| ponedeljak, 30. oktobar: Polugrupe, grupe.
Osnovne posledice aksioma. Primeri. Red grupe. |
| ponedeljak, 6. novembar: Podgrupe.
Karakterizacija podgrupe. Stepen elementa u grupi.
Podgrupa generisana elementom. Podgrupa <S>
generisana podskupom S. Primer grupe S3
= <(123), (12)>. Konstruktivni opis najmanje
podgrupe koja sadrži dati skup. |
| ponedeljak, 13. novembar: Grupa Zn
ostataka po modulu n. Ciklicne grupe i njihove
podgrupe. Homomorfizmi, monomorfizmi, epimorfizmi,
izomorfizmi. Slika i jezgro homomorfizma. Relacije ~H
i H~ za podgrupu H u grupi G,
položaji podgrupe u grupi, primer grupe S3. |
| ponedeljak, 20. novembar: Kolicnicki skupovi G
/ H i H \ G, Lagranževa
teorema i posledice, grupe prostog reda. Kolicnicka grupa,
invarijantne podgrupe i jezgra homomorfizama. Prva
teorema o izomorfizmu G / Ker f = Im f.
.Izomorfizam S3 / A3
= Z2. Grupa Sn
i razlaganje permutacije u proizvod transpozicija. |
| ponedeljak, 27. novembar: Signatura
permutacije: preko transpozicija i preko inverzija.
Dejstvo grupe permutacija na polinome više
promenljivih. Homomorfizam sign : Sn ® Z2. Proizvod
podgrupa u grupi (unutrašnji proizvod); HK je
podgrupa Û HK = KH;
preslikavanje H×K ®
HK i odgovarajuca relacija ekvivalencije; |HK|
= |H| |K| / |HÇK|. Dekartov proizvod
grupa (spoljašnji proizvod). Ako je G = H ×
K, tada su H¢
= H ×{e} i K¢
= {e} × K invarijantne podgrupe u G izomorfne
sa H odnosno K, takve da njihovi
elementi medjusobno komutiraju i da je H¢ÇK¢ = {e}, H¢K¢ = G. Uopšte,
ako su H<invG i K<invG,
takve da je HÇK
= {e} , tada je hk = kh za h Î H, k Î K. |
| ponedeljak, 4. decembar: Primeri direktnog
proizvoda: Z2×Z2, Z2×Z3,
Zm×Zn
sadrži podgrupu izomorfnu sa ZNZS(m,n)
i izomorfna je Zmn ako i
samo ako su m i n uzajamno prosti.
Diedarska grupa Dn=<a,b>
kao grupa simetrija pravilnog n-tougla, Dn
= <a> <b> @ Zn
Z2 ali nije direktan proizvod te dve
podgrupe: poludirektan proizvod. Primer grupe D6
= S3 × Z2. Druga
teorema o izomorfizmu: ako je H<invG,
K < G tada je H<invHK
< G, HÇK<invK
i HK / H @ K
/ HÇK. |
| ponedeljak, 11. decembar: Treca teorema o
izomorfizmu: ako su H,K <invG
i H < K, tada je H<invK
i G/K @ (G/H)/(K/H).
Normalizator N(S) podskupa S Ì G. Odnos izmedju N(S)
i N(H) gde je H = <S>
podgrupa generisana sa S. Centralizator C(S)
podskupa S Ì G,
centar C = C(G) grupe G.
Relacija konjugacije a~cbÛ$g Î
G:b = gag-1, klase cl(a)
konjugacije, brojnost klase |cl( a)| = [G:N(a)]
. Klasna jednakost za konacne grupe: |G| = |C(G)|+åi = 1m[G:N(
ai)] gde su a1,...am
predstavnici svih razlicitih klasa konjugacije
necentralnih elemenata. |
| ponedeljak, 18. decembar: Primer klasne
jednakosti za grupu S3 tj. 6 = 1+2+3.
Centar je invarijantna podgrupa. Automorfizmi grupe,
unutrašnji automorfizmi sg(x)
= gxg-1, grupa InnG<invAutG,
InnG @ G/C(G).
Komutator [a,b] = a-1b-1ab
(a,b Î G),
komutant G¢
= [G,G]<invG
kao najmanja podgrupa za koju je odgovarajuca kolicnicka
grupa komutativna, izvedeni niz. Struktura grupe An
tj. generisana je ciklovima duzine 3. |
| ponedeljak, 25. decembar: Struktura grupe Sn:
razlaganje permutacije u proizvod disjunktnih ciklova |
| ponedeljak, 8. januar: Struktura grupa Sn
i An: jedinstvenost razlaganja
na disjunktne ciklove, ciklicni tip permutacije, Jungov
dijagram i particije broja n. Centar C(Sn)=C(An)={e},
komutanti [Sn, Sn]=An
i [An, An]=An,
izvedeni niz. Dejstvo grupa i semidirektan proizvod (uvodna
prica). |
| ponedeljak, 15. januar: Semidirektan proizvod
podgrupa H i K grupe G. Primer
S3. Uopštenje: dejstvo podgrupe K
na podgrupu H i homomorfizam K ® Sym H. Opšta
definicija dejstva grupe na skup. Primeri: dejstvo grupe
kretanja i/ili rotacija na tacke ravni, dejstvo grupe
konjugacijom na samoj sebi, dejstvo grupe levim
translacijama na samoj sebi. (Anti)dejstvo desnim
translacijama. |
| ponedeljak, 19. februar: p-podgrupe,
Silovljeve p-podgrupe. Prva Silovljeva teorema,
dokaz |
| ponedeljak, 26. februar: Druga i treca
Silovljeva teorema, dokaz. Opis grupa reda pq (p
i q prosti, p<q). |
| ponedeljak, 5. mart: Primer primene
Silovljevih teorema na grupu S4.
Abelove grupe: specificnosti, primeri, kratki tacni
nizovi Abelovih grupa, problem ekstenzije. Konstrukcija
beskonacnog proizvoda Abelovih grupa. |
| ponedeljak, 12. mart: (održan jedan cas)
Konstrukcija beskonacne sume Abelovih grupa. Primeri. |
| ponedeljak, 19. mart: Nezavisni i generatorni
skupovi u Abelovoj grupi. Primeri. Slobodne Abelove grupe.
Grupa je slobodna akko je direktna suma ciji su svi
sabirci Z. |
| ponedeljak, 26. mart: Osobine slobodnih
Abelovih grupa: svaka grupa je faktor slobodne; ako je
faktor slobodna grupa, tada se ona izdvaja kao direktni
sabirak. Torzija u Abelovim grupama, torziona podgrupa.
Konacno generisane grupe. Podgrupa konacno generisane
Abelove grupe sa n generatora je konacno
generisana sa najviše n generatora. |
| ponedeljak, 2. april: Podgrupa konacno
generisane slobodne Abelove grupe je slobodna. Konacno
generisana Abelova grupa bez torzije je slobodna. |
| ponedeljak, 9. april: Strukturna
teorema za konano generisane Abelove grupe. |
| ponedeljak, 16. april: cas nije
odrzan (Vaskrsnji ponedeljak) |
| ponedeljak, 23. april: cas nije
odrzan (Aprilski ispitni rok) |
| ponedeljak, 30. april: cas nije
odrzan (Prvomajski praznik) |
| ponedeljak, 7. maj: Prsteni i polja.
Faktorizacija u prstenima. Euklidski prsteni i prsteni sa
jednoznacnom faktorizacijom. |
| ponedeljak, 14. maj: Ideali u
prstenu. Glavnoidealski i Neterini prsteni. Hilbertova
teorema o bazi: formulacija i dokaz. Osnovna teorema
algebre. Algebarsko zatvorenje polja. |
| ponedeljak, 21. maj: Rasirenja polja:
konacno generisana, konacna. Tranzitivnost konacnih
rasirenja. Algebarski i transcendentni elementi,
algebarska rasirenja. |
| ponedeljak, 28. maj: Tranzitivnost
algebarskih i konacno generisanih rasirenja. Teorema o
primitivnom elementu. Primeri. Korenska rasirenja.
Normalna rasirenja. Definicije i primeri |