sreda, 13. oktobar
Polugrupa, grupa, Abelova grupa. Aksiome, prve posledice, primeri.
sreda, 20. oktobar
Presek familije podgrupa je podgrupa. Najmanja podgrupa koja sadrzi dati podskup.
sreda, 27. oktobar
Generatorni skup grupe. Primeri: aditivna grupa celih brojeva generisana je sa 1 i sa -1; grupa ostataka po modulu 4 i 5; m generise Zn ako i samo ako su m i n uzajamno prosti. Ciklicne grupe. Svaka podgrupa ciklicne grupe je ciklicna.
Grupa S3 i njen generatorni skup { r,t} (r = (123), t = (12)) i relacije r3 = e, t2 = e, rtr = t i njoj ekvivalentne rt = tr2, tr = r2t. Zadavanje grupe generatorima i relacijama.
sreda, 03. novembar
Struktura grupe Sn: svaka permutacija je kompozicija disjunktnih ciklova. Zatim, svaki cikl je kompozicija transpozicija, dakle Sn je generisana transpozicijama. Dalje, generisana je sa n-1 transpozicija (12),... ,(1n) kao i sa dva elementa (12... n) i (12).
Koseti (polozaji, razredi) podgrupe H u grupi G i odgovaraju\'ca relacija ekvivalencije \thicksim H. Skup polozaja G/H. Lagranzeva teorema za konacne grupe: |G| = [G:H]·|H| .
sreda, 10. novembar
Primer raznih podgrupa u S4 generisanih sa dva elementa: (1234) i ( 12) generisu celu grupu S4, a ( 1234) i ( 13) generisu podgrupu D4. Levi i desni polozaji, relacija H\thicksim i skup H\G. Red elementa deli red grupe. Mnozenje u skupu G/H, kongruencije. Invarijantne (normalne) podgrupe u grupi. Primer: podgrupa A3 u S3.
sreda, 17. novembar
Homomorfizmi, monomorfizmi, epimorfizmi, izomorfizmi grupa. Primeri: Z®Zn, moduo |-|:C*®R*, argument arg:C*® S1. Homomorfizam sgn:Sn®{1,-1} . Jezgro, slika, invarijantnost jezgra. Teorema o homomorfizmu (prva teorema o izomorfizmu): svaki homomorfizam grupa f:G®H se razlaze u kompoziciju f = j°i°p epimorfizma p:G®G/Kerf, izomorfizma i:G/Kerf @ Imf i monomorfizma j:Imf®G. Korespondencija: kongruencije u grupi G Û normalne podgrupe grupe G Û epimorfizmi iz grupe G.
sreda, 24. novembar
Ciklicne grupe: svaka ciklicna grupa je izomorfna ili Zn ili Z. Svaka grupa prostog reda je ciklicna.
Dekartov proizvod grupa. Ako je G = H×K, tada su H¢ = H×{e} i K¢ = {e} ×K invarijantne podgrupe u G, takve da je H¢ÇK¢ = {e} , H¢K¢ = G. Primeri. Grupa Zm×Zn je izomorfna Zmn ako i samo ako su m i n uzajamno prosti.
Proizvod podgrupa u grupi: HK je podgrupa Û HK = KH; preslikavanje H×K® HK i odgovarajuca relacija ekvivalencije.
sreda, 01. decembar
Proizvod podgrupa u grupi: |HK| = |H| |K| Û HÇK = {e} ; ako su H<invG i K<invG, takve da je HÇK = {e} , tada je hk = kh za h Î H, k Î K. Unutrasnji proizvod podgrupa.
Druga teorema o izomorfizmu: ako je H<invG, K < G tada je H<invHK < G, HÇK<invK i HK/H @ K/HÇK.
sreda, 08. decembar
Primeri razlozivih grupa: D4 = S3×Z2, R* = R+×Z2. Opis grupa malog reda: 1,2,3,4,5,6,7,9.
sreda, 15. decembar
Normalno zatvorenje [H] podgrupe H < G, normalizator N(S) podskupa S Ì G. Centralizator C(S) podskupa S Ì G, centar C = C(G) grupe G. Relacija konjugacije a~cbÛ$g Î G:b = gag-1, klase cl(a) konjugacije, brojnost klase |cl( a)| = [G:N(a)] . Klasna jednakost za konacne grupe: |G| = |C(G)|+åi = 1m[G:N( ai)] gde su a1,...am predstavnici svih razlicitih klasa konjugacije necentralnih elemenata.
sreda, 22. decembar
Primeri klasne jednakosti: za S3 to je 6 = 1+2+3. Centar C(Sn) = C(An) = {e} (n > 2), C(S2) = S2, C(A2) = A2, C(A3) = A3 (Lema: An je generisana ciklovima duzine 3). Komutator [a,b] = a-1b-1ab (a,b Î G), komutant G¢ = [G,G]<invG kao najmanja podgrupa za koju je odgovarajuca kolicnicka grupa komutativna, izvedeni niz. Izvedeni niz za Sn i An: [Sn,Sn] = An (za svako n), [An,An] = An (n > 4), [A2,A2] = {e} , [A3,A3] = {e} , [A4,A4] @ V4 (Lema: Konjugacija ne menja ciklicni tip permutacije). Karakteristicne podgrupe, centar je karakteristicna podgrupa. Unutrasnji automorfizmi sg(x) = gxg-1, grupa InnG<invAutG, InnG @ G/C(G).
sreda, 29. decembar
Dokaz teoreme o komutatorima u Sn. Dejstvo grupe na skup, stabilizator i orbite. Primeri dejstva grupe: leve i desne translacije, unutrasnji automorfizmi. Broj elemenata orbite = indeks stabilizatora. Poludirektan proizvod grupa.
sreda, 12. januar
sreda, 19. januar
sreda, 26. januar
sreda, 02. februar
sreda, 09. februar
sreda, 16. februar
sreda, 23. februar
sreda, 01. mart
sreda, 08. mart
Podgrupa konacno generisane Abelove grupe je k.g. Podgrupa slobodne k.g.A. grupe je slobodna (i opis!). Kraj dokaza da je k.g.A. grupa bez torzije slobodna. Veza slobodnih grupa sa celobrojnim matricama.
sreda, 15. mart
sreda, 22. mart
Teorema o cepanju 0® H® G® G/H® 0 sa primerima nejednoznacne ekstenzije G ¹ HÅG/H: 1) sta daju Z2 i Z3: S3 ili Z6? 2) Z i Q/Z daje Q ¹ ZÅQ/Z. Struktura konacno generisanih Abelovih grupa: G = TÅF .
Prsteni: definicija, primeri, konstrukcija prstena polinoma A~®A[ x]
sreda, 29. mart
Prsteni: homomorfizmi, jezgro, slika, faktor-prsten, ideali, ideal generisan podskupom. Primeri. Glavnoidealski prsteni. Prsten celih brojeva je glavnoidealski. Euklidov algoritam, najveci zajednicki delilac
sreda, 05. april
Prsten polinoma od jedne promenljive nad poljem je glavnoidealski. Neterini prsteni. Prsten polinoma od vise promenljivih nad poljem je Neterin (Hilbertova teorema o bazi)
sreda, 12. april
Koreni polinoma. Bezuova teorema. Polje kompleksnih brojeva i osnovna teorema algebre (dokaz ''Dama s psetancetom''). Kompleksni i realni polinomi.
sreda, 03. maj
Nerastavljivost polinoma od jedne promenljive. Racionalni koreni celobrojnih polinoma. Ajzenstajnov kriterijum. Definicija C kao R[x] /(x2+1) . Sta je F[x]/(f) ? Prosti i maksimalni ideali. Karakterizacija: I prost Û A/I domen; I maksimalan Û A/I polje.
sreda, 10. maj
Rasirenje polja F Ì E, homomorfizam evaluacije e:F[x] ® E, e( f) : = f( a) i konstrukcije F Ì F[a] Ì F(a) Ì E za a Î E. Primeri: Q Ì Q[Ö2] =Q( Ö2) Ì R, Q Ì Q[i] = Q(i) Ì C. Definicija algebarskog elementa i algebarskog rasirenja, transcendentnog elementa i transcendentnog rasirenja. Minimalni polinom algebarskog elementa: F[a] @ F[x] /(p) . Konacna rasirenja, stepen rasirenja [E:F] = dimFE. Konacno rasirenje je algebarsko. Teorema o algebarskom prostom rasirenju: ako je a Î E algebarski nad F sa minimalnim polinomom p, tada je F[a] = F(a) konacno rasirenje polja F stepena degp.
sreda, 17. maj
Konacno generisana rasirenja K Ì K( a1,...,am) . Rasirenje je konacno Û ono je konacno generisano i algebarsko. F/K konacno i E/F konacno Û E/K konacno i [E:K] = [E:F] [F:K]; F/K algebarsko i E/F algebarsko Û E/K algebarsko. Korenska rasirenja: za svaki polinom f Î K[x] postoji rasirenje K Ì F @ K[x] /(f) u kome polinom f ima koren.
sreda, 24. maj
Postoji rasirenje K Ì F u kome svaki polinom f Î K[x] ima koren. Algebarski zatvorena polja, algebarsko zatvorenje. Razlaganje polinoma nad algebarskim zatvorenjem, korensko polje polinoma. Teorema o primitivnom elementu.
sreda, 31. maj
Konjugovani elementi, normalna rasirenja. Svako rasirenje stepena 2 je normalno. Normalna rasirenja nisu tranzitivna: QÌQ(Ö2)ÌQ( 4Ö2) . Osnovna teorema Galoaove teorije. Galoaova grupa rasirenja. Abelova rasirenja, radikalska rasirenja, ciklicna rasirenja. Resiva rasirenja i resive grupe.
File translated from TEX by TTH, version 2.34.
On 12 Jun 2000, 19:25.