x1,... ,xn,0,... ,0) = (y1,... ,yk) ® (y1,... ,ym) . Endomorfizmi. Izomorfizam prstena End( V) = L( V,V) @ M(dimV) . Zamena baze i formula A¢ = C-1AC. Slicne matrice, relacija slicnosti.
cetvrtak, 23. mart
Dimenzija potprostora £ dimenzija prostora. Kolicnicki prostor V/U i njegova dimenzija. Jezgro i slika linearnog operatora. Izomorfizam V/KerL @ ImL i jednakost dimV = dimKerL+dimImL.
cetvrtak, 30. mart
Teorema o dimenziji zbira i preseka potprostora - ''elementarni'' dokaz. Direktna suma potprostora. Rang operatora, matrice, skupa vektora.
cetvrtak, 6. april
Primedbe o rangu. Kroneker-Kapelijeva teorema. Struktura endomorfizama v.p.: dijagonalizabilni endomorfizmi; sopstvene vrednosti i sopstveni vektori; karakteristicni polinom. Primeri: refleksija i rotacija za p/2 u R2.
cetvrtak, 13. april
Minimalni polinom endomorfizma: egzistencija, jedinstvenost. Koreni mL i cL se poklapaju.
cetvrtak, 20. april
cetvrtak, 4. maj
Nilpotentni operatori, ciklicni nizovi. Zordanova normalna forma za nilpotentne operatore. Razlaganje v.p. u sumu korenskih potprostora za proizvoljne operatore, Zordanova baza i normalna forma. Hamilton-Kejlijeva teorema.
cetvrtak, 11. maj
Bilinearne funkcije, koordinatni zapis, matrica. Simetricne bilinearne funkcije. Matrica bilinearne funkcije, transformacija matrice prilikom zamene baze A¢ = CtAC. Kvadratne funkcije, formula polarizacije.
cetvrtak, 18. maj
Svodjenje kvadratne funkcije na kanonski oblik. Kvadratne funkcije nad C i R. Signatura, teorema inercije. Pozitivno definitne kvadratne funkcije. Euklidski vektorski prostori, skalarni proizvod. Nejednakost Kosi-Svarca-Bunjakovskog.
cetvrtak, 25. maj
Nejednakost trougla, Pitagorina teorema. Ugao. Gramova determinanta i zapremina paralelopipeda. Primeri malih dimenzija. Ortonormirane baze i ortogonalne matrice.
cetvrtak, 1. jun
Teorema o ortogonalnom komplementu u euklidskom v.p. Gram-Smitov postupak ortogonalizacije. Izometrije e.v.p., simetricni endomorfizmi e.v.p. Dijagonalizacija simetricnog endomorfizma u ortonormiranoj bazi.
File translated from TEX by TTH, version 2.34.
On 12 Jun 2000, 19:17.